2012浙江省宁波市中考数学试卷解析

2012年浙江省宁波市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

0

1．（2012?宁波）（﹣2）的值为（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 2．（2012?宁波）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．（2012?宁波）一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A． B． C． D．1

4．（2012?宁波）据宁波市统计局年报，去年我市人均生产总值为104485元，104485元用科学记数法表示

为（ ）

6654

A．1.04485×10元 B．0.104485×10元 C．1.04485×10元 D．10.4485×10元 5．（2012?宁波）我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：℃），则这

组数据的极差与众数分别为（ ）

A．2，28 B．3，29 C．2，27 D．3，28 6．（2012?宁波）下列计算正确的是（ ） A．a÷a=a B．（a）=a C．7．（2012?宁波）已知实数x，y满足 A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1

8．（2012?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（ ）

6

2

3

3

2

5

D．

，则x﹣y等于（ ）

A．4 B．2

C．

D．

9．（2012?宁波）如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是（ ）

A．四面体 B．直三棱柱 C．直四棱柱 D．直五棱柱 10．（2012?宁波）如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而

成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6，其中可以看见7个面，其余11个面是看不见的，则看不见的面上的点数总和是（ ）

A．41 B．40 C．39 D．38 11．（2012?宁波）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与

矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（ ）

A．b=

a B．b=

a C．b=

D．b=

a

12．（2012?宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）

A．90 B．100 C．110 D．121

二、填空题（每小题3分，共18分） 13．（2012?宁波）写出一个比4小的正无理数 _________ ． 14．（2012?宁波）分式方程

的解是 _________ ．

15．（2012?宁波）如图是七年级（1）班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小

组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是 _________ 人．

16．（2012?宁波）如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB= _________ 度．

17．（2012?宁波）把二次函数y=（x﹣1）+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 _________ ． 18．（2012?宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD

为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 _________ ．

2

三．解答题（本大题有8题，共66分） 19．（2012?宁波）计算：

．

20．（2012?宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）第5个图形有多少黑色棋子？

（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由． 21．（2012?宁波）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）． （1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；

（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？

22．（2012?宁波）某学校要成立一支由6名女生组成的礼仪队，初三两个班各选6名女生，分别组成甲队

和乙队参加选拔．每位女生的身高统计如图，部分统计量如表：

（1）求甲队身高的中位数；

（2）求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的频率；

（3）如果选拔的标准是身高越整齐越好，那么甲、乙两队中哪一队将被录取？请说明理由．

23．（2012?宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

24．（2012?宁波）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 17吨以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 单价：元/吨 单价：元/吨 a b 6.00 0.80 0.80 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用） 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a、b的值；

（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？

25．（2012?宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，?ABCD中，若AB=1，BC=2，则?ABCD为1阶准菱形．

（1）判断与推理： ①邻边长分别为2和3的平行四边形是 _________ 阶准菱形； ②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把?ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形． （2）操作、探究与计算： ①已知?ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；

②已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出?ABCD是几阶准菱形．

26．（2012?宁波）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；

2

若⊙M的半径为

，求点M的坐标．

②

参考答案与试题解析

一．选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

0

1．（2012?宁波）（﹣2）的值为（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2

考点： 零指数幂。

分析： 根据零指数幂的运算法则求出（﹣2）0的值

0

解答： 解：（﹣2）=1．

故选C．

mmmmm﹣m000

点评： 考查了零指数幂：a0=1（a≠0），由a÷a=1，a÷a=a=a可推出a=1（a≠0），注意：0≠1． 2．（2012?宁波）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）

A．

考点： 专题： 分析： 解答：

B． C． D．

轴对称图形。 常规题型。

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B．

点评： 本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3．（2012?宁波）一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）

A． B． C． D．1

考点： 分析： 解答：

概率公式。

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为1+2=3，白球的数目为2．

解：根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个， 任意摸出1个，摸到白球的概率是：2÷3=．

故选A．

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m

点评：

种结果，那么事件A的概率P（A）=．

4．（2012?宁波）据宁波市统计局年报，去年我市人均生产总值为104485元，104485元用科学记数法表示为（ ）

6654

A．1.04485×10元 B．0.104485×10元 C．1.04485×10元 D．10.4485×10元

考点： 科学记数法—表示较大的数。 专题： 常规题型。

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于104485

有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．

5

解答： 解：104485=1.04485×10．

故选C．

点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键． 5．（2012?宁波）我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：℃），则这组数据的极差与众数分别为（ ）

A．2，28 B．3，29 C．2，27 D．3，28

考点： 极差；众数。 专题： 常规题型。

分析： 根据极差的定义，找出这组数的最大数与最小数，相减即可求出极差；

根据众数的定义，找出这组数中出现次数最多的数即可．

解答： 解：这组数中，最大的数是30，最小的数是27，

所以极差为30﹣27=3，

29出现了3次，出现的次数最多， 所以，众数是29． 故选B．

点评： 本题考查了极差与众数的概念，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据

中的最大值减去最小值．

6．（2012?宁波）下列计算正确的是（ ） A．a÷a=a B．（a）=a C．

考点： 专题： 分析： 解答：

6

2

3

3

2

5

D．

立方根；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。 计算题。

根据同底数幂的除法、幂的乘方、平方根、立方根的定义解答． 解：A、a÷a=a=a≠a，故本选项错误；

323×265

B、（a）=a=a≠a，故本选项错误； C、=5，表示25的算术平方根式5，≠±5，故本选项错误； D、

，故本选项正确．

6

2

6﹣2

4

3

故选D．

点评： 本题考查了立方根、算术平方根、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，是一道基础题．

7．（2012?宁波）已知实数x，y满足

，则x﹣y等于（ ）

A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1

考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方。 专题： 常规题型。

分析： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解答： 解：根据题意得，x﹣2=0，y+1=0，

解得x=2，y=﹣1，

所以，x﹣y=2﹣（﹣1）=2+1=3． 故选A．

点评： 本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式

都等于0列式是解题的关键．

8．（2012?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（ ）

A．4 B．2

C．

D．

考点： 锐角三角函数的定义。 分析：

根据cosB=，可得=，再把AB的长代入可以计算出CB的长． 解答：

解：∵cosB=， ∴=， ∵AB=6， ∴CB=×6=4，

故选：A．

点评： 此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余

弦．

9．（2012?宁波）如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是（ ）

A．四面体 B．直三棱柱 C．直四棱柱 D．直五棱柱

考点： 由三视图判断几何体。

分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答： 解：只有直三棱柱的视图为1个三角形，2个矩形．

故选B．

点评： 本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力． 10．（2012?宁波）如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6，其中可以看见7个面，其余11个面是看不见的，则看不见的面上的点数总和是（ ）

A．41 B．40 C．39 D．38

考点： 专题：正方体相对两个面上的文字。 专题： 常规题型。

分析： 先求出所有面上的点数的总和，然后减去看得见的7个面上的点数的和，然后根据有理数的混合运

算计算即可得解．

解答： 解：三个骰子18个面上的数字的总和为：

3（1+2+3+4+5+6）=3×21=63， 看得见的7个面上的数字的和为： 1+2+3+5+4+6+3=24，

所以，看不见的面上的点数总和是63﹣24=39． 故选C．

点评： 本题考查了正方体相对面上的文字，利用整体思想，把所有的面分成看得见的面与看不见的面两个

部分是解题的关键．

11．（2012?宁波）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（ ）

A．b=a B．b=a C．b= D．b=a

考点： 圆锥的计算。

分析： 首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得

a、b之间的关系即可．

解答： 解：∵半圆的直径为a，

∴半圆的弧长为

∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面， ∴设小圆的半径为r，则：2πr=解得：r=

如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点， 则：AC+AB=BC 即：（）+（）=（故选D．

2

2

2

2

2

2

）整理得：b=a

点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是利用两圆相外切的性质得到两圆的圆心距，从而利用勾股定

理得到a、b之间的关系．

12．（2012?宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）

A．90 B．100 C．110 D．121

考点： 勾股定理的证明。 专题： 常规题型。

分析： 延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边

长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

解答： 解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

所以，四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7，

所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，

因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选C．

点评： 本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．

二．填空题（每小题3分，共18分） 13．（2012?宁波）写出一个比4小的正无理数 π（答案不唯一） ．

考点： 实数大小比较。 专题： 开放型。

分析： 根据实数的大小比较法则计算即可．

解答： 解：此题答案不唯一，举例如：、π等．

故答案为：π（答案不唯一）．

点评： 本题考查了实数的大小比较，解题的关键是理解正无理数这一概念．

14．（2012?宁波）分式方程

考点： 分析： 解答：

的解是 x=8 ．

点评：

解分式方程。

观察可得最简公分母是2（x+4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘2（x+4），得 2（x﹣2）=x+4， 2x﹣4=x+4， 解得x=8．

检验：把x=8代入x（x+4）=96≠0． 故原方程的解为：x=8． 故答案为：x=8． 考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

15．（2012?宁波）如图是七年级（1）班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是 5 人．

考点： 扇形统计图。 专题： 计算题。

分析： 根据参加外语兴趣小组的人数是12人，所占百分比为24%，计算出总人数，再用1减去所有已知

百分比，求出绘画的百分比，再乘以总人数即可解答．

解答： 解：∵参加外语小组的人数是12人，占参加课外兴趣小组人数的24%，

∴参加课外兴趣小组人数的人数共有：÷24%=50（人）， ∴绘画兴趣小组的人数是50×（1﹣14%﹣36%﹣16%﹣24%）=5（人）． 故答案为5．

点评： 本题考查了扇形统计图，从图中找到相关信息是解此类题目的关键． 16．（2012?宁波）如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB= 40 度．

考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质。 分析： 首先利用∠ACD=110°求得∠ACB与∠BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠B的度数，然后利

用平行线的性质求得结论即可．

解答： 解：∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC ∵∠ACD=110° ∴∠ACB=∠BAC=70° ∴∠B=∠40°， ∵AE∥BD， ∴∠EAB=40°， 故答案为40°．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题．

17．（2012?宁波）把二次函数y=（x﹣1）+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 y=﹣（x+1）2

﹣2 ．

考点： 二次函数图象与几何变换。

分析： 根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为

相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可．

2

解答： 解：二次函数y=（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），

绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），

所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=﹣（x+1）﹣2．

2

故答案为：y=﹣（x+1）﹣2．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变换解决函数图象的变换，求出变换后的顶点坐标

是解题的关键．

18．（2012?宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

2

考点： 垂径定理；圆周角定理；解直角三角形。 分析： 由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF最短，连接

OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理

可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．

解答： 解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，

由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×由垂径定理可知EF=2EH=故答案为：．

，

=

，

点评： 本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条

件的最小圆，再解直角三角形．

三、解答题（本大题有8题，共66分）

19．（2012?宁波）计算：．

考点： 分式的加减法。

分析： 首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可． 解答：

解：原式=，

=a﹣2+a+2， =2a．

点评： 此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算． 20．（2012?宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）第5个图形有多少黑色棋子？

（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．

考点： 规律型：图形的变化类。

分析： （1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；

（2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案．

解答： 解：（1）第一个图需棋子6，

第二个图需棋子9， 第三个图需棋子12， 第四个图需棋子15， 第五个图需棋子18， …

第n个图需棋子3（n+1）枚．

答：第5个图形有18颗黑色棋子．

（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，

根据（1）得3（n+1）=2013 解得n=670，

所以第670个图形有2013颗黑色棋子．

点评： 此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 21．（2012?宁波）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）． （1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；

（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？

考点： 专题： 分析：

反比例函数与一次函数的交点问题。 计算题。

（1）设反比例函数解析式为y=，把点A的坐标代入解析式，利用待定系数法求反比例函数解析式即可，把点B的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出a的值，从而得到点B的坐标； （2）写出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．

解答：

解：（1）设反比例函数的解析式为y=， ∵反比例函数图象经过点A（﹣4，﹣2）， ∴﹣2=∴k=8，

∴反比例函数的解析式为y=， ∵B（a，4）在y=的图象上， ∴4=，

∴a=2， ∴点B的坐标为B（2，4）；

（2）根据图象得，当x＞2或﹣4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的关键．

，

点评：

22．（2012?宁波）某学校要成立一支由6名女生组成的礼仪队，初三两个班各选6名女生，分别组成甲队和乙队参加选拔．每位女生的身高统计如图，部分统计量如表：

（1）求甲队身高的中位数；

（2）求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的频率；

（3）如果选拔的标准是身高越整齐越好，那么甲、乙两队中哪一队将被录取？请说明理由．

考点： 条形统计图；频数与频率；加权平均数；中位数；方差；标准差。

分析： （1）根据中位数的定义，把甲队队员身高从高到矮排列，找出位置处于中间的数即可；

（2）根据条形图可得到乙队队员每个人的身高，再用总身高÷队员人数=平均数身高；身高不小于

1.70米的频率=

；

（3）根据标准差的意义可以得到答案；标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

解答： 解：（1）把甲队队员身高从高到矮排列：1.76，1.75，1.75，1.71，1.70，1.65，位置处于中间的两数

为：1.75，1.71，

故甲队身高的中位数是 （2）

（1.70+1.68+1.72+1.70+1.64+1.70）=1.69米，

米；

故乙队身高的平均数是1.69米， 身高不低于1.70米的频率为

（3）∵S乙＜S甲， ∴乙队的身高比较整齐，乙队将被录取．

点评： 此题主要考查了条形图，中位数，平均数，标准差，频率，关键是能正确从条形图中获取信息，掌

握平均数，中位数的定义．

23．（2012?宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

；

考点： 切线的判定；扇形面积的计算。 分析： （1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，

从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线． （2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF求解即可．

解答： 解：（1）连接OE．

∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB ∵BE是△ABC的角平分线 ∴∠OBE=∠EBC

∴∠OEB=∠EBC ∴OE∥BC ∵∠C=90° ∴∠AEO=∠C=90° ∴AC是⊙O的切线；

（2）连接OF．

∵sinA=，∴∠A=30° ∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8， ∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12， ∴BC=AB=6 AC=6

，

∴CE=AC﹣AE=2． ∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形． ∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∴∠EOF=60°． ∴S梯形OECF=（2+4）×2 S扇形EOF=

=

=6

﹣

．

．

∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6

点评： 本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂

直于过切点的半径来判定切线．

24．（2012?宁波）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 17吨以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 单价：元/吨 单价：元/吨 a b 6.00 0.80 0.80 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用） 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a、b的值；

（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？

考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用。

分析： （1）根据等量关系：“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费

91元”可列方程组求解即可．

（2）先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可．

解答： 解：（1）由题意，得

②﹣①，得5（b+0.8）=25，

b=4.2，

把b=4.2代入①，得17（a+0.8）+3×5=66， 解得a=2.2 ∴a=2.2，b=4.2．

（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元， 9200×2%=184元， ∵116＜184， ∴小王家六月份的用水量超过30吨． 设小王家六月份用水量为x吨，

由题意，得17×3+13×5+6.8（x﹣30）≤184， 6.8（x﹣30）≤68， 解得x≤40． ∴小王家六月份最多能用水40吨．

点评： 本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关

系式即可求解．同时考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系．

25．（2012?宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，?ABCD中，若AB=1，BC=2，则?ABCD为1阶准菱形．

（1）判断与推理： ①邻边长分别为2和3的平行四边形是 2 阶准菱形； ②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把?ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形． （2）操作、探究与计算： ①已知?ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值； ②已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出?ABCD是几阶准菱形．

考点： 图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图。

分析： （1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出

答案； ②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案； （2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案； ②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出?ABCD是几阶准菱形．

解答： 解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，

故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形； 故答案为：2； ②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AE=AB， ∴AE=BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴四边形ABFE是菱形；

（2） ①如图所示：

，

②∵a=6b+r，b=5r， ∴a=6×5r+r=31r； 如图所示：

故?ABCD是10阶准菱形．

点评： 此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解

题关键．

26．（2012?宁波）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．

2

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为

，求点M的坐标．

考点： 二次函数综合题。

专题： 代数几何综合题；分类讨论。

分析： （1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，利设出两点法解析式，然后把点C的坐标代入计算求出

a的值，即可得到二次函数解析式；

（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可； （3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标； ②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．

解答： 解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），

将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2）， 解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），

即y=x﹣x﹣2；

（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，

在Rt△POC中，由勾股定理，得x+2=（x+1）， 解得，x=， 即OP=；

（3）①∵△CHM∽△AOC， ∴∠MCH=∠CAO，

（i）如图1，当H在点C下方时， ∵∠MCH=∠CAO，

2

2

2

2

∴CM∥x轴，

∴yM=﹣2， 2∴x﹣x﹣2=﹣2， 解得x1=0（舍去），x2=1， ∴M（1，﹣2），

（ii）如图1，当H在点C上方时， ∵∠MCH=∠CAO， ∴PA=PC，由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点， 设直线CM的解析式为y=kx﹣2， 把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0， 解得k=， ∴y=x﹣2， 由x﹣2=x﹣x﹣2， 解得x1=0（舍去），x2=， 此时y=×﹣2=∴M′（，

②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=在Rt△AOC中，AC=

=

=

，

，

），

，

2

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC， ∴=

，

即=，

解得AD=2， ∴D（1，0）或D（﹣3，0）． 过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图） 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，

22

当﹣2x﹣6=x﹣x﹣2时，即x+x+4=0，方程无实数根， 当﹣2x+2=x﹣x﹣2时，即x+x﹣4=0，解得x1=∴点M的坐标为（

，3+

）或（

2

2

，x2=，3﹣

）．

，

点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形

的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．

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