统计学试卷

题目部分，(卷面共有35题,240.0分,各大题标有题量和总分) 一、计算分析题(35小题,共240.0分)

(8分)[1]以简单随机抽样方法调查了某地的家庭人数，抽样比例为8%，样本容量为80户。经计算得：样本户均人数为3.2人，样本户均人数的标准差为0.148人，试就下列两种情况分别估计该地的户均人数和总人数： （1）若给定概率保证程度95%； （2）若给定极限误差为0.296

(8分)[2]某储蓄所按定期存款帐号进行每隔5号的系统抽样调查，调查资料如下： 存款金额 1000以下 1000—3000 3000—5000 5000—7000 7000以上 合计 张数（张） 30 150 250 50 20 500 在95%的概率下估计： （1）该储蓄所所有定期存单的平均存款范围、定期存款总额；

（2）定期存款在5000元以上的存单数所占的比重、定期存款在5000元以上的存单张数 (6分)[3]欲在一个有50000户居民的地区进行一项抽样调查，要求估计“拥有电冰箱的户数所占的比重”（经验数据在49%—60%间）的误差不超过2%；并要求估计“拥有空调的户数所占的比重”（经验数据在10%—30%之间）的误差不超过2%，给定可靠度为95.45%，试确定必要的样本容量。

(7分)[4]某厂负责人欲估计6 000根某零件的长度，随机抽取350根，测验得其平均长度为21. 4mm,样本标准差为0. 15mm，试求总体均值?的置信度为95％的置信区间。

(8分)[5]进行一项单因素试验，该实验依据该因素分为4组，每组内有7个观察值，在下面的方差分析表中，计算出所有的缺失值： 方差来源 组间 组内 总和 离差平方和 自由度 SSB=？ k-1=? SSE=560 n-k=? SST=？ n-1=? 均方 F值 MSB?SSB?80 k?1F=? SSEMSE??? n?k 然后在0.05的显著性水平下，检验这4组的总体均值是否有显著的不同。 (8分)[6]为调查甲、乙证券公司投资者的投资存款数，分别从两家证券公司抽选由25名投资者组成的随机样本，两个样本均值分别为45000元和32500元。根据以往经验知道两个总体均服从正态分布，标准差分别为920元和960元，试求?1??2的置信度为95％的置信区间。

(8分)[7]某商品的外包装有4种不同颜色，分别为红、黄、绿和粉色。除不同颜色之外，其他诸如价格、重量等全部相同，现把这4种不同颜色的同一商品并排放在货架上，一段时间后，其销售情况如下：

该商品的销售情况 单位：千克 红色 77 黄色 96 绿色 77 粉色 80 96 86 88 92 82 90 89 88 74 68 82 75 92 86 80 75 要求，分析该商品的颜色是否对销售量有影响。(??0.05)

(8分)[8]考察温度对某一材质传导率的影响，选了五种不同的温度，在同一温度下做了三次试验，测得其传导率如下： 60 65 70 75 80 温度 传导率 90 92 88 91 93 92 96 96 93 84 83 88 84 86 82 要求：分析温度对传导率有无显著影响。 (7分)[9]对方差?已知的正态总体，问需要抽取容量n为多大的样本容量，才能使总体均值

2?的置信水平为(1??)%的置信区间的长度不大于L?

(7分)[10]为防止出厂产品缺斤少两，该厂质检人员从当天产品中随机抽取12包过称，称得重量（以g为单位）分别为：9.9，10.1，10.3，10.4，10.5，10.2，9.7，9.8，10.1，10.0，9.8，10.3。假定重量服从正态分布，试以此数据对该产品的平均重量求置信水平为95％的置信区间。

(8分)[11]设总体服从正态分布N(?,9),X为容量为n的样本均值，若已知

P(??X?1)?0.90试求n至少应为多少？

(7分)[12]在10块土地上试种甲、乙两种作物，假设作物产量服从正态分布并计算得

x?30.97,y?21.79,sx?26.7,sy?12.1，显著性水平为1％，是否可以认为这两个品种

的产量没有显著性差别？

(7分)[13]某高校有3000名走读学生，该校后勤部门想估计这些学生每天来回的平均时间。以置信度为95％的置信区间估计，并使估计值处在真值附近1分钟的误差范围之内，一个先前抽样的小样本给出的标准差为4.8分钟，试问应抽取多大样本？

(7分)[14]最新一次人口普查表明某市65岁以上的老年人口比重为15.7％，为了检验该数据是否真实，普查机构又随机抽选了400名居民，发现其中有62人年龄在65岁以上，问：随机调查的结果是否支持该市老年人口比重为15.7％？(?=0. 05)

(7分)[15]某电视机厂声称其产品质量超过规定标准1200小时，随机抽取100件产品后测得均值为1245小时，已知??300小时，试求样本均值x?1245的可能性有多大？如果??0.05，根据计算出的结果，能否说该厂的产品质量已显著地高于规定标准？如果??0.1，结论又怎样？

(7分)[16]某灭蚊新产品在广告中声称其灭蚊药性的持续时间比旧产品平均增加3小时。根据资料，用旧灭蚊产品时药性的平均持续时间为10.8小时，标准差为1.8小时，为了检验新产品在广告中的“声称”是否正确，收集到一组使用新灭蚊产品的药性持续时间（以小时为单位）为：

16.7 12 14.1 11 17.2 15 13.4

试问这组数据能否说明新灭蚊产品灭蚊效果有了新的提高？ (??0.1，假设新旧灭蚊产品的药性持续时间服从正态分布）

(7分)[17]为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位职员随机安排了10位顾客，并记录下每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟），相应的样本

22均值和方差为：x1?25.2,s1?16.64,x2?22.5,s2?14.92。假定每位职员办理的时间服从

正态分布，且方差相等，试求两位职员办理账单的服务时间之差的95％的置信区间。 (6分)[18]某市职工家庭人均收入资料如下： 人均收入（元） 500以下 500~800 800~1100 1100以上 家庭户所占比重（%） 15 55 20 10 要求：计算众数和中位数。

(7分)[19]某酒店到三个农贸市场买草鱼，每公斤的单价分别为：9元、9.4元、10元，若各买3公斤、4公斤、5公斤，则平均价格为多少？若分别购买100元、150元、200元则平均价格又为多少？

(7分)[20]设某公司下属三个企业的产量计划完成程度资料如下： （1） 企业 甲 乙 丙 合计 计划完成程度（%） x 95 100 115 - 计划产值（万元） f 210 340 400 950 要求：计算三个企业的平均利润率。 （2） 企业 甲 乙 丙 合计 计划完成程度（%） x 95 100 115 - 实际产值（万元） f 199.5 340.0 460.0 999.5 要求：计算三个企业的平均利润率。

(7分)[21]某公司下属三个企业的销售资料如下： 企业 甲 乙 丙 销售利润率（%） 10 12 13 销售额（万元） 1500 1000 3000 要求：计算三个企业的平均利润率。 （2） 企业 甲 乙 销售利润率（%） 10 12 销售额（万元） 150 240 丙 13 390 (8分)[22]在某大城市中，某股份公司设有5个工资级别，该公司人员的平均工资为30500元，标准差为1138元，请考虑：

(1)是否可以认为，在这5个级别的人员中，99.7％的人所挣工资在27086~33914元之间？为什么？

(2)以下这样说是否正确：如果反复地从这些级别中每次抽取100人的简单随机样本，这些人的平均工资约有99.7％的概率落在30158.60~30841.40元之间。

(3)以下这样说是否正确：如果反复地从这些级别中每次抽取10000个人员的简单随机样本，这些人的平均工资约有99.7％的概率落在30272.40~30727.60元之间，为什么？ (6分)[23]将某件物品在分析天平上重复称量12次，得如下数据（单位：克）： 10.0001 9.9491 9.9873 10.0126 10.0243 9.9854 9.9959 10.0193 10.0044 9.9949 9.9716 10.0019

假设称量结果服从正态分布，试分别在标准差已知和未知的条件下，求该物品质量的0.95置信区间。

(6分)[24]总体X服从正态分布N(?,?2)。(X1,X2,,Xn)是来自总体X的简单随机样本，

X是样本均值，S2是样本方差。在以下条件下分别试求总体均值?的1??置信区间：

2(1)假设总体方差?2??0已知；

(2)假设总体方差?未知。

(6分)[25]以往的统计资料表明，新旧两种工艺下生产的同一种产品的抗拉强度X和Y都服从正态分布，其标准差分别为?x?30和?y?52。假设分别抽样检验了新旧产品各10件和13件，相应得样本均值44和38，试建立两种产品期望抗拉强度?x和?y之差的0.95置信区间。

(6分)[26]某县农村抽样调查2002年底居民户中拥有摩托车的情况，结果在调查的2500户中250户拥有，试求该县农户摩托车的拥有率的95％置信区间。

(8分)[27]下面给出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间（分）： 9. 8 10.4 10.6 9.6 9.7 9. 9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9. 6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7

设装配时间总体服从正态分布N(?,?),?,?均未知，是否可以认为装配时间的均值?显著大于10(取??0.05)？

(6分)[28]商店销售分别来自甲、乙两个厂家的同一种产品，为比较其性能的差异，分别从两家的产品中各随意抽取了8件和9件，测定某项性能指标，得样本均值0.190和0.232，样本标准差为0.078和0.087。假设两厂产品此项指标的测定结果X和Y都服从正态分布

2X~N(?1,?12),Y~N(?2,?2)求： 2(1)方差比?12/?2的0.95的置信区间；

222(2)均值差?1??2的0.95置信区间。

(6分)[29]甲、乙两家化肥厂生产化肥，甲厂平均每小时生产100袋化肥，且服从正态分布，标准差为25袋；乙厂平均每小时生产110袋化肥，也服从正态分布，标准差为30袋。现从甲、乙两厂各随机抽取5小时计算单位时间的产量，问出现乙厂比甲厂单位时间产量少的概率为多大？

(6分)[30]某地区对上半年栽种的一批树苗进行了调查，假定我们已知树的成活率为85％，如果检查一个500株树苗组成的随机样本，其中存活率在80％和90％之间的概率为多少？ (6分)[31]苏州市第四次人口普查显示，该市老年人口老龄化（65岁以上）比率为14.7％。若你作为暑期社会实践队成员到苏州市对该市人口老龄化问题进行研究，随机调查了400名当地市民，问其老龄化率为10％和16％之间的概率为多少？

(6分)[32]要比较甲、乙两种橡胶轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各抽取8个，各取一个组成一对。再随机抽取8架飞机，将8对轮胎随机配给8架飞机，做耐磨试验。飞行了一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单位:mg）数据如下：

甲4 900 5 200 5 500 6 020 6 340 7 660 8 650 4 870 乙4 930 4 900 5 140 5 700 6 110 6 880 7 930 5 010 试问这两种轮胎的耐磨性能有无显著差异？(??0.05)并计算检验的p值。

(6分)[33]为了了解各个省份男女人口比例，某机构进行了一项调查。其中从云南省随机抽取了4000人，结果男性比例为0.52.请在0.05的显著性水平下检验云南省男性比例是否显著不等于0.5.如果样本量为2000人，结果仍为男性比例为0.52，在同样的显著性水平下，你的检验结论又是什么？你是怎样理解52：48这个男女比例的？

(6分)[34]2005年2月，某航线往返机票的平均折扣费是258元。随机抽取3月份15个往返折扣机票的折扣费作为样本，结果得到如下数据： 310 260 255 265 300 310 230 250 265 280 290 240 285 250 260

采用??0.05，检验3月份往返机票折扣费是否有显著增加。

(6分)[35]北京市劳动和社会保障局公布的2004年的北京市职工年平均工资为28 348元。 北京市某大学教师想检验自己学校具有讲师职称的老师的平均工资与北京市平均工资有无显著差别，他随机抽取了36名大学职称为讲师的老师的年工资作为样本，结果显示：36人的年平均工资为29040元，标准差为2 300元。请检验该大学具有讲师职称的教师的年平均工资与北京市职工年平均工资水平是否有显著差别。

====================答案====================

答案部分，(卷面共有35题,240.0分,各大题标有题量和总分) 一、计算分析题(35小题,共240.0分) (8分)[1][答案]

（1）在95的概率保证下，户均人数的区间为[2.91，3.49]，总人数为[2910，3490]

（2）在极限误差为0.296时，户均人数的区间为[2.904，3.496]，总人数为[2904，3496]，其概率保证程度为95.45% (8分)[2][答案]

在95%的概率保证下：

（1）平均存款[3419，3681]，定期存款总额[8547500，9202500]， （2）所占比重[11.3%，16.7%]，存单张数[283，418]

(6分)[3][答案]

重复抽样时，调查电冰箱时所需的户数2500，空调时需2100户，如果采用重复调查，为了满足共同的需要，调查2500户；

不重复抽样时，调查电冰箱时所需的户数2381，空调时需2016户，如果采用不重复调查，为了满足共同的需要，调查2381户； (7分)[4][答案]

由于不知总体是否服从正态分布，且方差未知，并且

n350??5%故?的95%的置信区N6000间为x?Z0.05sn0.15350，即（21.38，21.42），也即有1??21.4?1.96??1?N6000n35095%的把握估计平均长度在21.38~21.42mm之间。

(8分)[5][答案] 方差来源 离差平方和 SSB=240 SSE=560 SST=800 自由度 均方 F值 组间 组内 总和 k-1=3 n-k=24 n-1=27 SSB?80 k?1F=3.42857 SSEMSE??23.3333 n?kMSB? 由题意，可建立假设：

H0:这4组的总体均值是相同的； H1:这4组的总本均值是有显著的不同。

?F?3.42857?F0.05(3,24)?3.01，拒绝原假设。

(8分)[6][答案]

两个总体均服从正态分布，且方差已知，故?1??2的置信度为95%的置信区间为：

(x?x2)?Z0.025?12n1?2?22n2?(45000?32500)?1.96??12500?521920960? 2525也即有95%把握估计甲、乙两证券公司投资者有款数额之差在11929~13021元之间。

(8分)[7][答案]

H0:颜色对销售量没有影响 H1:颜色对销售量有影响方差分析

差异源 组间 组内 总计

SS

581.2 565.6 1146.8

df

3 16 19

MS

193.7333 35.35

F

5.480434

P??alue

0.008751

Fcrit

3.238867

拒绝原假设，接受备择假设，即颜色对销售量有影响。 (8分)[8][答案] 温度 60 0 2 -2 0 2ij2i65 1 3 2 6 70 6 6 3 15 75 -6 -7 -2 -15 80 -6 -4 -8 -18 yiy yi? ?yii???12 ??y?308,?y?810,i(??yij)2n?9.6

1SA??810?9.6?260.43ST?308?9.6?298.4Se?298.4?269.4?38来源 温度 e 总 和 平方和 260.4 38 298.4 自由度 4 10 14 均方和 65.1 3.8 F比 17.1 F0.99(4,10)?6 由于F?17.1?6?在??0.01水平上认为温度对传导率有显著影响。 (7分)[9][答案]

?2已知，故Z?x??,?的置信水平为(1??)%的置信区间长度为：

?/nZ1???Z?Z??x?1???21???Lnnn

224Z??n?1??L2x?(7分)[10][答案] 由于?未知，采用t?x??，其中x?10.092,s?0.2575,t0.975(11)?2.201，故总体均值s/n2.201?0.2575???的置信区间为?10.092??,即(9.9284,10.2556)

12??(8分)[11][答案]

P(??X?1)?P(?1?X???1)?1X??1??P?????

9/n9/n9/n???2?(n/3)?1?0.90所以，?(n/3)?0.95,n/3?1.645,n?24.4故n至少应为25。 (7分)[12][答案]

22由于两作物产量服从正态分布，但?x未知，要用两样本的t?检验H0:?2，须先检验,?y22 H0:?x??y2sx26.72?F?2??4.869?F0.995(9,9)?6.54sy12.12 22?接受H0:?x??yt??x?y22(n1?1)sx?(n2?1)syn1n2(n1?n2?2)n1?n2

30.97?21.792226.7?12.12?0.99?t0.995(18)?2.87810所以接受H0，即两品种的产量没有显著性差别。 (7分)[13][答案]

1.962?4.82n0?Z?/???88.511 n088.51n???85.97n088.511?1?3000N20.02522取n?86。 (7分)[14][答案]

H0:p?15.7%??pH1:p?15.7%

62?15.5@0??ppZ??p0(1?p0)n0.155?0.157

??0.10990.157?(1?0.157)400Z?Z??1.96故接受Ho，随机调查的结果验证了该市老年人口比重为15.7%。

2(7分)[15][答案] 当??0.05时，

???x?12001245?1200?p(x?1245)?p????p(z?1.5)?0.067?0.05，所以能够说该

300300????100?100?厂的产品质量已显著地高于规定标准；

当??0.1时，p(z?1.5)?0.067?0.1，所以能够说该厂的产品质量已显著地高于规定标准。

(7分)[16][答案]

旧灭蚊产品的药性持续时间X~N(10.8,1.82)，新灭蚊产品的药性持续时间X~N(?,?2)

H0:??13.8H1:??13.8

从总体Y取得容量为7的样本，计算得到y?14.2,s2?5.27。 （1）由于Y的方差未知，用t检验：

t?y??014.2?13.8n??7?0.461 s5.27t0.10(7?1)??1.4398?t，所以不能否定新灭蚊产品的灭蚊效果有了新的提高。

(7分)[17][答案]

两总体均服从正态分布，且方差相等，所以：

(x1,x2)?t?(n1?n2?2)sp211? n1n222其中x1?25.2,s1?16.64,x2?22.5,s2?14.92,n1?n2?10 2(n1?1)s12?(n2?1)s29?16.64?9?14.92sp???3.972

n1?n2?218t?(n1?n2?2)?t0.025(18)?2.1211?(25.2?22.5)?2.1?23.972??,即(?1.03,6.43)1010(6分)[18][答案]

人均收入（元） 500以下 500~800 800~1100 1100以上 家庭户所占比重（%） 15 55 20 10 累计比重（%） 15 70 90 100 Mo?L?d10.40?i?500??300d1?d20.40?0.35

?500?160?660(元)?fMe?L?2?sm?1fm?i?500?0.5?0.15?300

0.55?500?190.91?690.91(元)

(7分)[19][答案]

x?xH?xf?9?3?9.4?4?10?5?114.6?9.55(元/公斤)1212?f

m450????9.56(元/公斤)m100150200?x9?9.4?10(7分)[20][答案]

(1)这里，我们已知x和f，故可直接采用加权算术平均数公式计算。

x???xf?f?210?95%?340?100%?400?115%

950999.5?105.21% 950（2）xH??m?199.5?340?460?999.5?105.21% m199.5340460?x0.95?1?1.15950?1500?10%?2000?12%?3000?13x0??12%

65006500(7分)[21][答案] （1）x??xf?f（2）xH??m?150?240?390?780?12% m1502403906500?x0.1?0.12?0.13(8分)[22][答案] 解：（1）根据已知条件得：

??30500??1138

x??z??27086?30500??3113833914?30500z2??3

1138P(?3?z?3)?2?(3)?1?99.7%z1?所以可以认为，在这5个级别的人员中，99.7%的人所挣工次在27086~33914元之间。 （2）根据已知条件得：

?x???30500 ?1138?x???113.8n10x??x?x30158.60?30500z1???3 113.830841.40?30500z2??3113.8P(?3?z?3)?2?(3)?1?99.7%z?所以说反复地从这些级别中每次抽取100人的简单随机样本，这些人的平均工资约有99.7%的概率落在30158.60~30841.40元之间这种说法是对的。 （3）根据已知条件得：

?x???30500?1138?x???11.38

n100z?x??x?x30272.40?30500??2011.38

30727.60?30500z2??2011.38z1?由第（1）、第（2）小题可知99.7%的概率对应的是对均值偏离3倍标准差的区间，该题的区间是对均值偏离20倍标准差的区间，故认为这些人的平均工资约有99.7%的概率落在30272.40~30727.60元之间这种说法是不对的。 (6分)[23][答案]

9.9936，10.0050；9.9899，10.0087

(6分)[24][答案] (1)?X?u????0n,X?u??0?? n?（2）?X?t?,n?1??SS?,X?t?,n?1? nn?(6分)[25][答案]

0.81，11. 19 (6分)[26][答案] 8.88%, 11.24% (8分)[27][答案]

解：建立原假设和备择假设：

H0:??10,H1:??10

取??0.05，这是右侧检验。因?未知，所以采用t检验法，拒绝域为：

t?x?10?t?(n?1) s/n现在n?20,t0.05(20?1)?1.7291，算得: x?10.2,s?0.5099，统计量t的观察值为：

t?10.2?10?1.754?1.7291

0.5099/2因为t的值落在拒绝域内，故在水平0.05下拒绝原假设，认为装配时间的均值显著大于10。 (6分)[28][答案]

（1）0. 177，3. 940；（2）-0．097，-0．013 (6分)[29][答案] P＝0.2843 (6分)[30][答案] P＝0.9982 (6分)[31][答案] P＝0.7634 (6分)[32][答案]

解：t?2.8,t0.025(7)?2.36,2.8?2.36，所以有显著证据表明两种轮胎耐磨性能有显著差异

p?0.013。

(6分)[33][答案]

解：样本量为4 000时，z=2.53，而0.05显著性水平下的临界值为1.96，所以。有显著证据表明该省男女比例不等于0.5。样本量为2000时，z=1.79，所以不能认为该省男女比例不等于0.5。显著性检验结果受水平和样本量的影响，而检验结果是否显著不等于是否重要，男女比例为52：48是否说明比例失调属于社会问题。 (6分)[34][答案]

解：t?1.88,t?/2(14)?t0.025(14)?2.14,由于1.88＜2.14，因此不能认为3月份往返折扣费有显著增加。 (6分)[35][答案]

解：z?1.81,z?/2?z0.025?1.96,1.81?1.96，所以没有显著证据表明该大学具有讲师职称的教师的年平均工资与北京市职工年平均工资水平有显著差别。

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