中国科学院随机过程讲义11

中国科学院随机过程讲义

第三章 Poission过程（Poission信号流）

九、更新过程

（1） 概念及基本性质

定义：设{Xk,k≥1}是独立同分布，取值非负的随机变量，分布函数为F(x)，

n

且F(0)<1。令S0=0,S1=X1,Sn=∑Xk，对 t≥0，记：

k=1

N(t)=sup{n:Sn≤t}

则称{N(t),t≥0}为更新过程。

更新过程是一计数过程，并有：

{N(t)≥n}={Sn≤t}

{N(t)=n}={Sn≤t<Sn+1}={Sn≤t} {Sn+1≤t}

记：Fn(s)为Sn的分布函数，由Sn=∑Xk，易知：

k=1n

F1(x)=F(x)

Fn(x)=∫0Fn 1(x u)dF(u)(n≥2)

证明：由全概率公式有：

x

Fn(x)=P{Sn≤x}=P{Sn 1+Xn≤x}

=∫ ∞P{Sn 1≤x uXn=u}fX(u)du

n

∞

=∫0P{Sn 1≤x u}dF(u)=∫0P{Sn 1≤x u}dF(u)

=∫0Fn 1(x u)dF(u)=(Fn 1 f)(x)=(f Fn 1)(x)

即Fn(x)是F(x)的n重卷积，记作：Fn=Fn 1 F。

另外，记：

xx

∞

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m(t)=E{N(t)}

称m(t)为更新函数。关于更新函数，有以下重要的定理。

定理：对于 t≥0，有：

m(t)=∑Fn(t)

n=1

∞

证明：根据以上的关系式，计算得：

m(t)=∑nP{N(t)=n}=∑nP{N(t)=n}

n=0∞

n=1∞

∞∞

=∑∑P{N(t)=n}=∑∑P{N(t)=n}

n=1k=1∞

k=1n=k

n∞

=∑P{N(t)≥k}=∑P{N(t)≥n}

k=1∞

n=1

∞

=∑P{Sn≤t}

n=1

即有：

m(t)=∑Fn(t)

n=1

∞

推论：若对 t≥0，F(t)<1，则有：

m(t)≤F(t)(1 F(t)) 1

下面是重要的更新方程。

定理： t≥0，m(t)满足下列更新方程：

m(t)=F(t)+∫0m(t u)dF(u)

证明：由m(t)=∑Fn(t)，得：

n=1∞

t

m(t)=F(t)+∑Fn(t)

n=2

∞

将Fn(t)=∫0Fn 1(t u)dF(u)

t

(n≥2) 代入上式，即有所要的结果。

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令：

~(s)=∞e stdm(t) m∫0

∞~

F(s)=∫0e stdF(t)

则有：

~~(s)mF(s)~~(s)= m,F(s)=1+m(s)1 F(s)

∞

dm(t)

（称为更新强度函数），由m(t)=∑Fn(t)，可得： 证明：记：λ(t)=dtn=1

dm(t)∞dFn(t)∞λ(t)==∑=∑fn(t)

dtdtn=1n=1

两边取Laplace变换，有：

∫

∞0

∞ st

~λ(t)edt=m(s)=∑∫0edFn(t)

st

∞

n=1

∞ st~

由F(s)=∫0edF(t)及Fn=Fn 1 F，根据卷积的Laplace变换的性质，有：

∫

因此，我们有：

∞0

~

e stdFn(t)=[F(s)]n

~(s)=m∑∫0

n=1

∞

∞

~

F(s)~ stn

edFn(t)=∑[F(s)]=

n=11 F(s)

∞

（2） 极限性质

令：µ=E{Xn}，由F(0)<1，可知µ>0，下面给出几个极限定理。

+

定理：P lim

Sn

=µ =1

n→∞n

推论：PlimSn=∞=1

n→∞

{}

推论： t≥0，有：

m(t)=∑Fn(t)<∞

n=1

∞

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记：N(∞)=limN(t)，则有：

t→∞

定理：P{N(∞)=∞}=1。 定理：P lim

t→∞

N(t)1

= =1 tµ

证明：由于：

SN(t)≤t<SN(t)+1

SN(t)N(t)

≤

StN(t)+1

<N(t)+1 N(t)N(t)+1N(t)

由以上的定理，两边取极限，我们可以得到：

N(t)1 P lim= =1

µ t→∞t

由此定理，我们称

1

µ

为更新过程的速率。

m(t)1

定理：（基本更新定理）若µ=E{Xn}<∞，则有：lim=。

t→∞tµ

（3） 例子

例1：设X1,X2,L,Xn,L是独立同分布，非负取值的随机变量，且有：

P{Xn=i}=p(1 p)i 1

求P{N(t)=n}。

例2：某更新过程的更新强度为：

i≥1

λ,t≥0,λ>0

λ(t)=

t<0 0,

求该更新过程{N(t),t≥0}的时间间隔Xn的概率密度。

十、过滤的Poission过程

定义：设有一Poission分布的冲激脉冲串经过一线性时不变滤波器，则滤波器输出是一随机过程{ξ(t),t≥0}，即

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ξ(t)=

N(T)i=1

∑h(t S) （*）

i

其中h(t)是滤波器的冲激响应，Si是第i个冲激脉冲出现的时刻，N(T)是[0,T]内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数，它服从Poission分布，即：

(λT)k λT

P{N(T)=k}=e,k=0,1,2,L

k!

λ是单位时间内的平均脉冲数。我们称由（*）代表的随机过程为过滤的Poission

过程。

设Y1,Y2,L,Yk是独立同分布的随机变量，并且Y1~U(0,T)，由上节课的内

容我们知道，在N(T)=k的条件下，S1,S2,L,Sk的分布与Y1,Y2,L,Yk的顺序统计量Y(1),Y(2),L,Y(k)的分布是一样的。

给定关于过滤的Poission过程的一些基本假设：（a）T比h(t)的脉冲持续时

间τa大得多，即T>>τa；（b）h(t)是具有因果性的滤波器响应，即t<Si时，

h(t Si)=0；（c）被研究的时刻t大于h(t)的脉冲持续时间τa，即t>τa。

下面研究过滤的Poission过程的一些统计特性。 （1）ξ(t)的均值

ξ(t)N(T)=k}E{ξ(t)}=∑P{N(T)=k}E{

k=0∞

k

=∑P{N(T)=k}E ∑h(t Si)

k=0 i=1

∞

[]Eh(tS)=∑P{N(T)=k} ∑ i

k=0 i=1

k

=∑P{N(T)=k} ∑E[h(t Yi)] i=1 k=0

∞

∞k

下面求E[h(t Yi)]：利用过滤的Poission过程的基本假设，有：

1T1t1T

E[h(t Yi)]=∫0h(t x)dx=∫t Th(y)dy=∫0h(y)dy

TTT

因此，我们有：

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k E{ξ(t)}=∑P{N(T)=k} ∑E[h(t Yi)]

k=0 i=1∞

kT

=∑P{N(T)=k}∫0h(y)dy

Tk=0

∞

1T(λT)k λT

=∫0h(y)dy ∑k e

Tk!k=01T

=∫0h(y)dy λTT

∞

=λ∫0h(y)dy

（2）ξ(t)的相关函数Rξξ(t,t+τ)

T

Rξξ(t,t+τ)=E{ξ(t)ξ(t+τ)}

N(T)

N(T) =E ∑h(t Si)∑h(t+τ Sj)

j=1 i=1

N(T)N(T)

=E ∑∑h(t Si)h(t+τ Sj) i=1j=1

其中t<T,t+τ<T。

利用条件数学期望，我们有：

kk

Rξξ(t,t+τ)=∑ P{N(T)=k} ESS ∑∑h(t Si)h(t+τ Sj)

k=0 i=1j=1

∞

ij

kk

=∑ P{N(T)=k} ∑∑ESS[h(t Si)h(t+τ Sj)] k=0 i=1j=1 ∞

ij

上面的等式中，当i=j时，一共有k项，有：

ESS[h(t Si)h(t+τ Si)]=

ii

1T

=∫0h(t x)h(t+τ x)dx T1t1T

=∫t Th(y)h(y+τ)dy=∫0h(y)h(y+τ)dyTT

当i≠j时，一共有k k项，利用独立性和假设条件，每项为：

2

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ESS

i

j

1T1T

[h(t Si)h(t+τ Sj)]=∫0h(t x)dx ∫0h(t+τ x)dx

TT

21T

=2∫0h(y)dyT

[]

因此，我们有：

Rξξ(t,t+τ)=∑P{N(T)=k}

k=0

∞

∞

kT

∫h(y)h(y+τ)dy+

T

2k2 kT

+∑P{N(T)=k}2∫0h(y)dy

Tk=0

E{N(T)}TE{[N(T)]2 N(T)}=h(y)h(y+τ)dy+∫0

TT2

[]

[∫h(y)dy]

T0

2

=λ∫0h(y)h(y+τ)dy+λ

其中我们利用了：

T

2

[∫h(y)dy]

T0

2

E{N(T)}=λT，E{[N(T)]2 N(T)}=λT+(λT)2 λT=(λT)2

同时我们得到：

Cξξ(t,t+τ)=λ∫0h(y)h(y+τ)dy=Cξξ(τ)

（3）ξ(t)的特征函数

T

Φξ(t)(v)=E{e

∞

jvξ(t)

}=∑P{N(T)=k}E{e

k=0

∞

jvξ(t)

N(T)=k}

k

=∑P{N(T)=k}E expjv∑h(t Si)

i=1 k=0 k

=∑P{N(T)=k}E expjv∑h(t Y(i))

i=1 k=0

∞

而：

k k E expjv∑h(t Y(i)) =E expjv∑h(t Yi)

i=1 i=1 1T

=∏E{exp[jvh(t Yi)]}= ∫0exp[jvh(t x)]dx i=1 T

k

k

1 = ∫t Texp[jvh(y)]dy T

t

k

代入计算，有：

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1t

Φξ(t)(v)=∑P{N(T)=k} ∫t Texp[jvh(y)]dy

k=0 T

∞

k

(λT)k λT

=∑e

k!k=0

∞

=e λTexpλ∫t Texp[jvh(y)]dy=expλ∫t T[exp(jvh(y)) 1]dy

t

t

{

1t

∫t Texp[jvh(y)]dy T

k

}{}

其持续时间τa<<T，同时认为t>τa，因此，在(t T,0)由于h(t)具有因果性，

和(t,T)内，有h(t)=0。因此我们得到：

Φξ(t)(v)=exp

{λ∫[exp(jvh(y)) 1]dy} （**）

T0

注意：在给定的假设条件下，随机过程ξ(t)的特征函数与t无关，也就是说

ξ(t)的一维概率密度与时间t无关，这样的随机过程称为一级严平稳过程，同理

可以证明，任取n∈N,0<t1<t2<L<tn

ξ(t1),ξ(t2),L,ξ(tn)的联合概率密

度仅与时间差t2 t1,t3 t2,L,tn tn 1有关，具有这样性质的随机过程称为严平稳过程，过滤的Poission过程就是严平稳过程。

另外，利用（**）式，我们有：

dΦξ(t)dv

v=0

=jλ∫0h(y)dy

T

由特征函数与随机变量数字特征的关系，我们有：

E{ξ(t)}=λ∫0h(y)dy

D{ξ(t)}=Var{ξ(t)}=λ∫0[h(y)]2dy

这些结果与（1）、（2）中所获得的结果是一致的。

（4） 当λ→∞时，特征函数的极限形式 我们记：

T

T

α=∫0h(y)dy,β=∫0[h(y)]2dy

2

TT

则有：

E{ξ(t)}=λα,Var{ξ(t)}=λβ2

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作随机变量标准化变换，令：

η(t)=

则有：

ξ(t) λα

E{η(t)}=0,Var{η(t)}=1

下面求随机过程{η(t),t≥0}的特征函数。

Φη(t)(v)=E{ejvη(t)}

ξ(t) λα =E exp jv

v

=exp jv ξ(t) E exp j

β

v T

=exp jv λexpexpjh(y)1dy ∫0 β

以上用到了特征函数的性质。两边求对数，我们有：

T vjh(y) +λ∫0 exp 1 dylnΦη(t)(v)= jv β T jvv2jv323

h(y) hyhydyL= jv +λ∫0 +()() 23/23

β2λβ6λβ =

jvβ

+

jvβ

jv36v2

∫0h(y)dy 2β2

TT

2

hydy [()]∫0

T

3

hydy+L[()]3∫0

Tv2jv3 1 3

οhydy[()]= + 3∫0

26

上式中令λ→∞，我们得到：

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v2

limlnΦη(t)(v)= λ→∞

2

v2

limΦη(t)(v)=exp

λ→∞

2

由特征函数与分布函数唯一确定性，我们知道当λ→∞时，η(t)是服从标准正态分布的随机变量。因此可知ξ(t)也是服从正态分布的随机变量。即单位时间内出现的平均脉冲数无限增大时，ξ(t)的极限分布是正态分布，这符合中心极限定理。

习题：

教材P237－238：28、30。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jj8e.html