13.1.2线段的垂直平分线的性质同步练习题(三)

13.1.2线段的垂直平分线的性质（三） 知识点：

1.线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

2.线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在线段的额垂直平分线上

3.尺规作图：做线段的垂直平分线

4.定理：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且它们到三角形三个顶点的距 离相等．

同步练习：

一、选择题（共8小题）

1、（2011 绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）

A、7 B、14 C、17 D、20

02、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若∠A=30,AC=9，

则AE的值是（ ）

A、6 B、4 C、3 D、2

3、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）

A、6 B、5 C、4 D、3

4、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）

A、80° B、70° C、60° D、50°

5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求； （乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）

A、两人都正确 B、两人都错误

C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确

6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）

A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B

7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）

A、△ABC的三条中线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点

8、如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）

A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB

C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB

二、填空题（共12小题）

9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．

10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=

度．

11、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，

则∠CBD的度数为 _________ °．

12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若

△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ．

13、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为

E，连接CP，则∠CPB=度．

14、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC= 度．

15、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，

连接EC，则∠AEC的度数是 _________ 度．

16、如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片

剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形．

17已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于 _________ ．

18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号 _________ （把你认为正确结论的序号都填上）

19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，

则△ABD的周长为 _________ cm．

20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数

是 _________ °．

三、解答题（共6小题）

21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接

EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分

AB，求∠B的度数．

23、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延

长AE交BC的延长线于点F．

求证：（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

24、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．

求证：EF=2DE．

25、如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C、

Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC．那么：

（1）∠ADC= _________ 度；

（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC的面积等于 _________ （面

积单位）．

26、如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于

点E，求△BEC的周长．

参考答案：

1-8 CCBCD BCA

9. 6

10. 50°

11. 45 °

12. 6

13. 72 °

14. 60 °

15. 115 °

16. 4（因还有一个凹四边形，所以填5也对）

17. 8

18.①③

19. 13

20. 15°

21.解：（1）∵DE垂直平分AC，

∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，

∴∠BEC=∠B，

∴BC=EC=5．

答：（1）∠ECD的度数是36°；

（2）BC长是5．

22.解：∵DE垂直平分AB，

∴∠DAE=∠B，

∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，

∴∠DAE=错误！未找到引用源。（90°﹣∠B）=∠B，

∴3∠B=90°，

∴∠B=30°．

答：若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．

23.解：（1）∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），

∵E是CD的中点（已知），

∴DE=EF（中点的定义）．

∵在△ADE与△FCE中，∠ADC=∠ECF，DE=EF，∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴FC=AD（全等三角形的性质）．

（2）∵BE⊥AE（已知），

∴△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），

∴BE是线段AF的垂直平分线，

∴AB=BF=BC+CF，

∵AD=CF（已证），

∴AB=BC+AD（等量代换）．

24.解：（1）直线l即为所求． （1分） 作图正确． （3分）

（2）证明：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∠ABC=60°．

又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，（5分）

∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°，

∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°．

又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED=EC． （8分） 在Rt△ECF中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，

∴EF=2EC，∴EF=2ED． （10分）

解：

（1）△ABC，△AQB中，AC=AQ，BC=BQ，AB=AB，△ABC≌△ABQ，∠CAB=∠QAB， 根据等腰三角形性质，我们可知：

AD是等腰△ACQ底边的高、中线和顶角的平分线．

∴∠ADC=90°．

（2）AC=AB，∠ACB=60°，

∴△ABC是等边三角形．

CD⊥AB，

∴∠CAD=∠BCD=30°．

CD=BC sin60°=2错误！未找到引用源。．

那么S△ABC=AB CD÷2=4×2错误！未找到引用源。÷2=4错误！未找到引用源。．

26.解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴BE=AE，

∴BE+EC=AE+EC=AC．

∴△BEC的周长=BE+EC+BC=AC+BC=23．

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