2007年高考安徽卷数学文科试卷含答案 - 图文

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2007年普通高等学招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（文科）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

（1）若A?xx2?1?,B?xx2?2x?3?0?，则A?B＝

（A）?3?

（B）?1?

（C）?

(D) ??1?

??（2）椭圆x2?4y2?1的离心率为

3234 （A） （B） （C）

22 （D）

23

（3）等差数列?ax?的前n项和为Sx若a2?1,a3?3,则S4＝ （A）12 （B）10

(4)下列函数中,反函数是其自身的函数为 (A)f(x)?x2,x?[0,??) (C) f(x)?e3,x?(??,??)

（C）8

（D）6

(B)f(x)?x3,x?(??,??) (D) f(x)?1x,x?(0,??)

(5)若圆x2?y2?2x?4y?0的圆心到直线x?y?a?0的距离为(A)-2或2

(B)

123222,则a的值为

或 (C)2或0 (D)-2或0

(6)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面a内,则“l??”是“l??”是“l?m且l?n”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

32(B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

(7)图中的图象所表示的函数的解析式为 (A)y?|x?1| 3232?32(0≤x≤2)

(0≤x≤2)

(B) y?(C) y?|x?1|

?|x?1| (0≤x≤2)

(D) y?1?|x?1| (0≤x≤2)

2(8)设a＞1,且m?loga(a?1)n?loga(a?1),p?loga(2a),则m,n,p的大小关系为

(A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n

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?2x?y?2?0?(9)如果点P在平面区域?x?y?2?0上,点O在曲线x2?(y?2)2?1上,那么|PQ|的?2y?1?0?最小值为 (A)

32 (B)

45?1 (C)22?1 (D)2?1

(10)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为

?2(A)2? (B)? (C)

2(D)

?3

(11)定义在R上的函数f (x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f (x)=0在闭区[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为 (A)0

二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.

2235(12)已知(1?x)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x,则(a0?a2?a4)(a1?a3?a5)

4(B)1 (C)3 (D)5

的值等于 .

(13) 在四面体O-ABC中，AB?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，E为AD的中点，则

OE= （用a，b，c表示）

(14)在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 . (15)函数f(x)?3sin(2x?正确结论的编号). ①图象C关于直线x?②图象C关于点(2?31112?3)的图象为C,如下结论中正确的是 (写出所有

?对称;

,0)对称;

③函数f(x)在区间(??1212,5?)内是增函数; ?3④由y?3sin2x的图象向右平移

个单位长度可以得到图象C.

三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分10分）

解不等式(|3x?1|?)(sinx?2)＞0.

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(17) （本小题满分14分）

如图,在六面体ABCD?A1B1C1D1中,四边形ABCD是边 长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方 形,DD1?平面A1B1C1D1,DD1?平面ABCD, DD1?2.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求证:平面A1ACC1?平面B1BDD1;

(Ⅲ)求二面角A?BB1?C的大小(用反三角函数值表示).

第(17)题图

（18）（本小题满分14分）

设F是抛物线G:x2=4y的焦点.

（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：

（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足FA·FB抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

(19)(本小题满分13分)

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔. (Ⅰ)求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率； （Ⅱ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率.

?0,延长

AF、BF分别交

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(20)(本小题满分14分)

设函数f（x）=-cos2x-4tsin

x2cos

x2+4t2+t2-3t+4,x∈R,

其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；

(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

（21）（本小题满分14分）

某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后

第年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年

n-1n-2

所交纳的储备金就变为n(1+r)，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r),……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证：Tn=An+Bn，其中?An?是一个等比数列，?Bn?是一个等差数列.

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（文史）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 7．Ｂ

2．Ａ 8．Ｂ

3．Ｃ 9．Ａ

1214

144．Ｄ 5．Ｃ 11．Ｄ

311 6．Ａ

10．Ｃ

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．?256

13．

a?b?c

14． 15．①②③

三、解答题

16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．

解：因为对任意x?R，sinx?2?0，所以原不等式等价于3x?1?1?0． 即3x?1?1，?1?3x?1?1，0?3x?2，故解为0?x???2??． 3?23．

所以原不等式的解集为?x0?x?17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）：

以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

D?xyz如图，

D1 z C1 B1

A1 D C y A x B 0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，2)，B1(1，1，2)，C1(0，1，2)，D1(0，0，2)． 则有A(2，??????????????????1，0)，AC?(?2，2，0)，D1B1?(1，1，0)，DB?(2，2，0)． （Ⅰ）证明：∵A1C1?(?1，??????????????????∴AC?2A1C1，DB?2D1B1．

??????????????????∴AC与A1C1平行，DB与D1B1平行，

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于是A1C1与AC共面，B1D1与BD共面．

?????????????????（Ⅱ）证明：DD··AC?(2，，20)·(?2，，20)?0， AC?(0，0，2)·(?2，2，0)?0，DB1?????????????????∴DD1?AC，DB?AC．

DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线． ∴AC?平面B1BDD1．

又平面A1ACC1过AC．

∴平面A1ACC1?平面B1BDD1．

?????????????（Ⅲ）解：AA1?(?1，0，2)，BB1?(?1，?1，2)，CC1?(0，?1，2)．

设n?(x1，y1，z1)为平面A1ABB1的法向量， ????????n·AA1??x1?2z1?0，n·BB1??x1?y1?2z1?0．

于是y1?0，取z1?1，则x1?2，n?(2，0，1)． 设m?(x2，y2，z2)为平面B1BCC1的法向量，

?????????m·BB1??x2?y2?2z2?0，m·CC1??y2?2z2?0．

于是x2?0，取z2?1，则y2?2，m?(0，2，1)． cosm，n?m·nmn?15．

15D1

∴二面角A?BB1?C的大小为π?arccos．

A1 C1 B1

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：∵D1D?平面A1B1C1D1，D1D?平面ABCD．

∴D1D?DA，D1D?DC，平面A1B1C1D1∥平面ABCD．

D E M

F C

于是C1D1∥CD，D1A1∥DA．

A

设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，A1E，C1F， 有A1E∥D1D，C1F∥D1D，DE?1，DF?1．

O B

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∴A1E∥C1F，

于是A1C1∥EF．

由DE?DF?1，得EF∥AC， 故A1C1∥AC，A1C1与AC共面． 过点B1作B1O?平面ABCD于点O，

∥AE，BO ∥CF，连结OE，OF， 则B1O 111∥BA，OF ∥BC，∴OE?OF． 于是OE 1111∵B1A1?A1D1，∴OE?AD．

∵B1C1?C1D1，∴OF?CD．

所以点O在BD上，故D1B1与DB共面．

（Ⅱ）证明：∵D1D?平面ABCD，∴D1D?AC， 又BD?AC（正方形的对角线互相垂直），

D1D与BD是平面B1BDD1内的两条相交直线， ∴AC?平面B1BDD1．

又平面A1ACC1过AC，∴平面A1ACC1?平面B1BDD1．

（Ⅲ）解：∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，AC?DB， 根据三垂线定理，有AC?B1B．

过点A在平面ABB1A内作AM?B1B于M，连结MC，MO， 则B1B?平面AMC， 于是B1B?MC，B1B?MO，

所以，?AMC是二面角A?B1B?C的一个平面角． 根据勾股定理，有A1A?∵OM?B1B，有OM?5，C1C?B1O·OBB1B5，B1B?236． 23103103?，BM?，AM?，CM?．

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cos?AMC?AM2?CM2?AC22AM·CM??1515，?AMC?π?arccos．

15，

二面角A?BB1?C的大小为π?arccos18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．

2?x0?xx解：（I）设切点Q?x0，?．由y??，知抛物线在Q点处的切线斜率为0，故所求切

224??线方程为y?x042?x02(x?x0)．

即y?x02x?x442．

因为点P(0，??)在切线上．

x0422，x0?16，x0??4．

所以?4??所求切线方程为y??2x?4． （II）设A(x1，y1)，C(x2，y2)．

由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k?0． 因直线AC过焦点F(0，1)，所以直线AC的方程为y?kx?1． ?y?kx?1，点A，C的坐标满足方程组?2

?x?4y，得x?4kx?4?0，

?x1?x2?4k，由根与系数的关系知?

xx??4.?12AC?(x1?x2)?(y1?y2)?2221?k1k2(x1?x2)?4x1x2?4(1?k)．

1kx?1．

22因为AC?BD，所以BD的斜率为?，从而BD的方程为y??22??1??4(1?k)同理可求得BD?4?1??????． 2??k?k???11

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SABCD?12ACBD?8(1?k)k222?8(k?2?21k2)≥32．

当k?1时，等号成立．所以，四边形ABCD面积的最小值为32．

19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：以Ak表示恰剩下k只果蝇的事件(k?0，1，?，6)． 以Bm表示至少剩下m只果蝇的事件(m?0，1，?，6)． 可以有多种不同的计算P(Ak)的方法．

方法1（组合模式）：当事件Ak发生时，第8?k只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7?k只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以P(Ak)?C7?kC281?7?k28．

方法2（排列模式）：当事件Ak发生时，共飞走8?k只蝇子，其中第8?k只飞出的蝇子

6?k是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7?k只飞出的蝇子中有6?k只是果蝇，有C8种

不同的选择可能，还需考虑这7?k只蝇子的排列顺序．所以

P(Ak)?C2?C616?k(7?k)!A8?k8?3147?k28．

由上式立得P(A1)?628?；

328P(B3)?P(A5?A6)?P(A5)?P(A6)?．

20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I）我们有

f(x)??cosx?4tsin2x2cos2x2?4t?t?3t?4

232

?sinx?1?2tsin?4t?t?3t?4 ?sinx?2tsinx?t?4t?3t?3 ?(sinx?t)?4t?3t?3．

2322232由于(sinx?t)≥0，t≤1，故当sinx?t时，f(x)达到其最小值g(t)，即

g(t)?4t?3t?3．

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（II）我们有g?(t)?12t2?3?3(2t?1)(2t?1)，???t?1． 列表如下： t ????1，??? 2???12 ?1????，? ?22?? 12 ?1?1? ?，?2?g?(t) ? 0 0 ? ?1?? 2??g(t) ? 极大值g????1?? 2?? 极小值g?? 由此可见，g(t)在区间??1，???1??1??11?和单调增加，在区间，1?????，?单调减小，极小值为2??2??22?????1?g???2，极大值为g????4．

?2??2?21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提

取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．

解：（Ⅰ）我们有Tn?Tn?1(1?r)?an(n≥2)． （Ⅱ）T1?a1，对n≥2反复使用上述关系式，得

Tn?Tn?1(1?r)?an?Tn?2(1?r)?an?1(1?r)?an??

n?1n?2???an?1(1?r)?an， ?a1(1?r)?a2(1?r)2 ①

在①式两端同乘1?r，得

(1?r)Tn?a1(1?r)?a2(1?r)nn?1???an?1(1?r)?an(1?r)

2 ②

nn?1n?2???(1?r)]?an ②?①，得rTn?a1(1?r)?d[(1?r)?(1?r) ?dr[(1?r)?1?r]?a1(1?r)?an．

nnn即Tn?a1r?dr2(1?r)?drnn?a1r?dr2．

a1r?dr2如果记An?a1r?dr2(1?r)，Bn???drn，

则Tn?An?Bn． 其中?An?是以

a1r?dr2(1?r)为首项，以1?r(r?0)为公比的等比数列；?Bn?是以

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?a1r?dr2?dr为首项，?dr为公差的等差数列．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jkix.html