高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布

专题十一 概率与统计

第三十六讲二项分布及其应用、正态分布

一、选择题

1．（2015湖北）设XN(?1,?12)，Y2N(?2,?2)，这两个正态分布密度曲线如图所

示．下列结论中正确的是

A．P(Y≥?2)≥P(Y≥?1) B．P(X≤?2)≤P(X≤?1)

C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,3)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为

2（附：若随机变量?服从正态分布N(?,?)，则P(?????????)?68.26%，

2P(??2??????2?)?95.44%）

A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%

3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，

连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45 4.（2011湖北）已知随机变量?服从正态分布N2,??2?，且P???4??0.8，则

P?0???2??

A．0.6

B．0.4 C．0.3 D．0.2

二、填空题

5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回

地抽取100次，错误！未找到引用源。表示抽到的二等品件数，则

DX= ．

6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次

试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 ．

7．（2015广东）已知随机变量?服从二项分布??n,p?，若?????30，D????20，

则p? ．

8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工

作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

．

元件3元件2元件1 三、解答题

9．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线

上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(?,?)．

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(??3?,??3?)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(??3?,??3?)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10．26 10．12 9．91 9．96 9．96 10．01 9．22 9．92 9．98 10．04 9．95 210．13 10．02 10．04 10．05 116经计算得x??xi?9.97错误！未找到引用源。，

16i?1

11611622s?(xi?x)?(?xi?16x2) ?16i?116i?1?0.212错误！未找到引用源。，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，

16．

?，用样本标准差s作用样本平均数x作为?的估计值错误！未找到引用源。??，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除错误！为?的估计值?未找到引用源。之外的数据，用剩下的数据估计?和? (精确到0．01)．

附：若随机变量Z服从正态分布N(?,?2)，则P(??3??Z???3?)=0．997 4，

0.997416?0.9592，0.008?0.09．

10．（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续

保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 保 费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 概 率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0.05 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

11．（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖

都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的

分布列和数学期望．

12．（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛

奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备

1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量． （Ⅰ）求Z的分布列和均值；

（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000

元的概率．

13．（2015新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查

了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满

意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

14．（2014山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即

结束．除第五局甲队获胜的概率是局比赛结果互相独立．

12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是．假设各23（1）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率

（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜

利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．

15．（2014陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价

格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000

元的概率．

16．（2014广东）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

分组 [25,30 ] (30,35 ] (35,40 ] (40,45 ] (45,50 ] 频数 3 5 8 频率 0.12 0.20 0.32 n1 n2 f1 f2 （1）确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在

区间（30,35］的概率．

17．（2011大纲）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险

但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.

(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．

专题十一 概率与统计

第三十六讲二项分布及其应用、正态分布

答案部分

1．C【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，XN(?1,?12)，Y2N(?2,?2)的密度曲

线分别关于直线x=?1，x=?2对称，因此结合题中所给图象可得，?1

P(Y≥?2)P(X≤?1)，B错误．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≥P(Y≥t)，C正确，D错误． 2．B【解析】P(3???6)?1(95.44%?68.26%)?13.59%． 20.6P(AB)?0.8． ，可得所求概率为

0.75P(A)3．A【解析】根据条件概率公式P(B|A)?4．C【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，

函数关于直线x?2对称，所以P???2??0.5，并且 y P?0???2??P?2???4?

则P?0???2??P???4??P???2?

O 2 4 x ?0.8?0.5?0.3

所以选C.

5．1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即X~B?100,0.02?，由

二项分布的期望公式可得DX?np?1?p??100?0.02?0.98?1.96

6．【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反

反），所以在1次试验中成功次数?的取值为0,1,2，

32111,P(??1)?,P(??2)?, 424113在1次试验中成功的概率为P(?≥1)???，

424其中P(??0)?

所以在2次试验中成功次数X的概率为P(X?1)?C21313??，44839393P(X?2)?()2?，EX?1??2??．

41681623333解法2由题意知，实验成功的概率p?，故XB(2,)，所以E(X)?2??．

4424?np?3011

7．【解析】由?，得p?．

33?np(1?p)?208．

3【解析】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502)得：三个电子元件81的使用寿命超过1000小时的概率为p?，超过1000小时时元件1或元件2正常工作

232?1?(1?p)?的概率P， 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为143p2?p1?p?．

89．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(??3?,??3?)之内的概率为0．9974，从而零

件的尺寸在(??3?,??3?)之外的概率为0．0026，故X~B(16,0.0026)．因此

P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.9974?0.0408． X的数学期望为EX?16?0.0026?0.0416．

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(??3?,??3?)之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(??3?,??3?)之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

??9.97，?的估计值为 （ii）由x?9.97，s?0.212，得?的估计值为???0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(???3??,???3??)之外，因此需?对当天的生产过程进行检查．

??3??,???3??)之外的数据9．22，剩下数据的平均数为 剔除(?1(16?9.97?9.22)?10.02， 15因此?的估计值为10．02．

?xi?1162i?16?0.2122?16?9.972?1591.134，

??3??,???3??)之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为 剔除(?1(1591.134?9.222?15?10.022)?0.008， 15因此?的估计值为0.008?0.09．

10．【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，

P(A)?1?P(A)?1?(0.30?0.15)?0.55．

（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B， P(BA)?P(AB)0.10?0.053??． P(A)0.5511（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量X．

X 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 P 平均保费

EX?0.85?0.30?0.15a?1.25a?0.20?1.5a?0.20?1.75a?0.10?2a?0.05

?0.255a?0.15a?0.25a?0.3a?0.175a?0.1a?1.23a， ∴平均保费与基本保费比值为1.23．

11．【解析】（Ⅰ）记事件A1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，

，B1=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B2=｛顾客抽A2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝

奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝．

由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥， 且B1=A1A2，B2=A1A2+A1A2，C=B1+B2． 因P(A1)=

4251=，P(A2)==， 105102211?=， 525所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=

P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)

=P(A1) (1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2)=

21211?(1-)+(1-)?=， 52522

故所求概率为P(C)= P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=

117+=. 52101， 5（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为所以X64141B(3,)．于是 P(X=0)=C30()0()3=，

1255554811142P(X=1)=C3()()=，

125551211431340P(X=2)=C32()2()1=，P(X=3)=C3()()= ．

1255512555故X的分布列为

X 0 1 2 3 6448 12512513X的数学期望为 E(X)=3?=．

55P 12 1251 12512．【解析】（Ⅰ）设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y，相应的获利为z，则有

?2x?1.5y?W,?x?1.5y?12,? （1）目标函数为z?1000x?1200y． ?2x?y?0,???x?0, y?0.yyy12108B(2.4,4.8)8B(3,6)8B(3,6)C(6,4)OA(0,0)C(6,0)12xOA(0,0)C(7.5,0)12xOA(0,0)D(9,0)12x第10题解答图1 第10题解答图2

第10题解答图3

当W?12时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A(0, 0), B(2.4, 4.8), C(6, 0)．

5z将z?1000x?1200y变形为y??x?，

612005z当x?2.4, y?4.8时，直线l：y??x?在y轴上的截距最大，

61200最大获利Z?zmax?2.4?1000?4.8?1200?8160．

当W?15时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A(0, 0), B(3, 6), C(7.5, 0)．

5z将z?1000x?1200y变形为y??x?，

61200

5z当x?3, y?6时，直线l：y??x?在y轴上的截距最大，

61200最大获利Z?zmax?3?1000?6?1200?10200． 当W?18时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为A(0, 0), B(3, 6), C(6, 4), D(9, 0)．

5z将z?1000x?1200y变形为y??x?，

612005z当x?6,y?4时，直线l：y??x?在y轴上的截距最大，

61200最大获利Z?zmax?6?1000?4?1200?10800． 故最大获利Z的分布列为

Z P 8160 0.3 10200 0.5 10800 0.2 因此，E(Z)?8160?0.3?10200?0.5?10800?0.2?9708． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率p1?P(Z?10000)?0.5?0.2?0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为

p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973．

13．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记CA1表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”； “A地区用户满意度等级为非常满意”； CA2表示事件：

“B地区用户满意度等级为不满意”； CB1表示事件：

“B地区用户满意度等级为满意”． CB2表示事件：

则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C?CB1CA1CB2CA2．

P(C)?P(CB1CA1CB2CA2)?P(CB1CA1)?P(CB2CA2) ?P(CB1)P(CA1)?P(CB2)P(CA2)．

164108，，，． 20202020164108故P(CA1)=，P(CA2)=，P(CB1)=，P(CB2)=，

20202020101684?+??0.48． 故P(C)=20202020由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的概率分别为

14．【解析】：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件A“甲队以3：1胜利”为事件A2，“甲1，

队以3：2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立， 故P(A1)?()?8， 272228P(A2)?C32()2(1?)??，

333272214P(A3)?C41()2(1?)2??

33227323所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是

884，，； 272727（2）设“乙队以3:2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以

2214P(A4)?C41(1?)2()2?(1?)?

33227由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得

P(X?0)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?4, 274P(X?2)?P(A4)?,

27P(X?1)?P(A3)?16, 27P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?故X的分布列为

3 27X P 0 1 2 3 1644 272727164437?1??2??3??． 所以EX?0?2727272793 27

15．【解析】（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元

／kg”．由题设知P(A)?0.5，P(B)?0.4．

因为利润=产量?市场价格?成本，所以X所有可能的取值为

500?10?1000?4000，500?6?1000?2000 300?10?1000?2000，300?6?1000?800

P(X?4000)?P(A)P(B)?(1?0.5)(1?0.4)?0.3,

P(X?2000)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?(1?0.5)?0.4?0.5?(1?0.4)?0.5,

P(X?800)?P(A)P(B)?0.5?0.4?0.2,

所以X的分布列为

X P 4000 0.3 2000 0.5 800 0.2 （Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i?1,2,3)， 由题意知C1,C2,C3相互独立，由（1）知，

P(Ci)?P(X?4000)?P(X?2000)?0.3?0.5?0.8(i?1,2,3)

3季利润均不少于2000元的概率为

P(C1C2C3)?P(C1)P(C2)P(C3)?0.83?0.512

3季中有2季利润不少于2000元的概率为

P(C1C2C3)?P(C1C2C3)?P(C1C2C3)?3?0.82?0.2?0.384

所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为

0.512?0.384?0.896

16．【解析】：（1）n1?7,n2?2，f1?0.28,f2?0.08；

（2）样本频率分布直方图为

频率 组距 0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数

（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0．2，

设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为?，则?~B(4,0.2)，

P(??1)?1?P(??0)?1?(1?0.2)4?1?0.4096?0.5904，

所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0．5904． 17．【解析】记A表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种； D表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

（Ⅰ）P(A)?0.5, P(B)?0.3, C?A?B

P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.8

（Ⅱ）D?C,P(D)?1?P(C)?1?0.8?0.2

X:B(100,0.2),即X服从二项分布,

所以期望EX?100?0.2?20．

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