湖南师大附中高二上学期期末考试数学（理）Word版含答案

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试

数学(理科)

命题：贺仁亮 朱修龙 严勇华 周艳军

审题：高二数学备课组 时量：120分钟 满分：150分

得分：______________

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2i

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于

1－iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11?

2．设向量a＝(1，0)，b＝??2，2?，则下列结论中正确的是 A．|a|＝|b| B．a·b＝

2

C．a∥b D．a－b与b垂直 2

3．设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：

①

?α∥β?

α∥γ??

?

β∥γ；②

?α⊥β?

m∥α??

?

m⊥β；③

?m⊥α?

?

m∥β??

α⊥β；④

m∥n??nα??

?

m∥α.

其中正确的命题是

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 4．已知命题p：正确的是

A．p为真 B．綈q为真 C．p∧q为真 D．p∨q为真

5．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为

1

A．1 B．－1 C. D．2

2

6．已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的

房东是个大帅哥 x0∈R，使sin x0＝

5；命题q：2π

x∈?0，?，x>sin x，则下列判断

2??

值可以是

ππππA. B. C. D. 2346

7．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为 A．1 B．－1 C．0 D．2

8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

年收入x(万元) 年支出y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 ^^^^^^根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝y－bx，据此估计，该社区一户年收入为15万元时家庭年支出为

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元

π

9．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等

2于

A．－2 B．－1 C．1 D．2

10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为

(参考数据：3≈1.732；sin 15°≈0.258 8； sin 7.5°≈0.130 5.) A．12 B．24 C．36 D．48

房东是个大帅哥 x2y2

11．若双曲线2－＝1(a>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双

a3曲线的实轴长为

A．1 B．2 C．3 D．6

12．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为

A．22 B．23 C．4 D．25 答题卡

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． ππ

13．∫－(1＋cos x)dx＝________．

22

14．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝2x2＋x 的图象上，则数列{an}的通项公式为an＝________．

?y≥x，?

15．设m>1，在约束条件?y≤mx，下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为

??x＋y≤1

________．

16．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c为最大边，又已知b＝3R，其中R是△ABC的外接圆半径．且bsin B＝(a＋c)sin A.

(Ⅰ)求角B的大小； (Ⅱ)试判断△ABC的形状．

房东是个大帅哥 18.(本小题满分12分)

在如图所示的六面体中，面ABCD是边长为2的正方形，面ABEF是直角梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，BE＝2AF＝4.

(Ⅰ)求证：AC∥平面DEF；

(Ⅱ)若二面角E－AB－D为60°，求直线CE和平面DEF所成角的正弦值．

房东是个大帅哥 19.(本小题满分12分)

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝3an－2an－1(n∈N*，n≥2)． (Ⅰ)证明：数列{an＋1－an}是等比数列，并求出{an}的通项公式；

111

(Ⅱ)设数列{bn}满足bn＝2log4(an＋1)，证明：对一切正整数n，有2＋2＋…＋2b1－1b2－1bn－11

<. 2

2

房东是个大帅哥

20.(本小题满分12分)

某商场准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装，2种家电，3种日用品这3类商品中，任意选出3种商品进行促销活动．

(Ⅰ)若选出的3种商品中至少有一种是日用商品，求共有多少种选法？

(Ⅱ)商场采用顾客每购买一件促销商品就可摸奖一次的促销方案：若甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共四个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖，试求在1次摸奖中，获得一、二、三等奖的概率p1、p2、p3.

房东是个大帅哥 21.(本小题满分12分)

y2x2

已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．

164(Ⅰ)求椭圆C2的方程；

(Ⅱ)若椭圆C2与x轴正半轴相交于点A.过点B(1，0)作直线l与椭圆C2相交于E，F两点，→→直线AE，AF与直线x＝3分别交于点M，N.求EM·FM的取值范围．

房东是个大帅哥 22.(本小题满分12分)

1

已知函数f(x)＝ln x＋x2－(m＋2)x有两个极值点x1、x2，其中x1

2(Ⅰ)求实数m的取值范围；

e2

(Ⅱ)是否存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于－？若存在，求出m的取值范围；若

2不存在，请说明理由．

湖南师大附中高二第一学期期末考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试

数学(理科)参考答案

一、选择题

2i（1＋i）－2＋2i2i1．B 【解析】由题意＝＝＝－1＋i，其对应的点坐标为(－

21－i（1－i）（1＋i）1，1)，位于第二象限，故选B.

2．D 【解析】|a|＝1＋0＝1，|b|＝

2222?1?＋?1?＝2； ?2??2?2

11111

a·b＝1×＋0×＝；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．

222223．C 【解析】由定理可知①③正确，②中m与β的位置关系不确定，④中可能m故选C.

4．D 【解析】由于三角函数y＝sin x的有界性，－1≤sin x0≤1，所以p假；对于q，π

构造函数y＝x－sin x，求导得y′＝1－cos x，又x∈?0，?，所以y′>0，y为单调递增函数，

2??有y>y|x＝0＝0恒成立，即

π

x∈?0，?，x>sin x，所以q真．判断可知，D正确．

2??

α.

5．D 【解析】曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，∴k＝2.故选D.

ππ

6．D 【解析】f(x)＝2sin?x＋?， 又y＝f(x＋φ)＝2sin?x＋＋φ?的图象关于直线x＝0

3?3???

房东是个大帅哥 ππππ

对称，即为偶函数，∴＋φ＝＋kπ，φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝. 3266

7．A 【解析】设a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝a＝(2＋3)4，a0－a1＋a2－a3＋a4＝b＝(2－3)4， 则待求式＝ab＝[(2＋3)(2－3)]4＝1. 8．B 【解析】由已知得x＝

8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9

＝10(万元)，y＝

5

6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8^^

＝8(万元)，故a＝8－0.76×10＝0.4，所以回归直线方程为y＝0.76x＋

50.4，

^

当社区一户年收入为15万元时家庭年支出为y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B. ππ

9．D 【解析】f′(x)＝sin x＋xcos x，f′??＝1，即函数f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切

2?2?aa

－?×1＝－1，解得a＝2.故选D. 线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以??2?2

133

10．B 【解析】n＝6时，S＝×6×sin 60°＝≈2.598<3.10，故n＝12；又n＝12

2211

时，S＝×12×sin 30°＝3<3.10，故n＝24；又n＝24时，S＝×24×sin 15°≈3.105 6>3.10，

22故输出n的值为B.

x2y2311．B 【解析】双曲线2－＝1的渐近线方程为y＝±x，即3x±ay＝0，圆(x－2)2

a3a＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝22－12＝3，|3×2－a×0|x2y2

另一方面，圆心C(2，0)到双曲线2－＝1的渐近线3x－ay＝0的距离为d＝＝a33＋a223232

，所以22＝3，解得a＝1， 3＋a3＋a即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2.

房东是个大帅哥 12．C 【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长，宽，高分别为m，n，k，由题意得m2＋n2＋k2＝7，m2＋k2＝6＝b，所以(a2－1)＋(b2－1)＝616

n＝1，1＋k2＝a，1＋m2a2＋b2＝8，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝8＋2ab≤8＋a2＋b2＝

a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．选C. 二、填空题

13．π＋2 【解析】∵(x＋sin x)′＝1＋cos x， ∫

ππππππππ

－(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|－＝＋sin－?－＋sin?－??＝π＋2. 222222?2?2??

14．4n－1 【解析】由题意可得：Sn＝2n2＋n，易知数列{an}为等差数列，首项为3，公差为4，∴an＝4n－1.

15．3 【解析】作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影△OAB. 11

∵目标函数可化为y＝－x＋z，它在y轴上的截距最大时z最大．

55

?1m?x＋y＝1

∴当目标函数线过点A时z最大．由?解得A?m＋1，m＋1?，

???y＝mx?

∴zmax＝

15m5m＋1

＋＝＝4， m＋1m＋1m＋1

∴m＝3.

16.5－1【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为

房东是个大帅哥

＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.

22＋（－1）2三、解答题

b3

17．【解析】(Ⅰ)△ABC中，b＝3R，∴sin B＝＝，又c为最大边，

2R2ππ

所以B∈?0，?，∴B＝；(4分)

32??

(Ⅱ)由bsin B＝(a＋c)sin A，得b2＝(a＋c)a，∴a2＋c2－2accos B＝a2＋ac.

化简得：c－2acos B＝a.由正弦定理可得sin C－2sin Acos B＝sin A．∵sin C＝sin(A＋B)，∴sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin A.

π

∴sin (B－A)＝sin A．∵0

2

ππ

∴B－A＝A，∴B＝2A，∴A＝，C＝，△ABC为Rt△.(10分)

62

18．【解析】证明：(Ⅰ)连接AC，BD相交于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG. 1

∵ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∴OG∥BE，OG＝BE，

21

又因为AF∥BE，AF＝BE，所以OG∥AF且OG＝AF，

2

|2＋3|

所以四边形AOGF是平行四边形，(3分) ∴AC∥FG，又因为FG∴AC∥平面DEF.(5分)

(另解：延长BA，EF相交于点G，连接GD可证明AC平行GD) (Ⅱ)∵ABCD是正方形，ABEF是直角梯形，∠FAB＝90°，

平面DEF，AC

平面DEF.

房东是个大帅哥 ∴DA⊥AB，FA⊥AB.

∵AD∩AF＝A，∴AB⊥平面AFD，同理可得AB⊥平面EBC. 又∵AB

平面ABCD，所以平面AFD⊥平面ABCD，

又因为二面角E－AB－D为60°，

所以∠FAD＝∠EBC＝60°，BE＝2AF＝4，BC＝2，由余弦定理得EC＝23， 所以EC⊥BC，又因为AB⊥平面EBC，所以EC⊥AB，所以EC⊥平面ABCD，(7分) 以C为坐标原点，CB为x轴、CD为y轴、CE为z轴建立空间直角坐标系．则C(0，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，23)，F(1，2，3)，(8分)

→→→

所以CE＝(0，0，23)，DF＝(1，0，3)，EF＝(1，2，－3)，设平面DEF的一个法向→?DF＝0?x＋3z＝0?n·

量为n＝(x，y，z)，则?即?

→x＋2y－3z＝0??EF＝0?n·

?x＝－3，

令z＝3，则?

?y＝3，

所以n＝(－3，3，3)．(11分) 设直线CE和平面DEF所成角为θ， →

则sin θ＝|cos〈CE，n〉|＝(其它解法酌情给分)

19．【解析】(Ⅰ)由an＋1＝3an－2an－1，可得an＋1－an＝2(an－an－1)，(2分) ∵a2－a1＝2，∴{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列， 即an＋1－an＝2n.(3分)

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

房东是个大帅哥 67

＝.(12分)

23×217

＝2

n－1

＋2

n－2

1－2n

＋…＋2＋1＝

1－2

＝2n－1.(6分)

(Ⅱ)由题意得bn＝2log4(2n)2＝2n.(7分) ∵

＝2＝b2n－14n－11

1

1

1

111

＝?2n－1－2n＋1?.(9分)

?(2n－1)(2n＋1)2?

11

∴

＋2＋…＋2

b2bn－11－1b2－1

11??1111

－1－?＋?－?＋…＋?＝??3??35?2???2n－12n＋1?? 111

＝?1－2n＋1?<. 2??2

1111

∴对一切正整数n，有2＋2＋…＋2<.(12分)

b1－1b2－1bn－12

20．【解析】(Ⅰ)从2种服装，2种家电，3种日用品中，任选出3种商品一共有C37种选法，选出的3种商品中没有日用品的选法有C34种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的

3

选法有C37－C4＝35－4＝31.(3分)

2

(Ⅱ)在1次摸奖中，摸出的球共有C26C4种可能， 2

C213C2

则获得一等奖的概率为p1＝22＝；(6分)

C6C43011112C273C2C2＋C3C3C2获得二等奖的概率为p2＝＝；(9分) 22C6C43021111

2C273C2＋C3C3C2C2

获得三等奖的概率为p3＝＝.(12分) 22C6C415

x2y2

21．【解析】(Ⅰ)由题意可设椭圆C2的方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab则a＝2，e＝3

.∴c＝3，b2＝1. 2

x22

∴椭圆C2的方程为＋y＝1.(4分)

4

(Ⅱ)由椭圆C2的方程可知点A的坐标为(2，0)． (1)当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，

房东是个大帅哥 易得E?1，

?

3?333→→，F?1，－?，M?3，－?，N?3，?，所以EM·FN＝1.(6分) 2?2?2?2????

(2)当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y＝k(x－1)，显然k＝0时，不符合题意．

??y＝k（x－1）

由?2消y并整理得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0. 2

?x＋4y－4＝0?

4k2－48k2

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝2.(7分)

4k＋14k＋1y1y2直线AE，AF的方程分别为：y＝(x－2)，y＝(x－2)，

x1－2x2－2y1y2令x＝3，则M?3，x－2?，N?3，x－2?.

????12

y1（3－x1）?→?y2（3－x2）?→?3－x，所以EM＝?3－x1，，FN＝.(8分) ?2

x1－2?x2－2?????y1（3－x1）y2（3－x2）→→

所以EM·FN＝(3－x1)(3－x2)＋·

x1－2x2－2y1y2＝(3－x1)(3－x2)?1＋（x－2）（x－2）?

??12

?2（x1－1）（x2－1）?＝(3－x1)(3－x2)?1＋k·?

（x1－2）（x2－2）??

＝[x1x2－3(x2＋x2)＋9)×?1＋k

??

2x1x2－（x1＋x2）＋1??

x1x2－2（x1＋x2）＋4?

4k2－48k2

－2＋124k＋14k＋14k2－48k2??2

－3·＋91＋k·＝?2·

4k2＋1?4k2－48k2?4k＋1?

－2·2＋44k2＋14k＋1

??????

?16k＋5?·?1＋－3k?16k＋5＝1＋1.(11分) ＝?2?2＝4k?16k2＋416k2＋4?4k＋1??

16k2＋55→→?5?因为k＞0，所以16k＋4＞4，所以1<<，即EM·FN∈?1，4?.

16k2＋44

2

2

222

5→→

1，?.(12分) 综上所述，EM·FN的取值范围是??4?房东是个大帅哥 x2－（m＋2）x＋11

22．【解析】(Ⅰ) f′(x)＝＋x－(m＋2)＝(x>0)，

xx

于是f(x)有两个极值点需要二次方程x2－(m＋2)x＋1＝0有两个不等的正根，

2

??Δ＝（m＋2）－4>0则?，解得m>0， ?x1＋x2＝m＋2>0?

此时在(0，x1)上f′(x)>0，(x1，x2)上f′(x)<0，

(x2，＋∞)上f′(x)>0，因此x1、x2是f(x)的两个极值点，符合题意． 所以m的取值范围是(0，＋∞)．(4分)

e2

(Ⅱ)假设存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于－，

2

由(Ⅰ) 可知方程x2－(m＋2)x＋1＝0有两个不等正根x1、x2，且x1x2＝1，x11，f(x)在x＝x2处取得极小值，由x22－(m＋2)x2＋1＝0，得(m＋2)x2

＝x22＋1，

112所以函数f(x)的极小值为f(x2)＝ln x2＋x22－(m＋2)x2＝ln x2－x2－1.(8分) 221－x2121

设g(x)＝ln x－x－1(x>1)，则g′(x)＝－x＝<0，

2xx

e2e2

于是g(x)在(1，＋∞)上单调递减，而g(e)＝－，要使得函数f(x)的极小值大于－，

22e2e2

即使f(x2)>－，即g(x2)>－＝g(e)，∴x2

22

111

2，e＋?，即m∈?0，e＋－2?.所以存在实数m，使得函数f(x)的极又m＋2＝x2＋∈?e?e??x2?1e2

0，e＋－2?.(12分) 小值大于－，此时m∈?e??2

房东是个大帅哥

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