厦门理工学院 大一下 高等数学 期中试卷 评分标准

一、填空题（每题3分，共24分），请把答案写在下面表格中对应的位置。

1．设z 1

ln(x y)

的定义域为 x y 0且

x y 12. 过原点且与直线 x y z 1 0

垂直的平

2x y 4 0面方程为 x1 y2 z

3

3. 已知a,b,c都是单位向量，且满足

a+b+c 0，求a b+b c+c a 3

2

4. 两平面x y 2z 6 0和

2x y z 5 0的夹角是

3

5. 将xoz坐标面上的曲线z2

5x绕x轴旋转

1

2．设

f(x,y,z) (x)z

y

，则

df(1,1,＝1[ B ]

A. dx dy B.

dx dy C.

dx dz D. dx dz

3．在空间直角坐标系中，方程 1 x2

2y2

0所 （

A

）

ln(x y)（B）2x y)

（

C

）

1

2(lnx lny)y所生成的旋转曲面方程为

x z5

6. 设 z ln x

2z xy y

,则 x y 7. 微分方程y

yx x

yy

的通解是sinx Cx

8. 函数u xy2 z3 xyz在点P0(0, 1,2)沿方向l (1的方向导数 u

15 l

2

P0

二、选择题：（每题2分，共20分）请把答案写在下面表格中对应的位置。

1．向量a (ax,ay,az)与x轴垂直，则[ A ]

(A).ax 0 (B).ay 0(C).az 0 (D).ax ay 0 表示的曲面是 [ D ]

(A) 椭球面 (B) 椭圆抛物面 (C) 单叶双曲面 (D) 椭圆柱面

（D）2x y)

f(x,y) xy(x,y4. 设函数 ) 0, 0,(x,y) (0,0)则函数f(x,y)在(0,0)处[ C ]

（A）不连续 （B）连续但不可微 （C）可微 （D）偏导数不存在

5. 下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是 [ C ] （A）xsin(xy)dx ydy 0 （B）

(A). 不存在 (B). 1 (C). 0 （D）.无法确定

（A）xsin(xy)dx ydy 0 （B）

y ln(x y) （C）y

1

y exy2 x

dy

xsiny （D）dx

y ln(x y)

（C）

dy

xsiny （D）dx

1

y y exy2

x

6．已知函数f(xy,x y) x2 y2 xy，则

三、计算题（每题6分，共35分）

x y z 1 0

1、求直线 在平面

x y z 1 0

:x y z 0上的投影直线方程.

解：设过该直线的平面束方程为：

f(x,y) f(x,y)

，分别为[ D ]. x y

(A). 2y, 2x; (B).2x 2y,2y x; ( x y z 1) (x y z 1) 0 (C).2y, 1; (D). 1,2y.

7. 设函数f(x,y) 4(x y) x2 y2，则

即

(1 )x (1 )y ( 1)z ( 1) 0

(2, 2)是f(x,y)的[ A ]

（A）极大值点 （B）极小值点 （C）驻点而非极值点 （D）非驻点 8.

设

--------------------------2分

又

要找一个和平面 垂直的平面

(1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 1 0 1

-------------------------------------

f(x,y,z) yz2ex,其中z g(x,y)是由方程x y 4z xyz分 0确定的隐函数，则fx (0,1, 1) [ C ]

即得平面：y z 1 0与平面 垂直

(A). 0 (B). -1

-------------------------------------(C).1 （D）.-2

---5分

9．微分方程y 4y 29y 0，y|x 0 0，

y |x 0 15的特解是y [ B ]

（A）3(e

2x

该投影直线方程为

1)cos5x （B）

y z 1 0

x y z 0

-----------------------------------------6分

5e

2x

sin3x

2x

（C）3esin5x （D）

5(e 2x 1)cos3x

x2y

[ C ] 10. 判断极限lim2

x 0x y2y 0

x2

y2平行于平面2、求曲面z 22x 2y z 0的切平面方程.

2

x22

解：令F(x,y, z y z，则

2

--5分

22

2y2zez 2xy3z yzez

z3

n (Fx,Fy,Fz) (x,2y ,------------1---------2分

又平面2x 2y z 0的法向量为

(2,2, 1)

根据题意知

x2 2y2 1 1

， x 2,y 1，---------------------------------------4分

从而n (2 ,2，,切点为(2, 1

------------------------------------------5分 所以该曲面平行与平面

2x 2y z 0的切平面方程为：

-------------------------------5分

3、设ez

xyz 0，求 2z

x

2.

解：对方程两边同时对x求导：

ez

z x y(z x z

x

) 0

-------------------------------------------------------2分

z x yz

ez

xy

----------------------------------------------------------3分

2

y

z

z

(ez xy) yz(ez z y) x

2 (ez xy)2

-------------------------------------

(e xy)------------------------------------6

分

4、设z f(xy,yx

),且f可微，求dz. 解

：

z x f y

1 yx

2 f2 -----------------------------------------------------6分

z y f x 1

1 x

f2

---------------------------------------------------------2分

2

z z yxz xy y) 0-------------------------------------------------------- 2分 解出

： z

z

yz x y -------

yz

--------------------------------------1分

四、解答题（每题7分，4小题共计共28

分）。

1、设 z x2 y2dydz x2 2y2 3z2

20

，求 dx，dx. 解：方程组等式两边分别对x求导得：

3

dy dz

2x 2y dxdx

----------------

dydz 2x 4y 6z 0

dxdx

当x 0时，f(x) 0代入上方程得C 2

---------------------------------------6分 故

--------------------------4分

解得

f(x) 2 2e

x2

2

1)-------------------------------------， 1)

dyx(z6 dx2y(z 3

-----------------------------------------6分

dzdx x3z 1

--------------------------------------------------------------7分

2、设f(x)为连续函数，由

x

2

t(f)t d t所确定，求x()fxf(x). 解：对积分方程两边求导数得

xf(x) 2x f(x)

，

-------------------------------2分

即 f (x) xf(x) 2x 且f(0) 0 ------------------------------------3分

f(x) e xdx( 2xe xdx

dx C)

------------------------------------4分

x22 e2

(

2xe

x2

dx C)

x2x2 e(2e

x222

C) 2 Ce

2

----------------------------------------------------5分

------------------7分3、

求方程y y y 2e2x的一个特解.

解： 2

1 0显然2不是该方程的根

-------------------------------------2分

设方程的特解y* Ae2x

--------------------------------------------------3分 y* 2Ae2x y* 4Ae2x

4A 2A A 2

A

2

7

--------------------------------------------3分

y*

27

e2x -----------------------------------------------------------7分

4、求表面积为a2

而体积为最大的长方体的体积.（用拉格朗日乘数法）

解：设长方体的三棱长x,y,z，则问题就是条件

(x,y,z) 2xy 2yz 2xz a2 0下，

求

函

数

V xyz

的最大值

-------------------------------------4

-----------------1分

作

拉

格

朗

日

函

数

----------3分

代入即得等式成立（略代入过程）。

L(x,y,z) xyz (2xy 2yz 2xz 2a)

-----------------------------------------------------------2分

----4分

Lx yz 2 (y z) 0

令 Ly xz 2 (x z) 0

Lz

xy 2 (y x) 0

L 2xy 2yz 2xz a2 0-------------------------------------5分

解

得

x

6

z a

------------------------------------------------------5分

因为实际问题

，V

3 ----------------------------------------------7分

五、证明题（每题4分，共4分）

设z y f(u)，而u x2 y2

，其中f可微，

证明y

z z

x x y

x. 证

明

：

z

x

f (u) 2x --------------------------------------------------------1分

z

y

1 2y f (u) --------------------------------------

5

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