全国各地2012年中考数学分类解析（159套63专题）专题24 方程、不等式和函数的综合

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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）

专题24：方程、不等式和函数的综合

一、选择题

1. （2012福建龙岩4分）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x＋1 ③y=? A．1个 【答案】B。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。

【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断： ①∵y=x的k＞0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大； ②∵y=－2x＋1的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小； ③∵y=?B．2个

1 ④y=3x2 xD． 4个

C．3个

1的k＜0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大； x ④∵y=3x2的a＞0，对称轴为x=0，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小。 ∴正确的有2个。故选B。

2. （2012四川广元3分） 已知关于x的方程(x?1)2?(x?b)2?2有唯一实数解，且反比

例函数

y?1?b的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 x3122A. y?? B. y? C. y? D. y??

xxxx【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。

【分析】关于x的方程(x?1)2?(x?b)2?2化成一般形式是：2x＋（2－2b）x＋（b－1）

2

2

=0，

∵它有唯一实数解，

∴△=（2－2b）－8（b－1）=－4（b＋3）（b－1）=0，解得：b=－3或1。 ∵反比例函数y?2

2

1?b 的图象在每个象限内y随x的增大而增大， x∴1+b＜0。∴b＜－1。∴b=－3。

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∴反比例函数的解析式是y?1?32，即y??。故选D。 xx3. （2012山东菏泽3分）已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，那么一次函数

y?bx?c和反比例函数y?a在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】 x A．B．C．

D

【答案】C。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质。

【分析】∵由二次函数的图象知：二次函数图象开口向下，∴a＜0，

∵由二次函数的图象知：二次函数图象的对称轴为x=?0。

∵由二次函数的图象知：二次函数图象经过坐标原点，∴c=0。 ∴一次函数y?bx?c过第二四象限且经过原点，反比例函数y=限，

观察各选项，只有C选项符合。故选C。

4. （2012山东泰安3分）二次函数y?a(x?m)?n的图象如图，则一次函数y?mx?n的图象经过【 】

2b<0，∴由a＜0得b＜2aa位于第二四象x

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A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C。

【考点】二次函数的图象，一次函数的性质。

【分析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0。∴m＜0，

∴一次函数y?mx?n的图象经过二、三、四象限。故选C。

5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=2

1上，2x点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx+（a+b）x【 】

99B．有最大值，最大值为

2 2 99C．有最小值，最小值为D．有最小值，最小值为?2 2

A．有最大值，最大值为?【答案】B。

【考点】关于y轴对称的点的坐标，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。 【分析】∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），∴N点的坐标为（﹣a，b）。

又∵点M在反比例函数y=1的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上， 2x11???b=?ab=2∴?2a，即?2。∴二次函数y=﹣abx+（a+b）x为???a+b=3?b=?a+31129y=?x2+3x=??x?3?+。

22219∵二次项系数为?＜0，∴函数有最大值，最大值为y=。故选B。

22二、填空题 三、解答题

1（2012广东梅州8分）一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线l上的一部分． （1）求直线l的函数关系式；

（2）如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是多少？

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【答案】解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得

?k+b=45?k=?6 ?，解得?。

3k+b=42b=60??∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。 （2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤

25。 3251∴警车最远的距离可以到：60??=250千米。

32【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。

（2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。

2. （2012广东深圳8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种 生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：

（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？

（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？

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【答案】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，

?40?2x?3x ?x?0?根据题意得： ?， 解得：

40?2x?0??5000x?2000x?2400?40?2x??118000?8≤x≤10。

∵x是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案： 方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台； 方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台； 方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台；

（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40－2x），

即y=2260x+10800。

∵y=2260x+10800是单调递增函数，∴当x最大时，y的值最大。 ∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。 ∵现金每购1000元送50元家电消费券一张， ∴33400元，可以送33张家电消费券。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40-2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案。

（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，

即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。

3. （2012浙江衢州10分）在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙工程队每天修公路多少米？

（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． （3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？

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【答案】解：（1）由图得：720÷（9﹣3）=120（米），

答：乙工程队每天修公路120米。

?3k+b=0?k=120（2）设y乙=kx+b，则?，解得：?。∴y乙=120x﹣360。

9k+b=720b=?360??当x=6时，y乙=360。

设y甲=kx，则360=6k，k=60，∴y甲=60x。

（3）当x=15时，y甲=900，∴该公路总长为：720+900=1620（米）。

设需x天完成，由题意得： （120+60）x=1620，解得：x=9。

答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成。

【考点】一次函数和一元一次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数。

（2）根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式。 （3）先求出该公路总长，再设出需要x天完成，根据题意列出方程组，求出x，即

可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数。

4. （2012浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排x件产品运往A地。

（1）当n?200时，

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①根据信息填表： 产品件数（件） 运费（元） A地 B地 C地 合计 200 x 30x 2x ②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？ （2）若总运费为5800元，求n的最小值。 【答案】解：（1）①根据信息填表 产品件数（件） 运费（元） A地 B地 C地 合计 200 x 30x 200?3x 2x 50x 1600?24x 56x+1600 6?200?3x?2x ②由题意，得 ? ，解得40≤x≤42。

7?1600?56x?4000∵x为整数，∴x=40或41或42。 ∴有三种方案，分别是

（i）A地40件，B地80件，C地80件；

（ii）A地41件，B地77件，C地82件； （iii）A地42件，B地74件，C地84件。

（2）由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得n=725－7x．

∵n－3x≥0，∴x≤72.5。

又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。

∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。

【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）①运往B地的产品件数=总件数n－运往A地的产品件数－运往B地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费。

②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等

式组，求得整数解的个数即可。

（2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，从而根据函数的增减性得

到的x的取值求得n的最小值即可。

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5. （2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

2

2

【答案】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。

则（40－2x）=484，解得x1?31（不合题意，舍去），x2?9。 ∴剪掉的正方形的边长为9cm。 ②侧面积有最大值。

设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm， 则y与x的函数关系为：

2

2

y?4(40?2x)x??8x2?160x??8(x?10)2?800，

∴x=10时，y最大=800。

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm。 （2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。

则2(40?2x)(20?x)?2x(20?x)?2x(40?2x)?550 ， 解得：x1??35（不合题意，舍去），x2?15。 ∴剪掉的正方形的边长为15cm。

此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。

【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。

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2

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【分析】（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40－2x）=484，求出即可 ②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm，则y与x的函数关系为：y=4（40-2x）x，利用二次函数最值求出即可。

（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为

550cm，得出等式方程求出即可。

6. （2012江苏淮安10分）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：

第一档电量 月用电量210度以下，每度价格0.52元

第二档电量 月用电量210至350度，每度比第一档提价0.05元

第三档电量 月用电量350度以上，每度电比第一档提价0.30元

2

2

2

例：若某户月用电量400度，则需缴电费为

210×0.52+（350－210）×（0.52+0.05）+（400－350）×（0.52+0.30）＝230元 （1）如果按此方案计算，小华家5月份电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量； （2）依此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用量属于第几档？ 【答案】解：（1）用电量为210度时，需要交纳210×0.52=109.2元，

用电量为350度时，需要交纳210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）

=189元，

∴小华家5月份的用电量在第二档。 设小华家5月份的用电量为x，则

210×0.52＋（x－210）×（0.52＋0.05）=138.84， 解得：x=262。

∴小华家5月份的用电量为262度。

（2）由（1）得，当a≤109.2时，小华家的用电量在第一档；

当109.2＜a≤189时，小华家的用电量在第二档； 当a＞189时，华家的用电量在第三档。

【考点】分段函数和一元一次方程的应用。

【分析】（1）分别计算出用电量为210度，350度时需要交纳的电费，然后可得出小华家5月份的电量在哪一档上，从而列式计算即可。

（2）根据（1）求得的结果，讨论a的值，得出结论。

7. （2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数y1?kx?b的图象与x轴相交于点A，与

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反比例函数y2?c x5，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1?kx?b的图象上2的图象相交于B（－1，5）、C（

的动点．

（1）求k、b的值； （2）设?1?m?的面积是

3c，过点P作x轴的平行线与函数y2?的图象相交于点D．试问△PAD2x否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设m?1?a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求

实数a的取值

范围．

cc，得5? ，解得c=?5。 x?15 ∴反比例函数解析式为y2??。

x5555 将点C（，d）的坐标代入y2??，得d??=?2。∴C（，－2）。

52x225 ∵一次函数y1?kx?b的图象经过B（－1，5）、C（，－2）两点，

2【答案】解：（1）将点B 的坐标代入y2??5??k?b?k=?2? ∴?，解得。 ?5b=3?2?k?b??2?（2）存在。

令y1?0，即?2x?3?0，解得x?33。∴A（，0）。

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由题意，点P（m，n）是一次函数y1??2x?3的图象上的动点，且

?1?m?3 2 ∴点P在线段AB 上运动（不含A、B）。设P（

3?n，n）。 25的图象上， x55 ∴yD?yP?n，xD=?，即D（?，n）。

nn ∵DP∥x轴，且点D在y2??11?3?n5?1?3?49+??n=??n??+。 ∴△PAD的面积为S?PD?OP=??22?2n?4?2?16 ∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。

233，得0?n?5，而0?n=?5。 2233349 ∴当n=时，即P（，。 ）时，△PAD的面积S最大，为

24216 又∵n=?2m?3，?1?m? （3）由已知，P（1?a, 2a+1）。

易知m≠n，即1?a?2a+1，即a?0。 若a>0，则m<1

由题设，m>0，n?2，解出不等式组的解为0

1。 21 由题设，n?0，m<2，解出不等式组的解为??a<0。

211 综上所述，数a的取值范围为??a<0，0

22【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。

【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得c=?5，从而得到y2??由点C在y2??5；x5上求得d??2，即得点C的坐标；由点B、C在y1?kx?b上，得方程组，x解出即可求得k、b的值。

（2）求出△PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。

（3）由m≠n得到a?0。分a>0和a<0两种情况求解。

8. （2012江苏徐州8分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规

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定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交

a元。某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费10035元；4月份用电45千瓦时，交电费20元。 （1）求a的值；

（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？

10. （2012江苏镇江8分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离。请结合图象中的信息解决如下问题：

（1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值；

（2）乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。

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【答案】解：（1）由图知，甲车的速度为（千米/小时）。

根据题意，得

6060，乙车的速度为=40（千米/小时）=601.51.5?0.5aa。 =?1?0.5，解得a=180（千米）

6040180180（2）设甲车返回的速度为x千米/小时，则，解得x=90。 ?1=60x 经检验，x=90是方程的解并符合题意，

∴甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时

回到A地。

甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数

图象如图：

【考点】一次函数和方程的应用。

【分析】（1）由图结合已知甲出发0.5小时后乙开始出发，可求出甲、乙两车的速度。 根据时间列出方程求解即可得a的值（也可用路程相等列出方程求解）。 应用函数求解如下：由题意知M（0.5，0），

由点O、P、M的坐标用待定系数法求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为： s甲?40t，s乙?60t?30。

设N（t，a），P（t＋1，a）），代入函数关系式，得

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??t?3.5?a?40?t+1? ?，解得?。 ??a?180?a?60t?30（2）根据时间列出方程求解即可求解（也可用路程相等列出方程

180180180求解）。 ?2+0.5=+6040x 应用函数求解如下：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车在返回过程中离

180?2+0.5=6.5。 60180 若两车同时返回A地，则甲车返回时需用的时间为6.5?。 =2（小时）

40地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数关系，点E的横坐标为 ∴甲车返回时的速度为180÷2=90（千米/小时）。

根据E点的坐标，连接PE、NE即可得甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。

11. （2012广东河源7分）一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度

匀速行驶．已知

警车一次加满油后，油箱内的余油量y(升)与行驶的时间x(小时)的函数关系的图象是如图

所示的直线l的 一部分．

(1)求直线l的函数表达式；

(2)如果警车要回到A处，且要求警车的余油量不能少于10升，那么警车可以以行驶到离A处的最远

距离是多少？

【答案】解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得

?k+b=45?k=?6 ?，解得?。

3k+b=42b=60??第 14 页 共 65 页

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∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。 （2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤

25。 3251∴警车最远的距离可以到：60??=250千米。

32【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。

（2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。

12. （2012广东河源9分）(1)已知方程x＋px＋q＝0(p－4q≥0)的两根为x1、x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．

(2)已知抛物线y＝x＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点(―1，―1)，设线段AB的长为d，当p为

何值时，d取得最小值并求出该最小值．

【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p﹣4q≥0，

2

2

2

2

2

bc∴x1?x2??=?p，x1?x2?=q。

aa（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。

∵d=|x1﹣x2|，

∴d=（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4 x1?x2=p﹣4q=p﹣4p+8=（p﹣2）+4。 ∴当p=2时，d 的最小值是4。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】

（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。

13. （2012福建南平10分）某乡镇决定对小学和初中学生用餐每生每天3元的标准进行营养补助，其中家庭困难的学生的补助标准为：小学生每生每天4元，初中生每生每天5元，已知该乡镇现有小学生和初中学生共1000人，且小学、初中均有2%的学生为家庭困难寄宿生．

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设该乡镇现有小学生x人． （1）用含x的代数式表示：

该乡镇小学生每天共需营养补助费是 元． 该乡镇初中生每天共需营养补助费是 元．

（2）设该乡镇小学和初中生每天共需营养补助费为y元，求y与x之间的函数关系式； （3）若该乡镇小学和初中学生每天共需营养补助费为3029元，问小学生、初中生分别有多少人？

【答案】解：（1）小学生每天所需营养费=4×2%x+3（1－2%）x=3.02x；

中学生每天所需营养费=5×2%（1000-x）+3×（1－2%）（1000－x）=3040－3.04x。

（2）根据题意得y=3.02x＋3040－3.04x=3040－0.02x。 （3）令y=3029，即3040－0.02x=3029，解得：x=550 1000－550=450。

答：小学生有550人，中学生有450人。

【考点】列代数式，一元一次方程和一次函数的应用。

【分析】（1）用普通学生的费用加上困难学生的费用即可求得中小学生需要的营养补助费。

（2）将（1）题中的两个相加即可求得总营养费与学生数之间的函数关系式。 （3）令y=3029即可求得学生数。

14. （2012福建龙岩12分）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；

用1辆A

型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A

型车a辆，B

型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．

根据以上信息，解答下列问题:

（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；

（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租

车方案，并求

出最少租车费．

【答案】解：（1）设1辆A型车和1辆车B型车一次分别可以运货x吨，y吨，

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?2x?y?10 ?x?3 根据题意得出，?，解得：?。

?x?2y?11?y?4答：1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨。 （2）∵某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，

∴3a+4b=31。则

?a?01?，解得： 。 0?a?10?31?3a3b=?0?4?∵a为整数，∴a=1，2，?10。 又∵b=31?3a3+a为整数，∴a=1，5，9。 =7?a+44∴当a=1，b=7；当a=5，b=4；当a=9，b=1。

∴满足条件的租车方案一共有3种，a=1，b=7；a=5，b=4；a=9，b=1。 （3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，

∴当a=1，b=7，租车费用为：W=100×1+7×120=940元； 当a=5，b=4，租车费用为：W=100×5+4×120=980元； 当a=9，b=1，租车费用为：W=100×9+1×120=1020元。 ∴当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少。 答：最少租车费为940元。

【考点】二元一次方程组、不等式和一次函数的应用。

【分析】（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A

型车和2辆

B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可。

（2）由题意理解出：3a+4b=31，解其整数解的个数，即就有几种方案。 （3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次， 分别求出租车费用即可。

15. （2012福建三明10分）某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元．

（1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多

少件？（5分）

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（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不

多于A种商品

件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5分）

【答案】解：（1）设A种商品销售x 件，则B种商品销售（100－x）件.

依题意，得10x＋15（100－x）=1350，

解得x=30。∴ 100- x =70。

答：A种商品销售30件，B种商品销售70件。

（2）设A种商品购进x 件，则B种商品购进（200－x）件。

依题意，得0≤ 200－ x ≤3x，解得 50≤x≤200 。

设所获利润为w元，则有w=10x＋15（200－ x）= － 5x +3000 。 ∵－5＜0，∴w随x的增大而减小。

∴当x=50时，所获利润最大，最大利润为－50×50＋30000=2750

200－x=150。

答：应购进A种商品50件，B种商品150件，可获得最大利润为2750元。 【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。

【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：

销售A种商品的利润＋销售B种商品的利润=1350元

10x ＋ 15（100－x） =1350。

（2）根据购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品件数的3倍列出不

等式求出购进A种商品数量的范围；列出利润关于A种商品数量的函数关系式，根据函数的性质求得结果。

16. （2012福建厦门12分）已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线y＝k1x＋b与双曲线y

＝点．

（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若AM＝BM，求点B的坐标；

k2

（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝（k2＞0）于点

x

k2

（k2＞0）的交 x

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PN1

N．当 取最大值时，若PN＝ ，求此时双曲线的解析式．

NE2

k2

【答案】（1）解：∵点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y＝（k2＞0）上，

x

∴ c＝k2＝3d 。

∵ k2＞0， ∴ c＞0，d＞0。

∴A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限。 ∴ AM＝3d。

过点B作BT⊥AM，垂足为T。 ∴ BT＝2，TM＝d。 ∵ AM＝BM，∴ BM＝3d。

在Rt△BTM中，TM＋BT＝BM，即 d＋4＝9d，∴ d＝∴点B(3，2

)。 2

2

2

2

2

2

2。 2

k2

（2）∵ 点A(1，c)、B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交

x

点，

∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b。 14

∴k1＝－k2，b＝k2。

33

∵ A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限， ∴ 点P在第一象限。设P（x，k1x＋b）， PEk1x＋bk12b124

∴＝ ＝x＋x＝－x＋x。 NEk2k2k233

x

14?x?2?2+ 33PEPE4

∵当x＝1，3时，＝1，又∵当x＝2时， 的最大值是。

NENE3

＝?PE4

∴1≤≤.。∴ PE≥NE。

NE3PNPE121∴ ＝－1＝??x?2?+。 NENE33PN1∴当x＝2时，的最大值是。

NE3

133

由题意，此时PN＝，∴ NE＝。∴ 点N(2，) 。 ∴ k2＝3。

222

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3

∴此时双曲线的解析式为y＝。

x

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，二次函数的最值。 k2

【分析】（1）过点B作BT⊥AM，由点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线y＝（k2＞0）

x 上，得到c=3d，则A点坐标为（1，3d），在Rt△BTM中应用勾股定理即可计算出d的值，即可确定B点坐标。

PNPN

（2）P（x，k1x＋b），求出关于x的二次函数，应用二次函数的最值即可求得

NENE

133k2

的最大值，此时根据PN＝求得NE＝，从而得到N(2，)，代入y＝即可求得k2＝3。因

222x 3

此求得反比例函数的解析式为y＝。

x

17. （2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制

成

某

种

营

养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克．

(1)至少需要购买甲种原料多少千克?

(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买 甲种原料多少千克时，总费用最少?

【答案】解：（1）依题意，得600x+400（20-x）≥480×20，

解得x≥8。

∴至少需要购买甲种原料8千克。

（2）根据题意得：y=9x+5（20－x），即y=4x+100，

∵k=4＞0，∴y随x的增大而增大。 ∵x≥8，∴当x=8时，y最小。

∴购买甲种原料8千克时，总费用最少。

【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。

【分析】（1）先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表

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格中的数据，根据“至少含有480单位的维生素C”这一不等关系列出不等式，即可求出答案。

（2）根据表中所给的数据列出式子，再根据k的值，即可得出购买甲种原料多少

千克时，总费用最少。

18. （2012福建泉州9分）国家推行“节能减排，低碳经济”的政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元.据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0、y1（单位：元）与正常运营时间x（单位：天）之间分别满足关系式：y0?ax、y1?b?50x，如图所示. 试根据图像解决下列问题：

（1）每辆车改装前每天的燃料费a= 元,每辆车的改装费b= 元.正常运营 天后，就可以从节省燃料费中收回改装成本.

（2）某出租汽车公司一次性改装了100辆车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？

【答案】解：（1）90； 4000；100。

（2）依题意，得y0?y1?100?90x?(4000?50x)??400000

解得x?200。

答：200天后节省燃料费40万元。 【考点】一次函数和一元一次方程的应用。

【分析】（1）根据图象得出y0=ax过点（100，9000），得出a的值，再将点（100，9000），代入y1=b+50x，求出b即可，再结合图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本。

（2）根据题意及图象得出：改装前、后的燃料费燃料费每天分别为90元，50元，

从而得出y0?y1?100?90x?(4000?50x)??400000，得出即可。

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19. （2012湖北十堰10分）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元． （1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？

（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费） 【答案】解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则

?x+y=40?x=15 ?，解得?。

2x+3y=105y=25??答：甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；

（2）设生产A产品m件，生产B产品（50－m）件，则生产这50件产品的材料费为

15×30m＋25×10m＋15×20×（50－m）＋25×20×（50－m）=－100m＋

40000，

??100m?40000?38000由题意：?，解得20≤m≤22。

50?m?28?又∵m是整数，∴m的值为20， 21，22。 ∴共有三种方案，如下表：

A（件） B（件） ２０ ３０ ２１ ２９ ２２ ２８ （3）设总生产成本为W元，加工费为：200m＋300（50－m），

则W=－100m＋40000＋200m＋300（50－m）=－200m＋55000， ∵－200＜0，∴W 随m的增大而减小。

而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低，此时W=－200×22＋

55000=50600（元）。

【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用。

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【分析】（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克

共需资金40

?x+y=40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组?，

2x+3y=105?解方程组即

可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；

（2）设生产A产品m件，生产B产品（50-m）件，先表示出生产这50件产品的材

料费，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到－100m＋40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50－m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案。

（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m＋300（50－m），根据成本=材料费+加工费得到

W关于m的函数关系式，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本。

20. （2012湖北黄石8分）某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对

外销售）.

商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米，从第八层起每上升一层，每平方米的售

价增加40元；

反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.

开发商为购买者 制定了两种购房方案：

方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）. 方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管 理费为a元）

（1）请写出每平方米售价y（元/米）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式；

（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？ （3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9％的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法。

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2

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【答案】解：（1）当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x）×20=20x＋2840 ；

当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000+（x－8）·40=40x＋2680。 ∴y???20x?2840(2?x?8,x为正整数)?40x?2680(8?x?23,x为正整数) 。

（2）由（1）知：

∵当2≤x≤8时，小张首付款为

（20x＋2840）·120·30%=36（20x＋2840）≤36（20·8＋2840）=108000

元＜120000元

∴2～8层可任选。

∵当9≤x≤23时，小张首付款为（40x＋2680）·120·30%=36（40x＋

2680）元

1由36（40x＋2680）≤120000，解得：x≤16。

3∵x为正整数，∴9≤x≤16。

综上所述，小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。

（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：

y1=(40·16＋2680) ·120·92%－60a（元）

若按老王的想法则要交房款为：y2=(40·16＋2680) ·120·91%（元） ∵y1－y2=3984－60a ，

当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4。此时老王想法正确； 当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66.4。此时老王想法不正确。

【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。

【分析】（1）根据题意分别求出当2≤x≤8时，每平方米的售价应为3000－（8－x）×20元，当9≤x≤23时，每平方米的售价应为3000＋（x－8）?40元。

（2）由（1）知：当2≤x≤8时，小张首付款为108000元＜120000元，即可得出2～8层可任选，

当9≤x≤23时，小张首付款为36（40x+2680）≤120000，9≤x≤16，即可得出小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。

（3）分别求出若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为y1按老王的想法则

要交房款为y2，然后根据即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4，y1－y2≤0时，解得a≥66.4，

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即可得出答案。

21. （2012湖北荆门10分） 荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．

（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式； （2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？

【答案】解：（1）批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式

?26x(20?x?40)为y= ? 。

?24x(x>40)（2）设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用

为w元．

??x>0由题意得：?，解得x≥50。

89%?75?x+95%x?93%?75????由题意得w=8（75﹣x）+24x=16x+600．

∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大。∴当x=50时，75﹣x=25，W最小=1400

（元）。

答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，

最低费用为1400元。

【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。

【分析】（1）根据所需总金额y（元）是进货量x与进价的乘积，即可写出函数解析式。

（2）根据总零售量不低于进货量的93%这个不等关系即可得到关于进价x的不等式，

解不等式即可求得x的范围．费用可以表示成x的函数，根据函数的增减性，即可确定费用的最小值。

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