2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：第一部分 小题专题练 小题专题练(四) 立体几何

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- 1 - 小题专题练(四) 立体几何

一、选择题

1．设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l ?α，则“α∥β”是“l ∥β”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．充要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是( )

A.9π2

B.7π2

C.5π2

D.3π2

3．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，点M 在EF 上且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )

A ．(1，1，1)

B.????23，23，1

C.????22，22，1

D.??

??24，24，1 4．(2019·贵阳模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：

①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；

②若α⊥β，m ?α，n ?β，则m ⊥n ；

③若m ∥α，n ?α，则m ∥n ；

④若α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ，则m ∥n .

其中正确命题的序号是( )

A ．①④

B ．①②

C ．②③④

D ．④

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- 2 - 5．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝3，AD ＝1，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )

A.

64 B.63 C.26 D.36

6．三棱锥A -BCD 中，AB ，BC ，CD 两两垂直，被称为“三节棍”．由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中，直二面角共有( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

7．(2019·郑州市第一次质量预测)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，点M ，N 分别是边AB 1，A 1C 上的动点，若直线MN ∥平面BCC 1B 1，点Q 为线段MN 的中点，则点Q 的轨迹为( )

A ．双曲线的一支(一部分)

B ．圆弧(一部分)

C ．线段(去掉一个端点)

D ．抛物线的一部分

8．《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA 1⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝4，AA 1＝5，M 是A 1C 1的中点，过点B ，C ，M 的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为( )

A ．40

B ．50

C ．25＋152＋329

D ．30＋20 2

9．如图，已知三棱锥P -ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，AB ＝2AC ，

若三棱锥P -ABC 的体积为9316

，则球O 的表面积为( )

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- 3 -

A ．9π

B.32π3 C ．16π D.9π2

10．(2019·郑州市第二次质量预测)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DD 1＝1，AB ＝3，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线D 1P 与平面EFG 没有公共点，则△PBB 1面积的最小值为( )

A.

32 B ．1 C.34 D.12

11．(多选)已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的是( )

A ．若m ?α，n ∥α，则m ∥n

B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β

C ．若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β

D ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β

12．(多选)如图，AC ＝2R 为圆O 的直径，∠PCA ＝45°，P A 垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点A ，C 重合的点，AS ⊥PC 于S ，AN ⊥PB 于N ，则下列选项正确的是( )

A ．平面ANS ⊥平面PBC

B ．平面ANS ⊥平面P AB

C ．平面P AB ⊥平面PBC

D ．平面ABC ⊥平面P AC

13．(多选)如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1各棱的长度均相等，D 为AA 1的中点，M ，N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点(含端点)，且满足BM ＝C 1N ，当M ，N 运动时，下列结论中正确的是( )

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- 4 -

A ．在△DMN 内总存在与平面ABC 平行的线段

B ．平面DMN ⊥平面BC

C 1B 1

C ．三棱锥A 1­DMN 的体积为定值

D ．△DMN 可能为直角三角形

二、填空题

14．(2019·湖南省湘东六校联考)一个正四面体的侧面展开图如图所示，点G 为BF 的中点，则在该正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为________．

15．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．

16．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体容器，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为____________．

17．(2019·贵州遵义第一次联考改编)已知三棱锥S ­ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA ＝6，AB ＝4，BC ＝23，∠ABC ＝30°，则该三棱锥的体积为________，其外接球的表面积为________．

小题专题练(四) 立体几何

1．解析：选A.由两平面平行的性质定理可知充分性满足，但必要性不满

足．

2.解析：选D.依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以

OA ＝3，OB ＝1，所以旋转体的体积为13π·(3)2·(OC －OB )＝3π2

. 3．解析：选C.因为点M 在EF 上，设ME ＝x ，

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- 5 - 所以M ???

?22x ，22x ，1，因为A (2，2，0)，D (2，0，0)，E (0，0，1)，B (0，2，0)， 所以ED →＝(2，0，－1)，EB →＝(0，2，－1)，

AM →＝???

?22x －2，22x －2，1. 设平面BDE 的法向量n ＝(a ，b ，c )，

由?????n ·ED →＝0，n ·EB →＝0，得a ＝b ＝22c . 故可取平面BDE 的一个法向量n ＝(1，1，2)．

因为n ·AM →＝0，所以x ＝1，所以M ???

?22，22，1. 4．解析：选D.对于①，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题①错误；对于②，在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题②错误；对于③，直线m 与n 可能异面，命题③错误；对于④，由面面平行的性质定理知命题④正确．故正确命题的序号是④，选D.

5．解析：选A.如图，连接A 1D ，A 1C 1，由题易知B 1C ∥A 1D ，所以∠C 1DA 1是异面直线B 1C 与C 1D 所成的角，又AA 1＝AB ＝3，AD ＝1，所以A 1D ＝2，DC 1＝6，A 1C 1＝2，由余弦

定理，得cos ∠C 1DA 1＝C 1D 2＋A 1D 2－A 1C 212×C 1D ×A 1D

＝64，故选A.

6．解析：选B.由AB ⊥平面BCD ，且AB ?平面ABD ，AB ?平面ABC ，得平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .又CD ⊥平面ABC ，CD ?平面ACD ，故平面ACD ⊥平面ABC ，所以A -BD -C ，A ­BC ­D ，D ­AC ­B 都是直二面角. 故选B.

7.解析：选C.如图，分别取AA 1，B 1C 的中点E ，F ，任意作一

个与平面BCC 1B 1平行的平面α与AB 1，A 1C 分别交于M ，N ，则MN ∥

平面BCC 1B 1.由题意知△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，则侧面

AA 1B 1B 与侧面AA 1C 1C 是两个全等的矩形，且这两个侧面关于过棱

AA 1与平面BCC 1B 1垂直的平面是对称的，因此EF 必过MN 的中点

Q ，故点Q 的轨迹为线段EF ，但需去掉端点F ，故选C.

8．解析：选C.如图所示，记A 1B 1的中点为N ，连接MN ，则MN ∥BC ，

所以过点B ，C ，M 的平面为平面BNMC ，三棱台为A 1MN ­ACB ，所以

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- 6 - 其表面积S ＝12×4×4＋12×2×2＋12×(42＋22)×5＋12×(4＋2)×5＋12

×(4＋2)×29＝25＋152＋329.

9．解析：选A.由于三棱锥P -ABC 的外接球的球心O 在AB 上，故AB 为其外接球的一条直径，因此∠ACB ＝90°.设球O 的半径为r ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝2r ，AC ＝r ，BC ＝3

r ，所以S △ABC ＝12r ×3r ＝32

r 2.由于P 为球O 上一点，故PO ＝r ，又PO ⊥平面ABC ，所以V P ­ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13r ·32r 2＝36r 3＝9316，解得r ＝32

，所以球O 的表面积为4πr 2＝4π×????322

＝9π，故选A.

10．解析：选C.记△PBB 1的面积为S .因为P 在底面ABCD 上，所以PB ⊥BB 1，即△PBB 1

为直角三角形，又BB 1＝DD 1＝1，所以S ＝12×BB 1×PB ＝12

PB ，当线段PB 的长最小时，S 取得最小值．因为D 1P 与平面EFG 无公共点，所以D 1P ∥平面EFG .如图①，连接AD 1，D 1C ，AC ，易证GF ∥AD 1，EF ∥AC ，又GF ∩EF ＝F ，AD 1∩AC ＝A ，所以平面AD 1C ∥平面EFG ，所以D 1P ?平面AD 1C ，所以点P 一定在线段AC 上运动．如图②，当PB ⊥AC 时，线段PB

的长最小，此时PB ＝AB ·BC AC ＝32，故(S △PBB 1)min ＝12×32＝34

，选C.

11．解析：选ABC.若m ?α，n ∥α，则m 与n 可能平行或异面，故A 错误；若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交或平行，故B 错误；若α∩β＝n ，m ∥n ，则m 可能在平面α或β内，故C 错误；若m ⊥α，m ⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，故α∥β，故D 正确．

12．解析：选ACD.因为P A ⊥平面ABC ，P A ?平面P AC ，所以平面ABC ⊥平面P AC ，故D 正确；因为B 为圆周上不与A ，C 重合的点，AC 为直径，所以BC ⊥AB ，因为P A ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以BC ⊥P A ，又AB ∩P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，又BC ?平面PBC ，所以平面P AB ⊥平面PBC ，故C 正确；因为AB ⊥BC ，BC ⊥P A ，又P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AN ，又因为AN ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ，所以AN ⊥平面PBC ，又AN ?平面ANS ，所以平面ANS ⊥平面PBC ，故A 正确．故选ACD.

13．解析：选ABC.用平行于平面ABC 的平面截平面DMN ，则交线平行于平面ABC ，故A 正确；当M ，N 分别在BB 1，CC 1上运动时，若满足BM ＝C 1N ，则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O ，由DO ⊥平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面BCC 1B 1，故B 正确；当M ，N 分别在BB 1，CC 1上运动时，△A 1DM 的面积不变，点N 到平面A 1DM 的距离不变，所以三棱锥N -A 1DM

高考资源网（ ） 您身边的高考专家 - 7 - 的体积不变，即三棱锥A 1­DMN 的体积为定值，故C 正确；若△DMN 为直角三角形，则必是以∠MDN 为直角的直角三角形，易证DM ＝DN ，所以△DMN 为等腰直角三角形，所以DO ＝OM ＝ON ，即MN ＝2DO .设正三棱柱的棱长为2，则DO ＝3，MN ＝2 3.因为MN 的最大值为BC 1，BC 1＝22，所以MN 不可能为23，所以△DMN 不可能为直角三角形，故D 错误．故选ABC.

14.解析：该正四面体如图所示，取AD 的中点H ，连接GH ，EH ，

则GH ∥AB ，所以∠HGE 为直线EG 与直线BC 所成的角．设该正四面

体的棱长为2，则HE ＝EG ＝3，GH ＝1.在△HEG 中，由余弦定理，得

cos ∠HGE ＝HG 2＋EG 2－HE 22HG ·EG

＝36. 答案：

36

15.解析：如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为

S ＝2πr ×21－r 2＝4πr 1－r 2≤4π×r 2＋（1－r 2）2＝2π(当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号)．所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π???

?222×2＝423

. 答案：423

16．解析：当液面的形状为三角形时，最大三角形即与正方体的一个顶点相邻的三个顶

点构成的三角形，这四个顶点构成的三棱锥的体积为13×12×2×2×2＝43

，所以当液体体积小于或等于43时不满足题意．由对称性，当液体体积大于或等于23－43＝203

时亦不满足题意．综上所述，液体体积的取值范围是????43，203.

答案：????43，203

17．解析：三棱锥的体积V ＝13×12

×23×4×sin 30°×6＝4 3.取SB 的中点O ，连接

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- 8 - OA ，OC .因为SA ⊥平面ABC ，AB ?平面ABC ，所以SA ⊥AB ，可得Rt △ASB 中，中线OA ＝12

SB .由AB ＝4，BC ＝23，∠ABC ＝30°，可知AC ⊥BC .又因为SA ⊥BC ，SA ，AC 是平面SAC

内的相交直线，所以BC ⊥平面SAC ，所以BC ⊥SC ，所以Rt △BSC 中，中线OC ＝12

SB ，所以O 是三棱锥S ­ABC 的外接球的球心．在Rt △SBA 中，AB ＝4，SA ＝6，所以SB ＝213，则外

接球半径R ＝12

SB ＝13.因此其外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×13＝52π. 答案：43 52π

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