2014-2015学年福建省莆田六中高三（上）12月月考数学试卷（理科

2014-2015学年福建省莆田六中高三（上）12月月考数学试卷（理

科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，把答案填写在答题卷的相应位置．

2x

1．集合A={x|y=ln（﹣x+2x+3）}，B={y|y=e}，则A∩B=（ ） A． {x|﹣1＜x＜0} B． {x|0＜x＜3} C． {x|x＞﹣1} D． {x|x＜3}

2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A． α⊥β，m?α，则m⊥β B． m∥n，n?α，则m∥α C． m⊥α，m?β，则α⊥β D． m∥α，n?a，则m∥n

3．若a+1、a+2、a+6依次成等比数列，则该等比数列的公比为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

4．“ab＞0”是“方程ax+by=1表示椭圆”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

5．△ABC，A、B、C依次成等差数列，且a、c是﹣x+6x﹣8=0的两根，则△ABC面积为（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D．

6．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ） A．

B．

C．

D．

2

2

2

7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． 4

B． 5

C． 6 D． 7

8．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（ ） A． 40种 B． 70种 C． 80种 D． 100种

9．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，且在△ABC所在的平面内存在一点O，使得（?

=（

+

）?

=（

+

）?

=0成立，则

?

的值为（ ）

D． 10

+

）

A． 7

B． 8 C． 9

10．已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象是一段弧（如图所示），若0＜x1＜x2＜1，则（ ）

A． x2f（x1）＜x1f（x2） B． x1f（x1）＜x2f（x2） C． x2f（x1）＞x1f（x2） D． x1f（x1）＞x2f（x2）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置． 11．已知向量=（2m，3），=（m﹣1，1），若，共线，则实数m的值为 ．

12．已知等差数列{an}中，a1+a5+a9=

13．{（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}中任取一点，恰好在y=x和x=1围成区域的概率 ．

14．数列{an}满足（an+1）（1﹣an+1）=2，则a2013a2015= ．

15．f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，若函数g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M和最小值m，则M+m= ．

三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卷的相应位置． 16．如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1． （Ⅰ）证明DA⊥EF；

（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．

2

，则sin（a4+a6）= ．

17．已知向量=（cosax，sinax），=（

cosax，﹣cosax），其中a＞0，若f（x）=?的

图象与y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列． （Ⅰ）求a和m的值； （Ⅱ）在△ABC中，若f（）=

18．如图，点A，B分别是椭圆E：经过椭圆E的左焦点F． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．求围．

?

的取值范

+

=1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x﹣2）+y=9，

2

2

，且BC=4，求△ABC面积的最大值．

19．自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示： 堵车时间（小时） 频数 [0，1] 8 （1，2] 6 （2，3] 38 （3，4] 24 （4，5] 24

经调查发现堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的状况下，走甲路线需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到如表数据． 路段 CD EF GH

堵车概率 x

y

平均堵车时间（小时） a 2 1

（Ⅰ）根据右表数据画出CD段堵车时间频率分布直方图并求CD段平均堵车时间a的值； （Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．

20．已知函数f（x）=ax+ln（x+1） （Ⅰ）求f（x）在（0，f（0））处切线方程； （Ⅱ）当x∈[0，+∞），f（x）上的点均在

表示的区域内，求实数a的取值范围．

2

（Ⅲ）求证：＜，n∈N．

*

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．【选修4-2：矩阵与变换】 21．已知

是矩阵A=

的一个特征向量． 相应的特征值； ，求矩阵BA．

﹣1

（Ⅰ）求m的值和向量（Ⅱ）若矩阵B=

【选修4-5：不等式选讲】

22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角

坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

【选修4-5：不等式选讲】

2

2014?泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m对任意t∈R恒成立． （Ⅰ）求实数m的取值范围；

222

（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x+y+z的最小值．

2014-2015学年福建省莆田六中高三（上）12月月考数学

试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，把答案填写在答题卷的相应位置．

2x

1．集合A={x|y=ln（﹣x+2x+3）}，B={y|y=e}，则A∩B=（ ） A． {x|﹣1＜x＜0} B． {x|0＜x＜3} C． {x|x＞﹣1} D． {x|x＜3}

考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 利用函数的定义域、值域和交集的定义求解．

22

解答： 解：∵集合A={x|y=ln（﹣x+2x+3）}={x|﹣x+2x+3＞0}={x|﹣1＜x＜3}，

x

B={y|y=e}={y|y＞0}， ∴A∩B={x|0＜x＜3}． 故选：B． 点评： 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意函数的定义域、值域的合理运用．

2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A． α⊥β，m?α，则m⊥β B． m∥n，n?α，则m∥α C． m⊥α，m?β，则α⊥β D． m∥α，n?a，则m∥n

考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 根据面面垂直的几何特征及性质可判断A；根据线面平行的判定定理，可判断B；根据面面垂直的判定定理，可判断C；根据线面平行的几何特征，及空间线线关系的定义，可判断D．

解答： 解：若α⊥β，m?α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故A错误； 若m∥n，n?α，则m∥α或m?α，故B错误； 若m⊥α，m?β，则α⊥β，故C正确；

若m∥α，n?a，则m与n可能平行也可能异面，故D错误； 故选：C 点评： 本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系，面面关系，线线关系的定义，几何特征及性质和判定方法是解答的关键．

3．若a+1、a+2、a+6依次成等比数列，则该等比数列的公比为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．

2

分析： 由已知得（a+2）=（a+1）（a+6），由此求出a，进而能求出该等比数列的公比．

解答： 解：∵a+1、a+2、a+6依次成等比数列， ∴（a+2）=（a+1）（a+6）， 解得a=﹣，

2

∴该等比数列的公比q===4．

故选：D． 点评： 本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

4．“ab＞0”是“方程ax+by=1表示椭圆”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 椭圆的标准方程． 专题： 计算题．

2222

分析： 由“ab＞0”，不能判断“方程ax+by=1表示椭圆”，“方程ax+by=1表示椭圆”?“ab

22

＞0”，所以∴“ab＞0”是“方程ax+by=1表示椭圆”的必要不充分条件．

22

解答： 解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax+by=1表示椭圆”，

22

例如a＜0，b＜0时，“方程ax+by=1不表示椭圆”．

22

“方程ax+by=1表示椭圆”?“ab＞0”，

22

∴“ab＞0”是“方程ax+by=1表示椭圆”的必要不充分条件． 故选B． 点评： 本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意椭圆的定义和性质的灵活运用．

5．△ABC，A、B、C依次成等差数列，且a、c是﹣x+6x﹣8=0的两根，则△ABC面积为（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D．

考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 计算题；等差数列与等比数列．

2

分析： 利用等差数列的性质，可得B=60°，由a和c是﹣x+6x﹣8=0的两根，求出a，c，再利用三角形面积公式，可得结论．

解答： 解：∵内角A、B、C依次成等差数列，∴B=60°， ∵a和c是﹣x+6x﹣8=0的两根，∴a=2，c=4， ∴S△ABC=acsinB=×2×4×

=2

，

2

2

2

2

故选：C． 点评： 本题考查等差数列的性质，考查三角形面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

6．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ） A．

考点： 专题： 分析： 解答： ∴e=

B．

C．

D．

双曲线的简单性质．

圆锥曲线的定义、性质与方程．

根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论． 解：∵双曲线C的离心率为2， ，即c=2a，

点A在双曲线上，

则|F1A|﹣|F2A|=2a， 又|F1A|=2|F2A|，

∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c， 则由余弦定理得cos∠AF2F1=

=

=

．

故选：A．

点评： 本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．

7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． 4 C． 6 D． 7

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由三视图可知该几何体是一棱长为2的正方体切去两个三棱锥，其底面为俯视图中的两个直角三角形，高为2．利用柱体、锥体的体积公式计算即可．

B． 5

解答： 解：由三视图可知该几何体是一棱长为2的正方体切去两个三棱锥，其两个三棱锥的底面为俯视图中的两个直角三角形，高为2，所以V=2×2×2﹣

=7．

故选：D． 点评： 本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．

8．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（ ） A． 40种 B． 70种 C． 80种 D． 100种

考点： 进行简单的合情推理． 专题： 计算题；推理和证明． 分析： Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，即可得出结论． 解答： 解：Grace不参与该项任务，则有Grace参与该项任务，则有

=10种，

=30种；

故共有30+10=40种 故选：A． 点评： 本题考查进行简单的合情推理，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

9．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，且在△ABC所在的平面内存在一点O，使得（?

=（

+

）?

=（

+

）?

=0成立，则

?

的值为（ ）

D． 10

+

）

A． 7 B． 8

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用．

C． 9

分析： 运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，可得|△ABC的外心．再由

?

=

?（

﹣

）=

﹣

|=||=||．即O为

，运用向量的数量积的定

义和几何意义，结合等腰三角形的性质，即可计算得到． 解答： 解：由于（则（

+

）?（

﹣+

）?）=（

=（+

+）?（

）?﹣

=（

+

）?+

=0， ）?（

﹣

）=0，

）=（

即有即

=

﹣=

=﹣，即|

=|=|

|=|

﹣|．

=0，

即O为△ABC的外心．

由于O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线． ?=|

=|

2

|（||cos∠DAO）=||?||

|=，

?=

=|?（

﹣|=

2

同样地，则=

?

， ）=

﹣

﹣=8．

故选：B．

点评： 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，同时考查向量的三角形法则和外心的性质，运用等腰三角形的性质是解题的关键．

10．已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象是一段弧（如图所示），若0＜x1＜x2＜1，则（ ）

A． x2f（x1）＜x1f（x2） B． x1f（x1）＜x2f（x2） C． x2f（x1）＞x1f（x2） D． x1f（x1）＞x2f（x2）

考点： 函数的图象． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 方法一，根据已知中函数y=f（x）（0≤x≤1）的图象，分析其凸凹性，进而可得y=f′（x）（0≤x≤1）的单调性，及函数y=

（0≤x≤1）的单调性，根据单调性可得的大小．

方法二根据直线的斜率．

解答： 解：方法一，由已知中函数y=f（x）（0≤x≤1）的图象 可得函数为凸函数，

故y=f′（x）（0≤x≤1）为减函数， 故函数y=

（0≤x≤1）为减函数．

∵0＜x1＜x2＜1， ∴

＞

，

∴x2f（x1）＞x1f（x2）； 方法二：如图所示， ∵0＜x1＜x2＜1， ∴

，

∴＞，

∴＞，

∴x2f（x1）＞x1f（x2） 故选：C．

点评： 本题考查的知识点是直线的斜率，函数的图象，其中根据函数的图象分析出函数y=

（（0≤x≤1）的单调性，是解答的关键．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置． 11．已知向量=（2m，3），=（m﹣1，1），若，共线，则实数m的值为 3 ．

考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 利用向量共线的坐标表示可得关于m的方程，解出可得． 解答： 解：∵，共线， ∴2m×1﹣3（m﹣1）=0， 解得m=3， 故答案为：3．

点评： 本题考查向量共线的坐标表示，属基础题，注意不要与向量数量积运算的坐标形式混淆．

12．已知等差数列{an}中，a1+a5+a9=

，则sin（a4+a6）=

．

考点： 数列与三角函数的综合． 专题： 计算题． 分析： 根据等差数列的性质，知道a5是a1与a9的等差中项，得到第五项的值，根据a5是a4与a6的等差中项，得到这两项的和，从而求出角的正弦值． 解答： 解：∵等差数列{an}中，a1+a5+a9=∴3a5=∴a5=

，

，

，

，

∴a4+a6=2a5=

∴sin（a4+a6）=sin故答案为：．

点评： 本题考查等差数列的性质，考查等差中项的应用，考查特殊角的三角函数值，解题的关键是利用等差数列通项的性质．

13．{（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}中任取一点，恰好在y=x和x=1围成区域的概率

考点： 几何概型． 专题： 计算题；概率与统计．

分析： （x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}的面积为2，y=x和x=1围成区域的面积为2

dx=

=，即可求出概率．

2

2

2

．

解答： 解：{（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}的面积为2，y=x和x=1围成区域的面积为2

dx=

=，

∴所求的概率为=． 故答案为：．

点评： 本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定y=x和x=1围成区域的面积是关键．

2

14．数列{an}满足（an+1）（1﹣an+1）=2，则a2013a2015= ﹣1 ．

考点： 数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由（an+1）（1﹣an+1）=2，可得解答： 解：∵（an+1）（1﹣an+1）=2， ∴an+1﹣anan+1﹣an+1=2， 化为

，

，进而得到an+2=

，即可得出．

∴=，

∴an+2?an=﹣1． ∴a2013a2015=﹣1． 故答案为：﹣1． 点评： 本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，若函数g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M和最小值m，则M+m= ﹣4030 ．

考点： 抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论． 解答： 解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，

∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2015，f（0）=﹣2015， 取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2015， ∴f（x）+f（﹣x）=﹣4030．

记h（x）=f（x）+sin2015x+2015，

则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+sin（﹣x）+2015]+f（x）+sin2015x+2015 =f（x）+f（﹣x）+4030=﹣4030+4030=0， 故y=h（x）为奇函数．

记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A．

∴g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M=A﹣2015和最小值m=﹣A﹣2015， 则M+m=A﹣2015+（﹣A﹣2015）=﹣4030， 故答案为：﹣4030．

点评： 本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，根据条件构造奇函数是解决本题的关键．

三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卷的相应位置． 16．如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1． （Ⅰ）证明DA⊥EF；

（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．

考点： 二面角的平面角及求法． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．

分析： （Ⅰ）由已知条件推导出DA⊥AB，从而得到DA⊥平面ABEF，由此能求出DA⊥EF．

（Ⅱ）以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面DCE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠DAB=90°，∴DA⊥AB，

又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB， ∴DA⊥平面ABEF，

∵EF?平面ABEF，∴DA⊥EF． （Ⅱ）DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，

以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系， ∴B（0，2，0），E（2，2，0），D（0，0，2），C（0，2，1）， ∴

设平面DCE的法向量

，

，

则，

令x=1，得平面DCE的一个法向量又cos＜

＞=

，

，

，

∴直线BE与平面DCE所成角的正弦值为．

点评： 本题考查立体几何中的线面关系、空间角、空间向量等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．

17．已知向量=（cosax，sinax），=（

cosax，﹣cosax），其中a＞0，若f（x）=?的

图象与y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列． （Ⅰ）求a和m的值； （Ⅱ）在△ABC中，若f（）=

，且BC=4，求△ABC面积的最大值．

考点： 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 等差数列与等比数列；解三角形；平面向量及应用． 分析： （Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的余弦公式，化简（fx），再由相切可得m为f（x）的最大值，再由等差数列的通项公式可得a=1；

（Ⅱ）由f（x）的解析式，可得A，再由余弦定理和基本不等式，可得bc的最大值为16，运用三角形的面积公式计算即可得到所求最大值． 解答： 解：（Ⅰ）由于向量=（cosax，sinax），=（则f（x）=?=

cosax﹣sinaxcosax=

2

cosax，﹣cosax），其中a＞0，

+cos（2ax+

； ，k∈Z，

），

（1+cos2ax）﹣sin2ax=

若f（x）图象与y=m（m＞0）相切，则m为f（x）的最大值，即为1+又切点横坐标成公差为π的等差数列，由2ax+即有a=1．

（Ⅱ）在△ABC中，若f（）=则

+cos（A+

）=）=0，

=

，

，

，

=2kπ，即有x=

即有cos（A+

由A为三角形的内角，则A+

即A=，

2

2

2

且BC=4，由余弦定理可得4=b+c﹣2bccosA，

22

即有16=b+c﹣bc≥2bc﹣bc，即有bc≤16， 则△ABC面积S=bcsinA=

bc≤4

．

当且仅当b=c=4，三角形的面积取得最大值4． 点评： 本题主要考查向量的数量积的坐标运算和三角恒等变换、三角函数的性质等基础知识，同时考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，运用基本不等式求最值是解题的关键．

18．如图，点A，B分别是椭圆E：经过椭圆E的左焦点F． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．求围．

?

的取值范

+

=1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x﹣2）+y=9，

2

2

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）通过圆B的圆心坐标可得a=2，在圆B方程中令y=0得c=1，进而可得结论； （Ⅱ）①当直线l为x轴时，显然有

?

=0；②设直线AP：x=ty﹣2，并与椭圆E的

方程联立，利用韦达定理可得yP=，xP=

，通过向量数量积的坐标形式计算

即得结论．

22

解答： 解：（Ⅰ）∵以椭圆E的右顶点B为圆心的圆B方程为：（x﹣2）+y=9， ∴圆B的圆心坐标的横坐标即为a的值，∴a=2，

22

在圆B：（x﹣2）+y=9中令y=0，得F（﹣1，0）， 2

∴b=4﹣1=3， ∴椭圆E的方程为：

+

=1；

?

（Ⅱ）①当直线l为x轴时，显然有=0；

②设直线AP：x=ty﹣2，并与椭圆E的方程联立， 消去x可得：（4+3t）y﹣12ty=0， 由椭圆E的方程可知：A（﹣2，0）， 由韦达定理可得：yP=

，xP=

，

2

2

在直线AP：x=ty﹣2中令x=0，得：yQ=，

∴?=（1，）?（﹣2，）=∈（0，2）；

综上所述，?的取值范围为[0，2）．

点评： 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、探索求解能力，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

19．自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示： 堵车时间（小时） 频数 [0，1] 8 （1，2] 6 （2，3] 38 （3，4] 24 （4，5] 24 经调查发现堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的状况下，走甲路线需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到如表数据． 路段 CD EF GH

堵车概率 x

y

平均堵车时间（小时） a 2 1

（Ⅰ）根据右表数据画出CD段堵车时间频率分布直方图并求CD段平均堵车时间a的值； （Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．

分析： （1）由已知数据能画出CD段堵车时间频率分布直方图，用总的堵车时间除以总人数100人，即得到平均堵车时间；

（2）利用独立事件求出每种情况的概率，选择甲路线说明甲需汽油费少，利用线性规划化画出区域图，再利用几何概型求概率． 解答： 解：（1）由CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机， 得到数据统计表，

作出CD段堵车时间频率分布直方图，如右图． a=0.5×

+

=3．

（2）设走甲线路所花汽油费为X元，

则EX=500（1﹣x）+（500+60）x=500+60x．

设走乙线路多花的汽油费为Y元，∵EF段与CH段堵车与否相互独立， ∴P（Y=0）=（1﹣y）（1﹣）， P（Y=20）=（1﹣y）

，

P（Y=40）=y（1﹣）， P（Y=60）=∴EY=

，

+60

=40y+5．

∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E（545+Y）=545+E（Y）=550+40y， 依题意，选择走甲线路应满足（550+40y）﹣（500+60x）≥0， 即6x﹣4y﹣5≤0，又

，

∴P（选择走甲线路）==．

点评： 本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力，考查数形结合数学思想方法．

20．已知函数f（x）=ax+ln（x+1） （Ⅰ）求f（x）在（0，f（0））处切线方程； （Ⅱ）当x∈[0，+∞），f（x）上的点均在

表示的区域内，求实数a的取值范围．

2

（Ⅲ）求证：＜，n∈N．

*

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．

分析： （I）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程；

22

（II）由题意可得当x∈[0，+∞）时，ax+ln（x+1）≤x，构造g（x）=ax+ln（x+1）﹣x，求得导数，判断单调性，对a讨论，得到g（x）≤0恒成立的a的范围； （Ⅲ）令g（x）=ln（x+1）﹣2x（x≥0），求出导数，判断单调性，再令x=ln（1+得证．

解答： （I）解：f′（x）=2ax+

，

）＜

=﹣

，则

，再由裂项相消求和，以及不等式的性质，即可

则切线的斜率为f′（0）=1，又f（0）=0， ∴f（x）在（0，f（0））处切线方程为y=x； （II）解：∵当x∈[0，+∞），f（x）上的点均在∴当x∈[0，+∞）时，ax+ln（x+1）≤x，

2

即g（x）=ax+ln（x+1）﹣x≤0，

2

表示的区域内，

g′（x）=2ax+﹣1=2ax﹣．

当a≤0时，g′（x）≤0，

∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，

∴g（x）≤g（0）=0，满足题意，因此a≤0适合条件；

当a＞0时，g′（x）=．

当a≥时，g′（x）≥0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递增， g（x）≥0，不满足题意，舍去； 当

时，令g′（x）＞0，解得

，

此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0， 解得∴

，此时函数g（x）单调递减． ＜g（0）=0，

不满足题意，舍去．

综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，0]． （Ⅲ）证明：令h（x）=ln（x+1）﹣2x（x≥0）， 则h′（x）=

﹣2=

＜0，

h（x）在[0，+∞）递减， 即有h（x）≤h（0）=0， 则ln（x+1）≤2x， 令x=则ln（1+

，

）＜

=﹣

，

即有=（1+）＜（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（

﹣）

﹣

＜．

=1+﹣

故原不等式成立． 点评： 此题主要考查利用导数研究切线方程和函数的单调区间和最值问题，解题过程中多次用到了转化的思想，函数的恒成立问题转化为求最值问题，同时考查不等式的证明，注意运用函数的单调性和裂项相消求和，本题难度比较大，是一道综合题．

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．【选修4-2：矩阵与变换】 21．已知

是矩阵A=

的一个特征向量． 相应的特征值； ，求矩阵BA．

﹣1

（Ⅰ）求m的值和向量（Ⅱ）若矩阵B=

考点： 逆矩阵的意义；矩阵特征值的定义． 专题： 矩阵和变换．

分析： （Ⅰ）设出特征值，根据矩阵与列向量的乘积，列出方程组求解即可； （Ⅱ）首先求出|B|，然后求出B，最后根据矩阵相乘的方法，求出阵BA即可． 解答： 解：（Ⅰ）根据题意，可知存在实数λ（λ≠0）， 使得即

，

，

相应的特征值为1； =λ

，

﹣1

﹣1

又因为k≠0，所以所以m=0，特征向量

（Ⅱ）因为|B|=3×1﹣2×2=﹣1， 所以B=

﹣1

，

因此阵BA=

﹣1

=．

点评： 本题主要考查矩阵的性质和应用、特征值的计算，考查了矩阵的乘法、逆矩阵的求法，解题时要特别注意特征值与特征向量的计算公式的灵活运用．

【选修4-5：不等式选讲】

22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角

坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

考点： 参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．

专题： 直线与圆．

分析： （1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程；消去参数t即可得到直线l的方程； （2）利用弦长|PQ|=2形的面积．

解答： 解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ=4ρcosθ，进而x+y=4x；

2

2

2

和圆的内接矩形，得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩

对于l：由（t为参数），

得，即．（5分）

（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2， 则弦心距

，

弦长，

因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分） 点评： 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等．

【选修4-5：不等式选讲】

2014?泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m对任意t∈R恒成立． （Ⅰ）求实数m的取值范围；

222

（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x+y+z的最小值．

考点： 二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．

2

分析： （Ⅰ）由条件利用绝对值三角不等式求得|t+3|﹣|t﹣2|的最大值，可得6m﹣m≥5，由此求得实数m的取值范围

222222222

（Ⅱ）由题意可得 λ=5，3x+4y+5z=5，再根据（x+y+z）（3+4+5）≥25，求得x+y+z的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|t+3|﹣|t﹣2|≤|（t+3）﹣（t﹣2）|=5，不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m对任意t∈R恒成立，

可得6m﹣m≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}． （Ⅱ）由题意可得 λ=5，3x+4y+5z=5．

∵（x+y+z）（3+4+5）≥（3x+4y+5z）=25，当期仅当==时，等号成立， 即x=

，y=，z= 时，取等号．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴50（x+y+z）≥25，∴x+y+z≥，即x+y+z的最小值为， 点评： 本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．

222222222

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