数推心得

更新时间:2023-03-08 05:12:52 阅读量: 综合文库 文档下载

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看到太多的人被辅导资料误导,实在于心不忍。故发此贴。请不要无意义回复(包括称赞)。确实有问题的,请在下面写出来,大家一起学习。如能进行批评,那欢迎之至。(由于内容是直接从WORD文档中复制过来的。平方和分数的格式在论坛里好像不支持,所以看起来可能有些费劲。请下载WORD版) 跟我学数字推理

一、 一些有趣的现象

你一定很想学习怎样把数字推理题做好,对不对?不过别着急,我们慢慢来。下面,请先回答第一题: 例1:

1,2,3,4,5,6,( )

括号里应该填个什么数字呢?显然是7,对吧。为什么呢?地球人都知道,自然数的数列么。

好吧,再请你回答第二题: 例2:

1,4,9,16,25,36,( )

你会说:―卧槽!当我是白痴么?这个答案显然是49,平方数列还用你来教‖?

不,你当然不是白痴。但是,假设你的学历为小学2年级,只会加法和减法,对于乘除一无所知,就更别提什么平方、立方之类的幂运算了,这道题你该怎么做呢?

嗯,没别的办法,你只能看看这个平方数列是不是等差数列: 1 4 9 16 25 36 ( ?) 3 5 7 9 11 X 2 2 2 2 Y

显然Y = 2,故X= 13。所以括号里应该是36 + 13 = 49 。 这两种方法竟然都能得到同样的结果?

其实很好证明,设公差为1的某个等差数列第一项为A,则第二项为A+1,第三项为A+2…….,然后按平方公式展开,再进行二次等差推理,就知道,平方数列同样是等差数列。只不过,平方数列是二次等差数列,其二级公差是2。 奇偶分别。

那么,如果是公差为2的某个等差数列的平方呢?比如: 例3:

1,9,25,49,81,( ?)

这道题你自己做一下,我可以告诉你结果,那就是公差为2的等差数列的平方数列,也是二级等差数列,其二级公差是8。 如果公差是3的某个等差数列的平方呢?自己列一个出来看看吧。我还是告诉你,它的二级公差是18。

我多嘴了,其实你设某等差数列首项为A,公差为N,就明白了,这个数列的平方数列是二级等差数列,其二级公差为:2×N^2。 例4:

4,12,28,52,84,( ?)

请不要急着往下看,先把这道题做出来再说。 你做出来了吗?你是怎么做出来的?

不要告诉我是二级等差哦?难道你真的只有小学2年级的水平?只会加减法?

这道题就有些让你郁闷了吧?当然,你要能一眼就看出来这其实就是我把?例3‘的数列每一项都加了个3,那我向你道歉,因为你确实有很高的数字天赋,不用听我啰嗦。 例5:

1,19,33,67,97,147,193,( ?)

给大家讲个笑话。上面这道题是我自己出的,过了一个星期之后我再看这道题的时候,花了2分钟没做出来,最后不得已翻看以前的草稿才明白是怎么回事。现在,你来做。

你做出来了吗?做不出来没关系,我告诉你答案,答案是259。 为什么呢?方法有三种:

1、 按数列各项序号的奇偶性分成两组,即1,33,97,193和19,67,147,( ?)可以看出,前面一个数列二级等差,后一个数列二级等差,其公差各自不同。

2、 两项相减得到一个新的数列:18,34,50,(X)。可知X = 66。所以答案是193加上66就等于259。 3、 直接做差来看看规律如何?其二级公差数列为:-4,20,-4,20,-4,20。

你会说,哇,好多规律哦! 千万别这么说,我会脸红的。

其实呢,你写出一个偶数数列来:2,4,6,8,10,12,14,16…..然后各项平方,再分别加减3,最后得到一个数列。看看,和我的这个数列是不是一样的?

也就是说,这道题最简单的方法应该是:2^2-3,4^2+3,6^2-3,8^2+3…….前面所谓的三种方法,都是我糊弄你们的! 这个笑话应该还比较好笑吧?给大家说这个笑话是想让大家明白一个事实:那些出题的专家们是多么仁慈啊!

真的,数字推理这种题目,想为难考生实在是太简单了。不要说那些专家们,我都行。看,我随便弄了一道题,就连自己做起来都费劲。你如果不相信,那就按照我这种思路,先弄个平方或者立方数列,然后随便加上或者减去一个等差或者等比数列,再把这个数列放几天,等忘记得差不多的时候去自己做一下。

为什么一个平方数列加减3的结果就弄出这么多规律来了呢?我只能说数字太奇妙,数字推理太深奥,实在不是我等凡夫俗子所能搞明白的。当然,这个也不是公务员考试范围,也许数学博士后的考题会这样出吧?

统计了一下字数,我已经写了1500字了。这不禁让我感叹一下我的啰嗦程度——实在不是一般人所能企及的啊!其实,这1500字的目的就一个,那就是:在考试中出现的平方数列及其变形,哪怕你看不出规律来,用等差的方法也基本能解决。

但是,请记住,你用等差的方法做出了一道题,不代表你就看出了这道题的规律。什么是看出这道题的规律了呢?就是你用最简单的数列能把这道题是怎么弄出来的推理出来,才算是你看出了这道题的规律。国考的数字推理,专家们真的没转太多的弯,都是很简单的数列变换一两次之后得出的题目。 例6:

2,12,30,56,90,( ?)

我再强调一次,不要往下看,先把我的例题做出来再说。这又不是考试,用得着这么急? 你做出来了?答案是132吧?恭喜你,答对了!

呃,不好意思,我怎么想起王小丫了?好吧,是我的错。不过我想小声地问一句:你是怎么把这道题做出来的?不是二级等差吧? 这道题也是我自己编的,怎么编的呢?1×2,3×4,5×6,7×8,9×10,所以答案是11×12。 例7:

0,6,20,42,72,( ?)

如果没记错的话,这应该是一道省考的数字推理真题。

很简单的,二级等差,公差是8。你现在看到?二级等差‘这几个字,是不是有点想吐?那么这道题的规律是啥?你看出来了么? 0×1,2×3,4×5,6×7,8×9,答案是10×11。

前面我说了,自然数列的平方数列是二级等差数列,公差为2对吧? 那么现在你该明白了,自然数列两两相乘,得到的数列也是二级等差数列。

我可以接着说,平方数列加上某个数得到一个新的数列,仍然是二级等差数列,公差为2.因为加上的这个数在第一次等差时就已经减掉了。由此推知,就算你加上一个等差数列,它仍然是二级等差。同样,如果是自然数列的乘积数列的加减变形,也是二级等差数列,公差为8。

类似的规律还有很多,你如果有兴趣,自己试试用1,2,3,4,5,6,7来组成一些数列,你会发现,如果你只进行了一次乘法运算(平方实质上就是一次乘法),那么新数列就是二级等差的数列。

到此,我们已经用二级等差的方法做出了不少的题目。其实当你做省考、国考的真题的时候,也会有这种感觉——好多题都是二级等差的。

很遗憾的告诉你,你被各种培训班以及辅导资料害得不浅,以至于形成了绝对错误的思维定势。各种形式的等差题目告诉你,等差是一种基本规律,要注意。

问题是:谁都知道等差是一种基本规律。你知道,我知道,命题专家更知道。不就是后项减前项么?顶多就是多减几次而已。你认为,命题专家会在国家公务员的考试题中测试小学二年级的知识? 例8:

-5,-4,3,22,59,120,( ?)

答案是211。如果你没做出来,没关系。如果你做出来了,还是那句话,你是怎么做出来的? 你可千万别告诉我,等差,三次等差。

虽然我遇上这种题,估计也会等差、等差、再等差,直到最后得出结论:这个数列是个公差为6的三级等差数列。

这种题目的规律确实不是一眼能看出来的。规律么,既然一眼看不出来,那么两眼三眼也未必能看出来。那怎么办呢?老师说了,观察趋势,尝试等差......

题目是做出来了。由此看来,老师说的是真有道理,尝试么,这种方法不行,再尝试下一种方法。反正数字推理就那么些规律,慢

慢看,总能看出来的。

我真的不想对这种方法发表意见。说它错吧,一点都没错;说它对吧,考试的时候你有这么多时间去思考一道题? 观察,先观察。观察什么?是趋势么?

那些所谓专家们害人的地方就在这里。简单的趋势,国考肯定不会考。复杂的趋势,那需要计算。计算,那需要时间。时间,参加过国考的同学们都明白时间代表什么。

前面说过,平方数列是二次等差数列,公差是2。

我估计有兴趣的同学已经开始在想,立方数列是什么了。具体过程我就不写了,太简单。大家自己试试就知道了。这里给结论:立方数列是三次等差数列,公差是6。

甚至可以再往远了说。自然数列0,1,2,3,4,5,6....的N次方数列是N次等差数列,公差为N的阶乘。

回到刚才的例题上来,这道题也是三次等差,公差也是6,这能不能让你想起些什么?对的,这就是立方数列0,1,8,27,64,125,216中的每一项都减去5得到的题目。 例9:

6,120,504,1320,2730,4896,( ?)

如果你有兴趣,还是做一下这道题。当然,我确信国考不会考这么变态的题目。说他变态,因为计算量太大,而且凭肉眼是看不出规律来的(如果你的速算功底不深的话)。其实这道题真的变态么?

这仍然是一个三次等差数列。公差是162。是不是有点吓人?那这个数列到底是怎么来的呢?

自然数列1,2,3,4,5,6,7,8.....,每三项相乘,也就是说,1×2×3,4×5×6,7×8×9,10×11×12,13×14×15,16×17×18。 就这么简单。

不妨再回过头去看看例6和例7。甚至从头再看一遍,看到这里。

一个道理:自然数列的变形数列,如果只经过一次乘法,它是二级等差数列;如果经过两次乘法,它是三级等差数列。如果经过三次乘法呢?我们不需要知道了,不管它是不是四级等差数列,可以肯定的是,考试不会考这么恶心人的题(如果真的出现了,你就当我没说好了)。

现在,当你做出一道题的时候,你还敢说,这道题是等差么?

二、 不是等差是什么? 不是等差是什么?

是平方,是立方,是乘积。更可能的,是它们的变形,很简单的变形。 例10:

0,4,16,40,80,( ?)

A .160 B .128 C .136 D .140

很稀奇吧?怎么到了这道题,我给了选项,弄的好像跟考试一样?

前面的题目没有选项,是因为都是我自己随便编的。那些题目都很简单,用不着答案。这道题么,是07年国考的真题,我直接复制过来给大家看看。

会做的人举手。保守估计80%都会。

不用等差的举手(用拆项的也算用等差,因为你最后还要得出一个等差数列)。我怀疑一个都没有。因为我翻了很多答案,上面都是这一句话:这是一个三级等差数列,公差是4。那可都是专家哦?还有专家告诉我们这道题要先除个4,这样做起来简单一些呢。 这个数列是怎么来的呢?我们等下再说。先看例11. 例11:

0,6,24,60,120,( ?)

这应该也是一道真题。不知道哪个省的。因为我随便一搜,就看到QZZN里还有人问这道题。事实上,这道题我自己就编出来过,并没有借鉴什么考题。

你会做吗?是公差为6的三级等差吗?

很好,你说不是。你终于看出来了,这道题的规律是:N^3 – N。 也就是:1^3 – 1,2^3 – 2,3^3 – 3,4^3 – 4,5^3 – 5…….

现在我们来看例10。三级等差数列,公差是4?我们前面不是说过,立方数列是三级等差数列,但是公差是6么?是不是很奇怪?

那我们能不能让例10的公差也变成6呢?当然可以了。每一项都乘以1.5,公差不就可以是6了? 好吧,我们开始把例10的每一项都乘以1.5来看看。

我不在这里乘。你自己去乘。乘完了看看。没什么特殊的对不对?看起来还是那个模样。 和例11比较一下吧。你会有所收获的。 例12:

2 , 12, 36, 80, ( )

A .100 B .125 C .150 D .175

还是07年的真题。你一眼看不出规律来,怎么办?等差,差到最后就剩一个6了。敢不敢肯定呢?试试嘛。按照立方数列为三级等差的规律来试,得到结果是选C。

你蒙对了。不过很多辅导书告诉我们,这道题的规律其实是这样的:2×12,3×22,4×32,5×42…..

哦,原来是这么来的啊!这是自然数列经过两次乘法(一次乘法和一次平方)得来的。怪不得呢,咱们之前也说过,两次乘法之后的数列就是三次等差么!

可是,一次乘法和一次平方得出的数列,为什么三次等差后的公差也是6呢?公差为6应该是立方数列才对啊? 如果你有这个疑问,那恭喜你,你的数字推理开始入门了。 我们把立方数列写出来和题目进行对比:1,8,27,64, 不难看出:1+1 = 2,8+4 = 12,27+9 = 36,64+16 = 80。

其实,这就是立方数列加上1,4,9,16得到的题目。1,4,9,16这四个数字摆在一起,应该足够引起你的重视了吧? 那么这道题的命题规律究竟是什么样子的呢?

就是这个样子的:1^3 + 1^2,2^3 + 2^2,3^3 + 3^2,4^3 + 4^2…..

有的同学会说了,辅导书上说的也没错啊?(N+1)× N^2 本来就等于 N^3 + N^2,这两个规律根本就是一回事,还值得你在这里说这么半天?全是废话么!

不,这不全是废话。我之所以不怕丢人在这里说这些,是想告诉大家一个道理:命题专家们出这样的考题,就是考你的观察能力,不需要哪怕是比较简单的计算。我第一次做这道题时用了三次等差。第二次发现这是个偶数数列,直接排除B和D,然后根据数字发展的趋势直接就选了C。第三次做这道题时,我决定拆项,用平方数来和数列比较,得出了平方乘积的规律。最后一次做这道题,我发现用立方数列和题目比较,得出的规律是最自然的。也就是说,只要你看到第3项是36,和27接近;第四项是80,和64也不远的时候,你就明白了,这就是1,2,3,4,5的简单变化。 例13:

0 , 9, 26, 65, 124, ( )

A .165 B .193 C .217 D .239

这道题还是07年的题目。你看到第5项是124了。你想到5的立方了么?再看9,26,65,它们和那些熟悉的立方数都是如此的接近。你敢直接选C么?真的,面对这么简单的题,你还需要那么多莫名其妙的规律? 例14:

0 , 2, 10, 30, ( ) A .68 B .74 C .60 D .70

依然是07年的题目。我本来不愿意再把07年的题目拿出来说事儿的。但是一想,既然已经说了三道,那就干脆说完算了。你看到第4项是30。想到27了吗?27+3?这不是3^3 + 3么? 再看看10,符合这个规律不?

这四道题都是立方数列的变式,也就是说,都可以用等差来做。现在,你分别用等差和立方规律来做这四道题。自己算算时间差吧。起码是3分钟时间没了,对不?

现在宣布重要结论:拿到数列,先观察。先观察什么呢?

不是所谓的数字变化趋势。观察数字变化趋势能得到什么呢?无非就是该数列到底有没有等差或者等比的可能性。可是我已经说过,国考会考你小学2年级的知识么?考试时间这么紧张,命题者真的就这么不近人情,逼着你减了又减,减了还减?

显然不是的。可以这么说,等差等比数列基本不会再出现在国考当中。大家都会,还考什么?又不能考太难的,否则失去意义。所以,考的就是一些变异数列。其中,平方立方数列是重点。因此,拿到数列,要先观察数列中第N项的数字与N(或者N – 1)本身有没有联系(因为原始数列可能是1,2,3,4,5…也可能是0,1,2,3,4…..)。如果和N的立方接近,就用立方数列来比较;和平方数列接近,就用平方数列来比较。没有特别的联系,考虑N和某个数字的乘积来看看。

现在回过头去看看例10。我已经用例11说明了这道题是怎么设计出来的。但是,考试的时候指望我们能想到把数列的每一项乘以一个1.5,有些强人所难了。那怎么办呢? 观察数列本身:0,4,16,40,80,()

第5项是80,和5的平方25以及5的立方125都相差甚远。第4项40也是这样。那么可不可以考虑用数字除以项数呢?各项分别除以1,2,3,4,5得到一个新的数列。

你发现了什么呢?那就是这个新的数列是个一级等差数列。

当然,这种规律确实不普遍。考试时出现这种类型的题目的可能性不大。而且,这种题目也确实可以用多级等差来解决,因此区分度也不高。但是,我希望通过这个思路使大家记住两件事情:

①、先观察。先把所谓的趋势忘掉,先观察数列中的数与其本身的项数之间有无联系。

②、别急着等差,尤其是不要多次等差。当然,如果你实在看不出规律、 需要进行试探性计算的时候,首先尝试下多级等差是个好主意。因为很多题目即使你看不出来,但是只要它确实是平方立方数列的变式,等差能解决大部分问题。但是,在平时训练的时候,要尽量做到不动笔计算。

以例15作为这一部分的结束。 例15:

1, 9, 35, 91, 189, ( )

A.301 B.321 C.341 D.361 09年的真题。这道题是怎么来的?

0^3 + 1^3,1^3 + 2^3,2^3 + 3^3,3^3 + 4^3,4^3 + 5^3…….. 看看,同样的立方数列变形,这次,等差可就解决不了问题了吧?

回顾这些平方立方数列的变式,你会发现,原来国考已经把这些形式考的差不多了。你看,N^3 – N考过了,然后考N^3 + N^2,再然后考N^3 + (N + 1)^3。如果命题专家们还想考这类数列的话,他们会怎么出题目呢?这个问题谁也不可能准确回答。然而问出这种问题,正是高效备考的关键所在。

三、 仅仅观察题目就够了吗? 例16:

14, 20, 54, 76, ( ) A.104 B.116 C.126 D.144

08年的真题。这道题的规律绝对不是一眼能看出来的。如果不给答案的话,两眼三眼也难。秘密在那里?在选项里。

看到A、B、C也就罢了。看到D,知道是12^2,可是题目里就没有平方数,因此D不大可能是选项。既然不是选项,那专家们为什么把这个数字放在这里呢?难道这道题和平方有关?

带着这个疑惑来看选项。A是10^2 + 4,B是11^2 – 5,C是11^2 + 5。 好吧,后面的思维过程我就不说了。大家都该明白了。

一个简单的平方数列。如果不加伪装吧,是人都会;可是你要稍微伪装一下,就能难倒一大片人。数字推理,真的那么难么?确实,数字推理就是这么难。那怎么能考察考生的观察能力和推理能力,又不至于让这道题难于登天? 只能给点提示了。提示在那里?不可能在别的地方,只会在答案中。

一个重要的思维模式:当你一眼看不出规律的时候,别着急,千万别着急。看看答案中的数字都有哪些明显的特征。命题者说不定就在里面藏了个蛋糕。 例17:

153, 179, 227, 321, 533, ( ) A.789 B.919 C.1079 D.1229

09年的真题。我第一次碰到这道题,在思考了一分钟之后决定开始等差。。。差到最后两个数,24和72.然后就默认为这是个等比数列,蒙出了答案C。很LUCKY,这也再一次证实了等差实在是个好办法,尽管笨了点。但是如果有时间的话,笨点也不错对不对? 言归正传。这种题一看就晕。规律?规你妈个头还差不多。考试犯得着出这么难的题么?如果不给你选项,你思考10分钟?15分钟?能不能做出来还不好说。可是命题者偏偏就把这道题堂而皇之地放在考卷上,让无数人恶心。 为什么?因为命题者给了提示。

看答案。四个选项没别的相同之处,唯一的相似就是末位数都是9。为啥?为啥?难道这道题和末位数有关?再看数列的倒数第二项533,末位数是3。三三得九,这是小学一年级的知识。好吧,我们抱着这种莫须有的规律来看整个数列。三三得九,三九二十七,三七二十一,一三得三,最后还是三三得九。

这说明了什么?这个数列和三有关,涉及到三的乘法。 好吧,现在你该明白这个数列是怎么弄出来的了: 153×3 - 280 = 179 179×3 - 310 = 227 227×3 - 360 = 321 321×3 - 430 = 533 所以:

533×3 - 520 = 1079

说实话,这道题出的没水平。就算你一眼看出了末尾数的规律,按照这个规律来推导这个数列,也要至少2分钟。如果你等差的话,还是两分钟。考试的时候遇上这种题,是考生的悲哀。但愿类似的题目别再出现了。 备注:可以这样理解 150+3 170+9 200+27 240+81…… 例18:

67, 54, 46, 35, 29,( ) A.13 B.15 C.18 D.20

08年的真题。按照之前的思维模式,先看数列中的数字有没有可能是平方立方数的变形。67和8有关,35和6有关。可是67和35之间隔了两个数,这就不对了。 再看答案?都是一幅?我正确‘的嘴脸。

等差?出来个莫名其妙的新数列。等比?显然不可能。 难道是传说中的―一个数字减去自身的个位数和十位数‖?

67减13等于54。我们好像找到了方向?可是马上就来了当头一棒:54减9等于45。难道是减完还要加1?46减10等于36,又要减个1;35减8等于27,还要加个2。 彻底晕了。

遇到这种情况怎么办?先放下这道题,看别的题目去。因为实在没思路了啊。剩下的可能就是最最复杂的:数列的前两项通过一定的运算规律得到第三项。

10分钟后再来看这道题。没办法了,把数列的第一项和第二项加起来看看。67+54 = 121。121和46之间难道有什么关系吗?没有啊。这可怎么办?

等等!121!121这个数字还没唤起你的警觉吗? 把54和46加一下?然后你会忍不住继续的。 最后,答案出现了。

这个例题是不是有点脱离了我这一小节的主题?因为我这一小节的主题就是让大家观察答案啊。那我为什么把这道题放在这里? 刚才我详细列出了我在第一次做这道题时的思维方式。算不算NICE?个人还是满自得的。可是第二次做这道题时,我有了新的感受: 数列前5项分别是奇数,偶数,偶数,奇数,奇数。这代表了什么?两项之和分别是奇数,偶数,奇数,偶数。所以第5项和答案的和应该是奇数。所以答案应该是偶数。排除答案A和B。只剩C和D。这个时候再看20和18两个数字。 18就算了。20加29等于49,这已经足够引起我的注意了。

特别提示:奇偶规律能够帮你有效地排除错误的答案。4个里挑一个有难度,2个里面挑一个呢?就算猜,都能有50%的正确率啊! 数字就是这么奇怪。如果遵循某种运算规律来排列数字的话,这些数字的奇偶性通常也具备规律性...

到了这里,大家应该能明白我为什么要强调先看答案了。如果通过奇偶的规律能够排除掉一个到两个选项的话,看看答案应该能帮助你更迅速的寻找到规律。

我们假设把数字推理题变换一种考试方法:给出你括号里的数字,要求你写出数列的排列规律。这种方法会不会相对来说简单一些?看着答案找规律,总比摸索规律再去对比答案要简单很多吧?

所以,如果你能先排除掉两个答案、再通过假设法去寻找规律,比起漫无目的地猜测和验证,一定会有效的多。 如果你看着答案都不知道规律,那我送你四个字:好好练习!

四、 那些少的可怜的提示啊!

例19:

-2,-8,0,64,( )。

A.–64 B.128 C.156 D.250

06年国考中,这道题是难度最大的一道了。当然,现在看起来也很一般。看到8和64,你如果联想不到这道题和平方或者立方数列有关,那就算你白混了。

-2×1^3,-1×2^3,0×3^3,1×4^3……

你要说了,这道题命题者可真的是没给什么提示。如果一定要说有的话,那就是题目中间的那个0还勉强能算。

真的是这样的么?请问,一般的数字推理题,给出的数字都是5个或者6个。为什么这个只给了4个?难道是命题者随心所欲么? 前面说过什么?4次乘法得到的数列是4次等差数列。这个数列也一样。如果你多给几个数字,你看看能不能用等差把这道题做出来?或者你把这道题换成这样: -2,-4,0,16,( )。

我没变别的。就是把立方换成了平方。难度就降了一大截。为什么呢?这样就可以用等差来做了。你能不能看出规律,影响不大。 现在明白命题者为什么只给了4个数字了吧?因为给你5个数字或者更多,你看不出来也能减出来,也能蒙出来。

提示:看到题目里数字比较多的,自然要考虑分组数列的可能;看到题目里数字比较少但变化却比较剧烈的,你尽管向立方数列或者积数列靠拢。有接近立方数的,先考虑立方数列;没有接近立方数的,向积数列靠拢。

什么是积数列?看看例20。 例20:

3,7,16,107,( )。

A. 1707 B. 1704 C. 1086 D. 1072

还是06年的题目。4个数字。看答案就知道一定是和乘法有关的对不?3和7乘一下,再与16做比较。很简单对吧?

你不妨这么认为:只有4个数字的题目,就干脆不要考虑等差的可能性。为啥?就算命题者考你等差,也不会是一级等差对不对?如果是二级或者三级等差,4个数字是不是太少了些?题目规律是不是太勉强了些?

请你再回过头去看看例16。你可以试着按照它的规律多给几个数字,看看这道题能不能用等差做出来?

和立方有关的数列,就少给几个数字,这样避免你用等差的方法误打误撞,是命题者常用的手段。然而要限制你用等差,就必然造成这样的情况:立方数列只给四个数字。

凡事都有利有弊,出题也是这样。命题者越是不愿意多给考生变化的余地,他自身的余地也就越小。大道至简,却总留下蛛丝马迹让我等碌碌众生为之倾倒。康德的那句名言,于我心有戚戚焉!

什么是数字推理?给你一个数列,要你观察它的规律,并且根据规律推出之后的一个数字。规律藏在哪里呢?当你从数字本身的排列看不出来的时候,就找找别的地方吧!

五、 规律是啥玩意? 假传万卷书,真传一句话。

千万别误解我的意思,我不是在说我自己写的东西就是真传。

你看,我啰嗦了这么长时间,才说了这么一点东西。如果按照定义来对比,我写的心得绝对属于假传。你看了无动于衷也好,心潮澎湃也罢,其实到头来都是一场空。为啥?纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。

什么是真传?一句话就能解决所有人的问题?这明显不符合逻辑,然而这又是真理。为什么呢?因为人和人是不同的,所以,具体到每个人身上,所谓的真传也是不一样的。这个所谓的真传,其实就是最为适合你自己的思维模式。 从来就没有什么救世主,也没有神仙皇帝。

你是相信命题者,还是相信辅导班?你信春哥还是信曾哥?

你要相信你自己。真传谁都不可能直接告诉你,就算我是你肚子里的蛔虫,明白你所思所想的一切,也不可能告诉你。因为说出来的,那就不是真的。真的东西,永远只能由你自己领悟。

所以,规律是什么?数字推理的规律千变万化,唯独你自己的思维模式是一定的。与其去寻找那些变化无穷的规律,不如回到自身,想一想:我的思维模式是不是有什么问题? 例21:

28,22,18,16,12,10,( ) A.4 B. 6 C. 8 D. 9

这个不是真题,我自己编了四个答案。 你会做么?正确答案是B。

规律是啥?两项相减得到的数列是6,4,2,4,2。你敢再减个4得到正确答案么?

这个呢,其实就是质数数列的倒序再减了个1得到的数列。如果你按做差的方法,那你还是蒙对了。 例22:

5,8,12,18,24,( ) A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 还是我自己编的题。答案是C。

两项相减,得到的数列是3,4,6,6。你敢再加个6得到正确答案么?

这个呢,其实就是质数数列2,3,5,7,11...两项相加得到的数列。你敢蒙的话,就能蒙对。

这两道题是不是都有点恶心人?你看第一题,为啥相减得到的数列是6,4,2,4,2,为啥不是6,4,2,0,也不是6,4,2,4/5,更不是6,4,2,2,0,还不是6,4,2,1?第二题也是,为啥相减得到的数列是3,4,6,6,为啥不是3,4,6,9,也不是3,4,6,10,更不是3,4,6,8?

总而言之,为啥他妈的就不是我们熟悉的那些规律呢?

如果你有这样的抱怨,那一点都不奇怪。但是,请你接着抱怨一下:为啥不是你熟悉的规律,你就做不出这道题了呢? 你该说了,一时半会儿谁能想到质数数列上去啊?人家总要先看看是不是等差,然后再看看是不是和差积商数列。。。 不能说你错,只能说,你的思维模式有缺陷。

质数数列么,2,3,5,7,11...你当然是知道的。可是为什么你想不到呢? 我们来看质数、合数的一些规律: 1、 除了2之外,所有的质数都是奇数。 2、 最多连续5个自然数是合数。 这能说明什么呢?我一说,你都知道了。

让我来告诉你吧:这说明了,除了2之外,两个不同的质数(前提是挨在一起的)相减,得到的差只能有三种情况:2,4和6。 还能得到什么规律?

两个相邻质数的和组成的新数列A,除了第一项是奇数(其实就是5)之外,别的都为偶数;数列A相邻项的差,第一个是奇数(其实就是3),别的都是偶数,偶数的最小值是4,最大值是12(这个最大值按照理论来说是12,但是我验证了50以内的质数,得到的最大值是10,因此,大家不妨认为这个最大值就是10。50之后的质数确实有12的可能性存在。比如:137,139,149,151,157) 两个相邻质数的差组成的新数列B有什么规律么?前面说了。首项是1,然后就是三种情况:2、4、6。 现在,用数列B的规律来看例21,用数列A的规律来看例22.

你该明白我的意思了:你为什么想不到有的规律?因为你对这些规律认识不深刻。 例23:

6,35,143,323,( )

A. 645 B. 659 C. 667 D. 673

请大家注意这道题,虽然它是我杜撰而来,但我丝毫不怀疑它在考试中出现的可能性。常规的方法是解不出这道题的,答案我也精心设计过,没有泄露半点天机。

你能一眼看出规律么?你能把数字6拆成2×3,把数字35拆成5×7么?

好吧,质数数列相邻两项的乘积组成的新数列。而且6和35这两个数字极具迷惑性,很容易把你往乘积或者平方数列上去引导。 什么才是正确的思维方式?

两个相邻质数的积组成的新数列C,除了第一项是偶数之外(其实就是6),别的都是奇数。

我实在是不想再多说了,说多了都是口水。考试总共就只考这么几种规律,你不要着急去练习,先把这些规律本身引出的数列具有什么特征研究清楚了再说。练习本身是没有坏处的,问题在于那些良莠不齐的练习题,唉,不能说不如不做,也不能说做了白做,更不能说鼓励去做。说什么好呢?

六、 哪几种数列?

在上一部分的结尾,我大言不惭地说:―考试总共就考这么几种规律‖。到底是那几种呢?或者说,有哪些比较简单的构成数列的方法,

是考试中经常考到的?

这个问题呢,辅导班总结过,考试牛人总结过,甚至你自己也总结过。但是请相信我,如果你没有经历我前面几个部分的思考和总结,而是单纯地总结这些类型,真的用处不大。考试时间有限啊,你还打算对着考题进行一一排除,知道寻找到它的规律为止?这种思维方式是学习和研究的思维方式,不是考试的思维方式。

数列可分为六种:①简单数列及其变形;②多级数列;③分组数列;④分数数列;⑤幂运算数列;⑥递推数列。 Ⅰ、简单数列:

这个就不用多说了吧?需要注意的就是质数数列和合数数列。其中合数数列我觉得不太可能出现,毕竟把62,63,64,65,66这5个数字放到一起,后面再接个68,给人的感觉就是怪怪的。当然,他要考的话我们很欢迎——合数数列太好辨别了:你看到几个连续自然数,就直接往合数数列上想,基本没错。质数数列么,前面我说过了。虽然说的不全,但是好歹加法减法乘法如何构成比较合适的考题,我都提供了基本的思路和认识方法。至于除法么,好吧,我还是给大家两个题目看看: 例24:

2/3 ,3/5 ,5/7 ,7/11 ,( ) 这道题是小儿科,对不对? 例25:

1/5 ,1/4 ,1/6 ,2/9 ,( ) A. 1/8 B. 3/10 C. 1/12 D. 1/5

我前面告诉你了这道题是和质数有关的,因此你仔细看看还是能看出来:分子是相邻的质数相减,分母是相邻的质数相加。如果考试场上碰到,估计不少人要蒙掉。

简单数列是说数列的构成方式简单,或者说里面的规律比较简单。但是,简单不等于常见,因此,简单往往不等于你能很轻易发现这些规律。 例26:

3,1,4,1,5,( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

这道题我忘记了在那里看到的,也不知道是不是哪个省的真题。放到这里主要是想调剂一下大伙的心情,如果你会做的话,不妨一笑而过;如果你真的不会,那就想想咱们熟悉的圆周率吧! 例27:

5,6,1,7,8,5,3,8,1,( ) A. 2 B. 4 C. 7 D. 9

你分组了吗?是两个一组还是三个一组? 如果你没看出来,就看看下面的例题吧。 例28:

5,6,11,17,28,45,73,118,191,( )

简单吗?简单!常见吗?不常见!要命的是,这种简单却不常见的规律实在是太多了。你自己生造都能造出好多来。例27是个位数的变化而已。你要换成十位数的变化,那就能把所有的人都恶心一遍。 幸运的是,国考这种王道,还没怎么出现过这种旁门左道的题目。

Ⅱ、多级数列:

什么是多级数列?多级等差或多级等比,再或二者的混合数列呗! 例29:

5, 12, 21, 34, 53, 80, ( ) A.121 B.115 C.119 D.117

09年的真题。看见6个数,而且答案全是奇数,因此7个数的排列为:奇数,偶数,奇数,偶数,奇数,偶数,奇数...要怎么样的运算才能有这种规律呢?

我们都知道自然数的排列就是奇数,偶数,奇数,偶数...这么来的,那么,自然数列通过N次等差之后,一定也是这样梅花间竹的排列方式。

能不能由此再推广一下?

给你一个数,比如说2。让你造一个公差为2的等差数列A。你一定会的。所以数列A就是{2,4,6,8...}。

现在再任意给你一个数字,比方说7,让你造一个二级公差为2的数列B。怎么造呢?前面咱们造了一个等差数列了,那我用7加上数列A不就可以了?好的,你也造出来了。数列B就是{7,9,13,19,27...}

继续给你一个数字5,让你造一个三级公差为2的数列C。同理我们就可以得到例29的题目了。

你看到没有?多级等差数列的形成过程就是这样的。所以:不管一个数列是几级等差数列,它的奇偶性都是固定的:要么全奇,要么全偶,要么一奇一偶,要么两奇两偶(开头的一个不算,因为这个数是随机的)...反正如果一个数列如果既有奇数又有偶数的话,那么奇数和偶数顺序排列,数目相当。前面我们一再强调,立方数列是三级等差数列,其三级公差为6.我们把例题变一下,每一项都乘3,这样它的三级公差会变成6。得到数列D:{15,36,63,102,159,240}。这个数列和立方数列有没有什么关系?有的。 数列D的变形:{13+14,23+28,33+36,43+38,53+34,63+24},其中数列{14,28,36,38,34,24}是一个二级等差数列,二级公差为-6。

这是什么意思?把数列变来变去干嘛?没啥用处么!

在第二部分,我详细说明了这些规律,是为了让大家明白:平方数列或者立方数列,往往可以用等差解决;在这里,我又一次把这个规律弄出来展览,是为了让大家明白:如果你愿意,一个二级等差数列,你总能把它和平方数列扯上关系;一个三级等差数列,你总能把它和立方数列扯上关系。

所以啊,平方数列和立方数列以及它们的简单变形,往往也有其固定的奇偶规律。回过头去看看例10到例15,也就是07年的国考真题,估计你又能有更新的认识。平方立方数列的奇偶性也是有其固定规律的吧?

不管你有多么深的认识,我还是想说说我自己的结论:数列的奇偶性排列呈现明显规律(就是全奇数或者全偶数,或者一样一个的排列的时候)应该考虑做差来看看。同理,你想做差之前,务必先看看奇偶性的排列。如果不是,就别做差了。但是这里有个前提,就是你先肯定这个数列和平方立方数列没什么直接关系。不然,做差就是浪费时间了。你该问了,怎么能肯定这个数列和平方立方数列没多大关系呢?说穿了很简单,我们还是放到讲幂运算数列的时候说吧。不然,到时候我没话说了多丢人啊! 例30:

7, 7, 9, 17, 43, ( ) A.117 B.119 C.121 D.123

都是奇数哦,而且有两个7,还有个9,可以排除质数数列变形的可能。那还不赶紧减一下看看?两两做差得到数列:0,2,8,26..再次做差得到数列:2,6,18..你该明白了。09年的真题,也就是这个难度了。

不过,再回头看看例15和例17这两道同样是09年的真题,你就知道,有时候奇偶性并不适合做差。不是做差是什么?不是做差,就是乘法(例17),不然就是(例15)需要你拆项(把这个数字拆成一奇一偶的和,或者一奇一偶的积)。

Ⅲ、分组数列:

这个没啥说的。就是把一个数列分成两个数列甚至更多来看。个人认为这种数列在国家考试中再次出现的几率很小。因为简单的大家都明白,如果命题者想考复杂的,还要把两个复杂的规律放到一起考,那他是不是有点太变态了?

Ⅳ、分数数列: 例31:

0,1/6,3/8,1/2,1/2,()

A.5/12 B.7/12 C.5/13 D.7/13

分数数列就是送分题。为啥?分数数列实际上是考你通分的,和规律关系不大。硬说有关系的话,那也就是些简单至极的规律。 这道题同样是09年的真题(到现在,我好像已经把07、08、09三年的国考真题都说过一遍了),你先看看答案,分母不是12就是13.再看题目中的分母,已经有了6和8,再往后通分,至少也是10和12,因此选项的分母大于或等于14。先把C和D排除了再说(如果你说,选项C和D中的13有可能是某个分数约分的结果。那我问你,13和14的最小公倍数是多少?答案的分母可能那么大么?)再看A和B,显然也小于14,那怎么办呢?通分啊!乘以2不就是24了。24是完全可能的吧? 先开个玩笑:你看题目中的5个分数,分子都小于或者等于分母的一半。你敢直接选A么?

这道题你把第一个1/2 化成6/12 ,第二个1/2 化成10/20 之后,就很容易了。不过,通分的过程没这么美妙,你要试好几次才行。 但不管怎么说,这还是送分题。通分么,需要多长时间?何况,你先排除C和D。然后根据A和B的分母1/2分别试试2/4和3/6的可能性,也花不了你多少时间的。

也有的分数题不是考你通分的。那就是幂运算。例题很多,大家可以自己去找,但是我个人觉得这种题没有必要练习。你明白规律了,到考场上遇到这种题,就有固定的思路。有了固定的思路,这种题就是送给你分的。

Ⅴ、幂运算数列:

我们常说的幂运算,其实就是平方和立方数列。如果是负的幂,一般我们都把这种数列归为分数数列里,而且负幂考的通常都简单。 不过,这几年把平方和立方数列考的差不多了。国考再加上省考,我很怀疑还有什么题型是没考到的。

说归说,作为考察力度最大的一种数列,认真准备是必须的。怎么认真准备呢?多练习?练习什么呢?数字敏感性? 给你一个数字:120,你能想到什么?是11^2-1还是5^3-5,或者是6×5^2?

数字敏感性当然需要,你如果有足够的数字敏感度,数字推理就是哭着喊着也要一定送给你分数的题目了。但是数字敏感性稍微差一点怎么办呢?用大量的练习来弥补。

也就是说,看到6,要能想到2×3(这是质数),要能想到2^2+2或者3^2-3(这是平方变形),要能想到1^3+5或者2^3-2(这是立方变形)。

我从来不否认数字敏感性是数字推理题的王道。但是王道不是人人都能学的。你也许时间不够,也许天赋不足...前面在讲简单数列的时候我也说了,想要看一个数列和平方或者立方数列有没有直接关系的方法很简单。

如果你为不能一眼看出幂运算数列而烦恼的话,我告诉你一个笨办法:在做数字推理之前,先把以下两个数列整整齐齐写到纸上: 0,1,4,9,16,25,36... 0,1,8,27,64,125,216...

你看一个数列第一项是0,就用0开头去比。第一项是1,就用1开头去比。都不行的话,稍微考虑一下隔项、倒序的可能。如果开头不是0和1,而是3或者7怎么办?兄弟,等差去啊!

不怕货见货,就怕货比货。没有比较就没有鉴别。咱们把这些真题也用于数字推理中,一样有效。现在,你按照我说的办法去做你能找到的所有的关于幂运算的题目。

Ⅵ、递推数列:

其实多级数列和递推数列是有些关系的。要把它们之间的联系和区别搞清楚。 联系是什么呢?就是这两种数列都有特定的四则运算规律。包括简单的和复杂的。

区别是什么呢?就是多级数列是用一个数字推导出来的,而递推数列是用两个或者更多的数字推导出来的。

比如,设有数列A,A(1)=3。有以下规则:A(n+1)= A(n)×3 – 3。你可以得到这样一个数列:3,6,15,42,123...你把这列各项相减得到一个新数列,这个新的数列一定是个公比为3的等比数列。这种数列我们叫它多级数列。

再设有数列B,B(1)=3,B(2)=5。有以下规则:B(n+2) = B(n+1)×2 + B(n)。你可以得到这样一个数列:3,5,13,31,75...这种数列你用等差或者等比是没办法做的。这就是递推数列。

关于递推数列,我很想找到一个行之有效的办法,但是努力了很久,还是不行。唯一觉得还算有可行性的是隔项运算。比如数列B,你一看,全是奇数,等差吧,得到2,8,28,44,再等差得到6,20,24,没办法了。这个时候隔项相减就容易点。但是这是有前提的,那就是这个递推数列是两项运算,并且运算的最后一步是加法。如果是减法,你就要隔项相加...依次类推。而且递推的规律也实在太多,下面列举一些常见的:

加法:两项相加得到第三项;三项相加得到第四项;两项相加构成一个新数列(可能是多级数列或者幂运算数列);三项相加构成一个新数列... 减法:同加法。

乘法:两项相乘得到第三项;甚至更复杂一些,我都不敢想。 除法:同乘法。

混合:这就更多了。比如A(n+2)=[A(n+1)+A(n)]×2,再比如A(n+2)=[A(n+1)+A(n)]/3。反正你能想到的四则运算方法(嫌不够变态的可以加上平方立方什么的)都可以用上,然后就可以随便造出一万道让人抓头皮的数字推理题。

碰上这种题,那就没办法。试吧。这种题与其说是考你数字敏感性,不如说是考你心算速度的快慢。因为趋势这种东西很明显,增加不快的就是加减,快的就是乘除。然后你就快速运算,排除各种可能,直到摸索出规律为止。

国考好像没怎么碰到过这种题。但是我很害怕它会出现。因为别的数列真的考得差不多了。09年的最后一道题就已经有了递推数列的影子,尽管它仍然算不上纯正的递推数列。命题者也很为难,考过的不能再考,难度不能降低。那他们还能出什么题目呢?

好吧,数字推理说到这里,就没什么可说的了。还有很多种形式的规律我没有列举到,但这不代表你应该不知道。关于规律的总结,很多人比我做的好,去借鉴他们的成果去吧。我说了很多,基本上,就是告诉你,仔细观察题目(包括数字的个数和其奇偶性),把题目和平方立方数列进行对比,观察答案,看看命题者有没有可能给你一些提示。都不行的话呢,就只能加加减减了或者乘乘除除了。还是不行?你该想想那些偏门的规律了。

你该做什么?练习。三天不练手生。再高的水平,也摆脱不了这种规律。

七、 命题趋势预测

如果说前面所说的或多或少还有点道理,这里就是纯属臆测了。基本上,我是写给自己看的。 1、 幂运算:估计还是有一道题。

N^3-N^2:0,0,4,18,48,100,180,( 343-49 = 294 ) 三级等差,6 (N+1)^3 – (N)^3: 1,7,19,37,61,91,(343-216 = 127) 二级等差,6 N(N+1)^2: 0,4,18,48,100,180,(6×49 = 294) 和第一个一样?

N^3+N^4: 2,24,108,320,750,(1512) 四级等差,24

2、 分数数列:估计有一道,难度应该和09年的相同。 3、 递推数列:估计有一道,可能是A(n+2) = A(n+1)×3 – A(n)。 5,6,13,33,86,()

4、 多级数列:闹不好是三次等差之后的数列为等比,且公比不是2,有可能是3. 试着弄一个出来:

公比为3的等比数列:1,3,9,27,81。

给一个数字6,得到中间数列B为6,7,10,19,46,108。

再给数字为10,得到中间数列A为:10,16,23,33,52,98,206。 最后给个数字7,得到最终数列:7,17,33,56,89,141,239,445。 5、如果命题者真的按照我这种思路来的话,那剩下一道题一定是送分题。

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