线性代数第五章习题

第五章 相似矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )

4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( )

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( )

8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( )

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( ) 二、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( ).

?100???(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2

2. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( ).

(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( ).

(A) A?B (B) |A|?|B| (C) A与B相似 (D) A与B合同 4. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A*的特征根之一是( ). (A) ??1|A|n (B) ??1|A| (C) ?|A| (D) ?|A|n 5. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ）.

(A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量 6. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( ).

(A)充要条件 (B)充分而非必要条件

(C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件 7. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( ).

(A) r(A)?n (B) A有n个不同的特征值 (C) A有n个线性无关的特征向量 (D) A必为对称阵 8.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（ ）.

(A) A?0 (B)存在矩阵C，使A?CTC (C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正 9．设A为n阶方阵，则下列结论正确的是（ ）. (A)A必与一对角阵合同

(B)若A的所有顺序主子式为正，则A正定 (C)若A与正定阵B合同，则A正定

(D) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同 10．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ ）. (A)A可逆 (B)A?1正定

(C)A的所有元素为正 (D)任给X?(x1,x2,?,xn)T?0,均有XTAX?0 二、填空题

1. n阶零矩阵的全部特征值为_______. 2. 若A2?A，则A的全部特征值为_______.

3. 设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式A2?A?I? . 4. 特征值全为1的正交阵必是 阵.

?2231??12?5. 若A??相似与????B，则x? ，y= .

yx34????26.二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为 .

227.若f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的取值范围是 .

?110???8.设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件 .

?00a2???9．二次型f(x1,x2)?x1x2的负惯性指数是__________.

?13??x1?10．二次型(x1,x2)???x?的矩阵为 .

?12??2?三、计算与证明题

1? 试用施密特法把下列向量组正交化?

?111? (1)(a1, a2, a3)??124??

?139????11?1??0?11? (2)(a1, a2, a3)???

?101??110???2? 下列矩阵是不是正交阵:

?1?11??23??1?1 (1)??1?;

2??211?1???32?

?1?8?4??999??814? (2)?????

99??9447????999??3? 设x为n维列向量? xTx?1? 令H?E?2xxT? 证明H是对称的正交阵?

4? 设A与B都是n阶正交阵? 证明AB也是正交阵? 5? 求下列矩阵的特征值和特征向量:

?2?12? (1)?5?33?;

??10?2????123? (2)?213?;

?336????0?0 (3)?0?1?001001001?0?. 0?0??6? 设A为n阶矩阵? 证明AT与A的特征值相同?

7? 设n阶矩阵A、B满足R(A)?R(B)?n? 证明A与B有公共的特征值? 有公共的特征向量?

8? 设A2?3A?2E?O? 证明A的特征值只能取1或2? 9? 设A为正交阵? 且|A|??1? 证明???1是A的特征值? 10? 设??0是m阶矩阵Am?nBn?m的特征值? 证明?也是n阶矩阵BA的特征值?

11? 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? 3? 求|A3?5A2?7A|? 12? 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? ?3? 求|A*?3A?2E|? 13? 设A、B都是n阶矩阵? 且A可逆? 证明AB与BA相 似?

?201?14? 设矩阵A??31x?可相似对角化? 求x?

?405????2?12?15? 已知p?(1? 1? ?1)是矩阵A??5a3?的一个特征向量?

??1b?2???T

(1)求参数a? b及特征向量p所对应的特征值? (2)问A能不能相似对角化？并说明理由?

16? 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

?2?20? (1)??21?2?;

?0?20????22?2? (2)?25?4??

??2?45????5??1?2?4??17? 设矩阵A???2x?2?与???4?相似? 求x? y? 并求一

??4?21???y????个正交阵P? 使P?1AP???

18? 设3阶方阵A的特征值为?1?2? ?2??2? ?3?1? 对应的特征向量依次为p1?(0? 1? 1)T? p2?(1? 1? 1)T? p3?(1? 1? 0)T? 求A.

19? 设3阶对称阵A的特征值为?1?1? ?2??1? ?3?0? 对应?1、?2的特征向量依次为p1?(1? 2? 2)T? p2?(2? 1? ?2)T? 求A?

20? 设3阶对称矩阵A的特征值?1?6? ?2?3? ?3?3? 与特征值?1?6对应的特征向量为p1?(1? 1? 1)T? 求A. 21? 设a?(a1? a2? ???? an)T ? a1?0? A?aaT? (1)证明??0是A的n?1重特征值?

(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量?

?142?22? 设A??0?34?? 求A100?

?043???23? 在某国? 每年有比例为p的农村居民移居城镇? 有比例为q的城镇居民移居农村? 假设该国总人口数不变? 且上述人口迁移的规律也不变? 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn?yn?1)?

xn?1??xn? (1)求关系式??y??A?y?中的矩阵A?

?n?1??n?x0??0.5? (2)设目前农村人口与城镇人口相等? 即??y???0.5?? 求

?0????xn?? ?y??n?3?2? 求?(A)?A10?5A9? 24? (1)设A????23????

?212? (2)设A??122?, 求?(A)?A10?6A9?5A8?

?221???25? 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f?x2?4xy?4y2?2xz?z2?4yz? (2) f?x2?y2?7z2?2xy?4xz?4yz?

(3) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x3?4x2x4? 26? 写出下列二次型的矩阵?

2 (1)f(x)?xT??3?1?x? 1???123? (2)f(x)?xT?456?x?

?789???27? 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f?2x12?3x22?3x33?4x2x3?

(2) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4?

28? 求一个正交变换把二次曲面的方程

3x2?5y2?5z2?4xy?4xz?10yz?1 化成标准方程?

29? 明? 二次型f?xTAx在||x||?1时的最大值为矩阵A的最大特征值.

30? 用配方法化下列二次形成规范形? 并写出所用变换的矩阵 (1) f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3? (2) f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3? (3) f(x1? x2? x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3?

31? 设

f?x12?x22?5x32?2ax1x2?2x1x3?4x2x3

为正定二次型? 求a?

32? 判别下列二次型的正定性? (1) f??2x12?6x22?4x32?2x1x2?2x1x3?

(2) f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4? 33? 证明对称阵A为正定的充分必要条件是? 存在可逆矩阵U? 使A?U TU? 即A与单位阵E合同?

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