高等几何 射影几何 练习题分析与答案

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、下列关于射影平面的论述正确的是 ――――――――――――――――― （ ）

A,无穷远直线视为普通的直线； B,所有直线都是封闭的； C,任意两直线必相交于一点； D,一条直线分射影平面为两部分。

2、下列到直线自身的射影对应属于双曲型对合的是 ―――――――――――（ ） A, ???

3、下列哪个几何性质或图形不属于仿射几何的研究范围――――――――――（ ）

A, 平行四边形； B,简比； C, 三角形的垂心； D,接合性；

224、二次曲线3x1?2x2?x1x2?x1x3?x2x3?0在射影观点下的基本类型是――

??2??1；B, ?????????4?0； C, ?????21?? D, ????2??3?0；

（ ）

A，虚的常态二阶曲线；B,实的常态二阶曲线；C,两条虚直线； D,两条实直线

5、由几对对应元素可以确定平面上任意的一个射影变换――――――――――（ ）

1

A, 1 B, 2 C, 3 D, 4 二、填空题（共15 分，每小题 3分） 1、

复点

（9

，3i,5-i）

对

应

的

实直

线

的

线

坐

标

为 。

2，对合???4??202??7的基本范式为 。

??x1???x1?x2?x3???x1?x2?x3 下的3、求坐标三角形A1A2A3的一边A1A2在坐标变换 ??x2??x??x?x?x3123?方程

。

4、求由两个射影线束x1?x2??(x1?x3)?0与x3???(x1?x2)?0,(???决定的二阶曲线的齐次方程 。

xa22???2)所

5、双曲线?yb22?1,的两条斜率分别为?,??直径成为共轭的条件

是 。

三、作图题（共20分，每小题 4 分）

1、给定椭圆E的短轴AA?和长轴BB?，试作出已知直线l和E的两个交点C1 ，C2。（尺规作图） 简要步骤：

l

2

A

B O B?

A? 2、作出如下5点4线图形的对偶图形（仅用直尺作图）。 简要步骤：

3、已知点列上一对合的二重点P，及两对对应点A?A?,B?B?如下图，作已知点C的对合点（仅用直尺作图）。 简要步骤：

3

4、利用四点形的调和性作出一点列l上关于A,B,C的第四调和点D（仅用直尺作图）。 简要步骤：

5、过椭圆上一已知点P作一椭圆的切线（仅用直尺作图）。 简要步骤：

四、计算题（共30分，每小题5分） 1、说明下列四线共点并计算其交比(l1l2,l3l4)，

l1:x1?x2?0;l2:3x1?x2?2x3?0;l3:x1?3x2?2x3?0;l4:x1?x3?0.

解：

4

2、求一维点列射影对应的参数表示式，使得??1,,?分别与???0,2,?1对应，

31并求自对应点的参数。 解：

3、求射影变换： ?x1???3?????0?x2????x????1?3???14?1?1??x1????0x的二重元素。 ??2???3???x3?解：

24、求二阶曲线x1x3?2x2?0对应的二级曲线，及直线（1，2，1）关于给定二

阶曲线的极点。 解：

225、设二阶曲线为4x1?16x1x2?16x2?2x1x?322x2x?327x?，说0明三点3P(1,0,1), Q(1,-1,0), R(1,1,-1),构成的三点形PQR是自极的，并确定二阶曲线对应的标准类型。 解

6、说明二次曲线x?4xy?2y?10x?4y?0是一条双曲线，并求其中心与渐近线。 解：

五、证明题（共 20分，每小题5 分）

1、每边分成三等分，将每个分点与对顶点相连，这六线构成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点。 证明：

5

22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jjud.html