专题二 多面体外接球的考察

专题二 多面体外接球的考察

试题一

已知正方体的边长为a，如图1，求它的外接球的半径和内切球的半径？

试题二

已知长方体的边长分别为a,b,c如图2, 求长方体外接球半径？

如图1 E G O A H F D

M C B 试题三

已知三条侧棱俩俩垂直的四面体， 如图3所示四面体P-ABC， PA=a， PB=b，PC=c。

其中PA ?PB, PB ?PC,PC?PA, 求此四面体外接球的半径R?

如图2

如图3

试题四

已知如图4四面体P-ABC，对棱 PA=BC=a,PB=AC=b, P PC=AB=c ，求此四面体外接球的半径？

a

试题五

已知正四面体的棱长是a，则正四面体 的外接球半径和内切球的半径分别是多 少？它们的比值又是多少？

c b

b

A C

c

a

B

如图4

A b

C

x

c

c

a P a

y z

b 如图5

B A

R

O R

D OB 1 M

C 如图6

试题六

已知正三棱锥的侧棱长为a，底面边长为b，求正三棱锥的外接球的半径R？

1.(2010年文7)设长方体的长宽高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

2.(2010理10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积( )

3.(2009年理15)直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上.若AB?AC?AA1=2,

?BAC?120?则此球的表面积等于( )

4.(2008海南理15)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为长为3，则这个球的体积为（ ）

5.（2007文15）正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S,A,B,C,D,都在同一个球面上 ，则该球的体积（ ）

我们看到上面的几道高考试题连续几年都在考察多面体的外接球的有关知识，希望本文能为考生打开思路。下面是是上面六道高考试题的答案。

9，底面周84a2?a2?a26a221．由试题2得R?，S=4?R=6?a ?222﹒如图8设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为OO1的中点，

又AD=

a33a﹐AO=a﹐OO2=﹐设球的

22322半径为R﹐则R?AO2=a?1321272a=a﹐ 41272?a 33．在?ABC中﹐由余弦定理知

S=4?R=

2BC2?AB2?AC2—2ABAC?cos120?=12，

所以BC= 23．

由正弦定理知?ABC中的外接圆半径r满足23=2r﹐ ?sin1202所以r=2．由题意知球心到平面ABC的距离为1，设球的半径为R，则R=5，所以S=4?R=

20?

4﹒设正六棱柱的底面边长为x，则6x=3﹒所以x=

21，设正六棱柱的高为h，由其体积2993?1?V?知?6?????h﹒所以h=3，因为正六棱柱外接球的直径恰好是正六棱柱884?2?的体对角线长﹐2R?2所以R=1﹒V=

4? 34?R34?5．已知球心为底面ABCD的中心，R=1﹒所以V==﹒

33

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