平板波导理论

第一章 平板波导的射线理论

光束在介质中传输时，由于介质的吸收和散射而引起损耗，由于绕射而引起发散，这些情况都会导致光束中心部分的强度不断地衰减。因此，有必要设计制作某种器件，它能够引导光束的传播，从而使光束的能量在横的方向上受到限制，并使损耗和噪声降到最小，这种器件通常称为光波导，简称波导。结构最简单的波导是由三层均匀介质组成的，中间的介质层称为波导层或芯层，芯两侧的介质层称为包层。芯层的介电常数比芯两侧包层的介电常数稍高，使得光束能够集中在芯层中传输，因而起到导波的作用。这种波导的介电常数分布是陡变的，也称为阶梯变化的，常称这种波导为平板波导。

对光波导特性的分析，应用两种理论，即射线光学理论和波动光学理论。射线光学理论的优点是对平板波导的分析过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。缺点是对于结构复杂的多层波导射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的结果。一般而言，若想全面、正确地分析各种结构的光波导的模式特性，还必须采用波动理论。

光射线，简称射线或光线，可以这样理解：一条很细很细的光束，它的轴线就是光射线。它的方向沿着光能流的方向。光线与光束是不同的，光线是无限细的，光束则有一定的尺寸。光线在均匀介质中的传输轨迹是一条直线，在非均匀介质中的传输轨迹是一条曲直线。用射线去代表光能量传输路线的方法称为射线光学。射线光学是忽略光波长的光学，亦即射线理论是光波长趋于零的波动理论。

本章将应用射线光学的基本理论对三层平板波导加以分析，目的是对波导的导波原理和与之相关的某些物理概念为读者给出直观的物理意义和清晰的理解，并为以后运用波动光学理论分析各种结构光波导的模式特性打好基础。

1.1 模式类型

我们把波导中所能传输的电磁场型称为波导的模式，在平板波导中存在两种基本模式，一种称为TE模，另一种称为TM模。两种模式用光的电场和磁场的偏振方向来定

1

义比较直观。选择电场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时电场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横电模，英文为Transverse Electric Mode，取其字头称为TE模。选择磁场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时磁场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横磁模，英文为Transverse Magnetic Mode，取其字头称为TM模。根据模式的导波性或辐射性，可进一步把模式分为导引模式和辐射模式，前者简称导模，而后者简称辐射模。

现来研究三层平板波导，其横截面和相对介电常数分布如图1-1所示，光沿垂直纸面的z方向传输，图中b为波导芯厚度，?1、?2、?3分别为芯层、下包层和上包层的相

2??n11对介电常数，相应的折射率分别为n1、n2、n3，它们与相对介电常数的关系为、22?2?n2、?3?n3。为了分析方便，常令?1??2??3，或n1?n2?n3。当上下包层为同

一种介质时，?2??3，此时为对称三层波导，当上下包层为两种不同的介质时，?2??3，此时为非对称三层波导。令光沿z方向传输，光在y方向不受限制。下面我们对非对称三层波导进行分析，即?1??2??3、n1?n2?n3。对于对称三层波导，只要在分析结果中令n2?n3即可。

xx上 包 层810?3 = n32b64导芯波 b?1 = n1202y?22 = n22406?2?3810下 0包 层0?1?(x)

图1-1 三层平板波导的横截面图及相对介电常数分布，?1 > ?2 ? ?3，当?2 = ?3时为对

称三层平板波导，当?2 ? ?3时为非对称三层平板波导。

1.1.1 折射定律和全反射

2

光在波导中传输时，从射线的角度来看，要不断地在波导的两个界面上发生反射和折射，如图1-2所示。反射光的轨迹在芯层中是一个锯齿波。令入射角为?1，在下界面的折射角为?2，在上界面的折射角为?3。当入射角?1较小时光在上下两个界面上都不发生全反射，此时光在上下两个界面上的折射满足折射定律

n1sin?1?n2sin?2 n1sin?1?n3sin?3 (1.1-1)

即有

n1sin?1?n2sin?2?n3sin?3 (1.1-2)

由式(1.1-1)可得

sin?1?n2sin?2n1si?n1?

n3si?n3n1 (1.1-3)

因为n1?n2?n3，由式(1.1-2)可判断出?1??2??3。当入射角?1增大时，折射角为?2 和?3也随之增大。当?3增大到90?时，光在上界面上发生全反射。如果入射角?1继续增大，使得?2也增大到90?时，光在下界面上也要发生全反射。光发生全反射时的入射角称为临界角。由式(1.1-3)可得到光在下、上两个界面上发生全反射时的临界角?12、?13分别为

?12?arcsinn2n1?13?arcsin

n3n1 (1.1-4)

因为n2?n3，所以?12??13。 1.1.2 空间辐射模

当入射角较小时，使得光在上下两个界面上都不发生全反射，如图1-2所示。在这种情况下，光在传输过程中不断地有折射光进入上下包层，即光能量不断地从上下包层中辐射出去，这种模式称为空间辐射模。因此若产生空间辐射模，入射角?1必须满足下述条件

?1??13?arcsin由上式还可得到

n3 (1.1-5) n1 3

n1sin?1?n3 (1.1-6)

我们定义N?n1sin?1为模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，产生空间辐射模的条件又可写为

N?n3 (1.1-7)

令k0?2??0，称k0为为真空中波数，?0真空中光波长，并定义??k0N为模式的传播常数，它是波矢k的z分量，即kz??。引入传播常数的概念后，上式两端同乘以k0，因此产生空间辐射模的条件又可写为

??k0N?k0n3 (1.1-8)

我们把产生空间辐射模的条件合写如下

?1??13?arcsinn3n1?1?n3 ??k0N?k0n3 (1.1-9) N?n1sin传播常数?的单位通常采用cm-1或mm-1。

n3?3?1108n1642?1?20246810n20 图1-2 空间辐射模

1.1.3 衬底辐射模

如果入射角?1增大到使光在上界面发生全反射但在下界面还没发生全反射，如图1-3所示。此时光在传输过程中不断地有折射光进入下包层，即光能量不断地从下包层(有时也为衬底)中辐射出去，这种模式称为衬底辐射模。因此若产生衬底辐射模，入射角?1必须满足下述条件

4

arcsinn3n??13??1??12?arcsin2n1n1 (1.1-10)

由上式还可把产生衬底辐射模的条件写为

n3?N?n1sin?1?n2 (1.1-11)

上式两端同乘以真空中波数k0，产生空间辐射模的条件又可写为

k0n3???k0N?k0n2 (1.1-12)

n3108?1n1642?1?20246810n20 图1-3 衬底辐射模

1.1.4 导模

如果入射角?1增大到使光在上下两个界面上都发生全反射时，此时上下包层中不再有折射光，如图1-4所示。在这种情况下，光能量不再向包层中辐射，光被限制在波导芯中以锯齿波的形式沿z方向传输，这种模式称为导模。因此若产生导模，入射角?1必须满足下述条件

arcsinn2??12??1n1 (1.1-13)

由上式还可把产生导模的条件写为

n2?N?n1sin?1?n1 (1.1-14)

上式两端同乘以真空中波数k0，产生空间辐射模的条件又可写为

k0n2???k0N?k0n1 (1.1-15)

5

beff?b?x2?x3?b?1?2?1?3 (1.3-6)

1.3.2 TM模的穿透深度和有效波导厚度

式(1.2-15)代入式(1.3-2)并利用式(1.2-13)和(1.2-14)可得

2d?12n1?2?d1dT21d??? ?arctanT2??z2???222?d?d?1?T2d?1?T2d??n2?1???d?2n12d?1?1?? ?2???2?22?1d??n21?T2?1?d????d1d2222212212????kn??kn??102201? 222?d?n21?T2?1?d????1?2?n12??1?2?n12???????2???22?2??? 42???n21?T2?1??2?1?n2?n?1??1?12??12?242??n2?1??22222k0n1sin?1n12n2?12??2n1n2?12??2? ??42424242?2n2?1?n1?2?1?2n2?1?n1?2k0n1cos?1?2n1????????????????即有

z2?同理有

222n1n2?12??2422?2n2?1?n14?222n12n3?12??3????????22?12??2T2tan?1?tan?1 (1.3-7)

?2?1?21?T22??z3?422?3n3?1?n14?3??22?12??3T3tan?1?tan?1 (1.3-8) 2?3?1?31?T3??式(1.3-7)、(1.3-8)代入式(1.3-1)则可得到TM模在上下两个界面处的的穿透深度分别为

22222n1n3?12??3?12??3T3 (1.3-9a) x3??42422?3n3?1?n1?3?3?1?31?T3??x2?222n1n2?12??2422?2n2?1?n14?2??????22?12??2T2 (1.3-9b) ?2?2?1?21?T2??因而TM模的有效波导厚度则为

222222n1n3?12??3n1n2?12??2 (1.3-10a) beff?b?x2?x3?b??422422?2n2?1?n14?2?3n3?1?n14?3????????或

beff2222?12??3T3?12??2T2 (1.3-10b) ?b?x2?x3?b??22?2?1?21?T2?3?1?31?T3???? 11

§1.4 特征方程

导模的传播常数? 满足条件

k0n2???k0N?k0n1 (1.4-1)

但并非满足上式的所有? 的值都能形成导模。在波导中传输的光并非是一条孤立的光线，而是一束平行光线。这些平行光线在波导的两个界面之间多次全反射，只有在一个完整的锯齿波过程中相位相差2?的整数倍的那些光线才能产生干涉而形成导模。如图1-6所示，这一平行光束中的一条光线在上下界面处发生两次全反射时的光程，与另一条光线在这期间是不同的。令光线1在上下界面的A、B两点发生全反射，通过A、B两点的等相面为AC和BD。在D点发生全反射的入射光线为光线2，则光线1和光线2在两个等相面AC和BD间的几何光程差为AB?ED，相应的相位差为

n3108AD?1光线1n1?16420bEF0b光线2n2C246G8B10 图1-6 光程差的确定

2?AB?ED??2?n1AB?ED?0?k0n1?AB?ED? (1.4-2)

式中???0n1为波导芯介质中的光波长，?0为真空中光波长。另外光在上下两个界面处发生全反射的相移为?2?13和?2?12，因此总相移应等于2?的整数倍，即有

k0n1?AB?ED??2?12?2?13?2m? (m = 0, 1, 2, …) (1.4-3)

由图中的几何关系可得

bAB? (1.4-4)

cos?1ED?ADsin?1??FB?GB?sin?1??btan?1?bcot?1?sin?1

?b?tan?1sin?1?cos?1? (1.4-5)

由此得到

AB?ED?2bcos?1 (1.4-6)

上式代入式(1.4-3)有

12

2bk0n1cos?1?2m??2?12?2?13 (1.4-7)

又因k0n1cos?1??1，所以有

2?1b?2m??2?12?2?13 (1.4-8)

式中2?1b是一条光线在两个界面之间往返一次因光程而引起的x方向的横向相移。把

(1.2-9)或(1.2-15)、(1.2-16)代入上式中则可得到TE和TM导2?12和2?13的表达式(1.2-8)、

模的特征方程为

?1b?m??arctanT2?arctanT3 (m = 0, 1, 2, …) (1.4-9)

式中m称为模式阶数，T2、T3定义为

22T2?n1n2222 ?2??303式中，对于TE导模s = 0，对于TM导模s = 1。

导模特征方程(1.4-9)是传播常数?的超越方程，由它不可能得到?的解析解，只能得到?的数值解。又因为这一方程中含的整数m，取值不连续，因而?的取值也不连续，取分立值，即导模的传播常数组成分立谱。

?1???k???s220n1??2212?22?1? T3?n1n3??22212?k02????? (1.4-10)

n? ?????kn? (1.4-11)

s3112§1.5 导模的传输与截止

导模的有效折射率N的变化范围为n2?N?n1sin?1?n1，在此范围内导模能够在

波导中进行传输。当导模的有效折射率N等于芯两侧包层折射率n2时，导模不复存在，

22称为导模截止。此时把N = n2代入式(1.4-11)中得到?1?k0n1?n222?3?k0n2?n3??12，进而由式(1.4-10)得到T2 = 0。下面分别讨论对称三层波导和非对称三层波导中导模的传输与截止情况。

1.5.1 对称三层波导

令n2 = n3代入式(1.4-9)中即可得到对称三层波导TE和TM导模的特征方程为 ?1b?m??2arctanT2 (m = 0, 1, 2, …) (1.5-1)

应用特征方程(1.5-1)进行数值计算，图1-7显示了GaAs/Al0.07Ga0.93As对称三层波导TE和TM导模的传输和截止情况，图中给出了波导芯厚度b与模有效折射率N的关系曲线。取真空中光波长?0 = 1.15 ?m，GaAs波导芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包层的折射率n2 = 3.43。此时由于芯层与上下包层之间的相对折射率差较小，即

n?n23.45?3.43?n?1??0.6%，因此TE和TM的各阶导模的有效折射率之值相差很

n13.45小，相应的曲线相互重合，TE和TM模发生简并。所谓简并，是指同一个有效折射率的

值对应两个或两个以上的模式。

??，?2?0，

12 13

3.45001010 有效折射率 Nm = 03.4451233.4354563.43002468100波 导芯厚 度 b/?m图1-7 对称三层波导TE和TM导模的传输曲线。取?0 = 1.15 ?m，n1 = 3.45，n2 = n3 = 3.43，特征方程

(1.5-1)的数值结果。

3.440

当给定波导芯厚度b时，我们可以判断出波导中能够传输的导模的数量。当第m阶导模截止时，把T2 = 0代入特征方程(1.5-1)可得

2?1bk0n12?n2m??????12b?222n1?n2??12b?0 (1.5-2)

从上式可以看出，波导中所能传输的导模数量与芯厚度或折射率差成正比，芯厚度或折

射率差越大，则波导中所能传输的导模数量越多。当m不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为mmax = int(m)，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = Int(m)+1。当m恰为整数时， mmax = m?1，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = m。

把T2 = 0代入特征方程(1.5-1)，得到第m阶导模截止时的波导芯厚度为

m?0m??m?m? (1.5-3) bcut????1kn2?n2122n2?n21201212因此第m阶导模的截止条件为

m?0m??m? (1.5-4) b?bcut??22122212k0n1?n22n1?n2上式说明当芯厚度b等于或小于第m阶导模的截止芯厚度时，第m阶导模截止。由上式可得到相邻两个导模截止点的间距为

?????????m?1??m?bcut?bcut??2k0n1??212n2??2??0?n12212n2? (1.5-5)

14

即各阶导模的截止点等间距排列。对于0阶导模，称为基模，m = 0，由式(1.5-2)知其截

?0?止芯厚度为bcut?0，这意味着对于任何芯厚度的对称波导，TE和TM基模总能在其中传输，永不截止。在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶导模截止，只传输TE或TM基模，这种波导称为单模波导。因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度不能大于1阶导模的截止芯厚度，即

?2?从上式可以看出，为了保证波导中进行单模传输，波导芯与其两侧包层之间的折射率差越大，波导芯的厚度就应越小。因此为了保证波导中进行单模传输，就应适当减小波导芯厚度或折射率差，使芯厚度小于1阶模的截止芯厚度。上面讨论的各阶导模的截止情况与图1-7显示的情况完全相符。

1.5.2 非对称三层波导

非对称三层波导TE和TM导模的特征方程为

?1b?m??arctanT2?arctanT3 (m = 0, 1, 2, …) (1.5-7) 应用特征方程(1.5-7)进行数值计算，图1-8显示了GaAs/Al0.07Ga0.93As非对称三层波导TE和TM导模的传输和截止情况，图中给出了波导芯厚度b与模有效折射率N的关系曲线。取真空中光波长?0 = 1.15 ?m，GaAs波导芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As下包层的折射率n2 = 3.43，上包层为空气，其有效折射率为n3 = 1。此时由于芯层与上包层空气之间

n?n33.45?1??71%，从图中可以看出TE和TM各的相对折射率差较大，即?n?1n13.45阶模式有效折射率之值有了差别，相应的曲线也已经分开，TE和TM模的简并被消除。

3.45001010?1?b?bcut??2k0n1?212n2????02n1212n2? (1.5-6)

有效折射率 Nm = 03.44513.440233.435453.43002468100波 导芯厚 度 b/?m图1-8 非对称三层波导TE(实线)和TM导模(虚线)的传输曲线。取?0 = 1.15 ?m， n1 = 3.45，n2 = 3.43，

n3 = 1，特征方程(1.5-7)的数值结果。

15

当给定波导芯厚度b时，我们可以判断出波导中能够传输的导模的数量。当第m阶导模截止时，把T2 = 0代入特征方程(1.5-7)

2?1b?arctanT3k0n12?n2b?arctanT3 (1.5-8) m??????12把T2 = 0代入特征方程(1.5-7)中得到第m阶导模的截止波导芯厚度为

m??arctanT3?m?m??arctanT3 (1.5-9) bcut??1222?1k0n1?n2式中

??22??1??3??1?n2?n3T3?? (1.5-10) ???????????2212?3?1?3?n1?n2对于TE导模s = 0，对于TM导模s = 1。因此第m阶导模的截止条件为

m??arctanT3?m?m??arctanT3 (1.5-11) b?bcut??2212?1k0n1?n2由上式可得到相邻两个导模截止点的间距为

ss????12???2?即各阶导模的截止点也是等间距排列。对于0阶导模即基模，m = 0，由式(1.5-11)知其截止芯厚度为

arctanT3?0?bcut??0 (1.5-13)

2212k0n1?n2这一点与对称波导不同。对于对称波导，其0阶导模的截止芯厚度为零，这意味着对于任何芯厚度的对称波导，TE0和TM0基模总能在其中传输，永不截止。而对于非对称波导，其0阶导模的截止芯厚度不为零。因此在波导器件的设计和制作中，波导芯厚度应大于0阶导模的截止芯厚度，否则波导将不能导波。当我们设计单模波导时，其芯厚度要大于0阶导模的截止芯厚度同时要小于等于1阶导模的截止芯厚度，即

arctanT3??arctanT3?0??1? (1.5-14) ?b?b?b?cutcut22122212k0n1?n2k0n1?n2对于许多实际应用的波导如半导体波导，其芯层与下包层的折射率相差很小，而其芯层与上包层的折射率相差较大。对于这种n1?n2??n3的情况，由式(1.5-10)可知T3

?m?1??m?bcut?bcut??k0n12?212n2????0n12212n2? (1.5-12)

??????很大，因此可近似认为arctanT3?2?1b1k0n12?n2m????2??2，此时，确定波导中模式数量的公式(1.5-8)简化为

??12b22?n212n1??2?0??12b?1 (1.5-15) 2 16

确定导模的截止芯厚度的公式(1.5-9) 简化为

?2m?1????2m?1??0 (1.5-16) ?m??2m?1??bcut??12122?12kn2?n24n2?n20?12??12?单模传输的条件式(1.5-14)简化为

?22k0n1??上面讨论的各阶导模的截止情况也与图1-8显示的情况完全相符。

?212n2??0??1??bcut?b?bcut?3?22k0n1?212n2? (1.5-16)

§1.6 远截止近似法

波导模式的特征方程是超越方程，不可能从中得到传播常数的解析表达式。如果当波导芯厚度较大时，可用远截止近似法求出导模传播常数的近似表达式。下面以非对称三层平板波导为例加以说明。

非对称三层平板波导TE和TM模的特征方程为

?1b?m??arctanT2?arctanT3 (m = 0, 1, 2, …) (1.6-1)

为了运算方便，可把T2和T3的表达式改写为

Tj??式中

j??1?cj?1 cj??22nn??j1??TE? (1.6-2) ?TM??1?k0n12?N2??12 ?j?k0N2?n2j??12 (j = 2, 3) (1.6-3)

21212?n2假设导模处于远离截止状态，引入量

??此时导模有效折射率N趋于n1，由上式定义的P可以看成是小量，而P2为二阶小量可略去。利用式(1.6-3)和(1.6-4)做下述变换

2?1b?k0n1?N2?nP??n2121?N2212n2??12 V?k0n12?212?n2b

??n Q??n212n3??12 (1.6-4)

??12b?PV (1.6-5)

212n2212T2??2N??c2?1cn2?N21?2?1?P?212????2?n12?N2?1?n12?n2???c2?n12?N2?????12

c2P?1 (1.6-6) c2P2?3N2?n3T3??c3?1cn2?N231???12?122?n12?N21?n12?n3??c3?n12?N2?????????12

17

1 (1.6-7)

c3QPc3QP利用公式arctan???2?arctan?1??，特征方程(1.6-1)变为

11?1b??m?1???arctan?arctan (m = 0, 1, 2, …) (1.6-8)

T2T3式(1.6-5)、(1.6-6)、(1.6-7)代入上式得到

PV??m?1???arctan?c2P??arctan?c3QP? (1.6-9)

因为c2,c3,Q?1，所以c2P,c3QP??1为小量，因此上式可近似为

?PV??m?1???c2P?c3QP (1.6-10)

由此得到

?m?1?? (1.6-11) P?V?c2?c3Q上式与式(1.6-4)中的第一式联立求解则可得到TE和TM导模的有效折射率N和传播常数?满足的近似表达式分别为

22n1?1?QP??22122? (1.6-12) ?m?1?2?2?n12?n2N???V?c2?c3Q?222? (1.6-13) ?m?1?2?2?n12?n2k022222??k0N?k0n1??V?c2?c3Q?2式中c2、c3、V、Q由式(1.6-2)和(1.6-4)规定。利用式(1.6-4)中的第二、三式还可把上式写成下述形式

N?2n12??m?1?2?2?kb?cn2?21??0?22k0n1?2?12n2??c3n12??2?12?n3??2 (1.6-14)

?22?12?n3??kb??????0?对于对称三层波导，在式(1.6-14)、(1.6-15)中令n2?n3、c2?c3即可。

当给定波导芯厚度b和介电常数分布时，可直接由上式计算出三层平板波导TE和TM导模的有效折射率N和传播常数?的值。图1-9 显示了应用远截止近似法与特征方程对TE 导模计算结果的对比，选择GaAs/Al0.07Ga0.93As对称三层平板波导，取真空中光波长?0 = 1.15 ?m，GaAs波导芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包层的折射率n2 = n3 = 3.43。图中可以看出，由式(1.6-13)得到的有效折射率N的近似解，在模临近截止的区域内与特征方程(1.6-1)的数值解之间存在较大的误差。但当芯厚度b增大时，此误差将迅速地减小，使得在导模远离截止的广大区域内，能够用此方法得到导模有效折射率N和传播常数?比较精确的计算结果。

c2n12c3n12??22k0N2?2?m?1??2k02?2?12n2??? (1.6-15)

18

3.45001010 有效折射率 Nm = 03.4451233.4354563.43002468100波 导芯厚 度 b/?m图1-9 对称三层平板波导的TE导模有效折射率N计算结果的对比，取?0 = 1.15 ?m，n1 = 3.45，n2 = n3

=3.43。实线：远截止近似法式(1.6-13)的结果；虚线：特征方程(1.6-1)的数值结果。

3.440

§1.7 近截止近似法

当导模临近截止时，应用远截止近似法求出导模传播常数的值与特征方程的数值解

之间存在较大的误差。这时我们可以应用下面给出的近截止近似法求出在邻近截止的区域内导模传播常数的近似值。下面以对称三层平板波导为例加以说明。

对称三层平板波导TE和TM模的特征方程为

?1b?m??2arctanT2 (m = 0, 1, 2, …) (1.7-1)

为了运算方便，可把T2的表达式改写为

T2?c2?2式中

?1??1 c2??22??n1n2?TE? (1.7-2) ?TM?2 ?2?k0N2?n2假设导模处于临近截止状态，引入量

?1?k0n12?N2?2?12??12 (1.7-3)

?此时导模有效折射率N趋于n2，由上式定义的P可以看成是小量。利用式(1.7-3)和(1.7-4)做下述变换

?NP??n2?n221212n2??1222 V?k0n1?n2??12b (1.7-4)

19

?1b?k0n12?N?1?P2?212?22?n12?n2??N2?n2b?k0??22n?n12???????n12212?n2?12b

??12V (1.7-5)

2??N2?n2c2P?c (1.7-6) ?2?122222?1221?P?n1?n2?N?n2?把式(1.7-5)和(1.7-6)代入式(1.7-1)得到

12c2P (1.7-7) 1?P2V?m??2arctan2121?P因为P??1为小量，因此上式可近似为

122c2P (1.7-8) 1?P2V?m??2121?P即有

?P2?2212?1?PV?m?1?P?2c2P?m???1?2??2c2P (1.7-9)

??由此得到P满足的方程

?2V?m??P2?4c2P?2?V?m???0 (1.7-10)

解之得到

2?2N2?n2T2?c2?c2?1n12?N2????1212??????????????????2?2c2?4c2?2?2V?m???V?m?? (1.7-11) P?2V?m?上式与式(1.7-4)中的第一式联立求解则可得到TE和TM导模的有效折射率N和传播常数?满足的近似表达式为

??12122???????2c?4c?22V?m?V?m???222222N?n2?n1?n2?? (1.7-12)

2V?m?????????2122???????2c?4c?22V?m?V?m??22222222?22??k0N?k0n2?k0n1?n2??

2V?m?????(1.7-13)

式中c2、V分别由式(1.7-2)和(1.7-4)规定。

当给定波导芯厚度b和介电常数分布时，可直接由上面公式计算出对称三层平板波导TE和TM导模的有效折射率N和传播常数?的值。图1-10 显示了应用近截止近似法与特征方程对TE导模计算结果的对比，选择GaAs/Al0.07Ga0.93As对称三层平板波导，取真空中光波长?0 = 1.15 ?m，GaAs波导芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包层的折射率n2 = 3.43。图中可以看出，由式(1.7-12)得到的有效折射率N的近似解，在模临近截

????2 20

止的区域内与特征方程(1.6-1)的数值解之间吻合得很好。但当导模远离截止时，二者之间的误差变大。

3.440 有效折射率 N3.438m = 03.436123.434345602468103.4323.430波 导芯厚 度 b/?m图1-10 对称三层平板波导的TE导模有效折射率N计算结果的对比，取?0 = 1.15 ?m，n1 = 3.45，n2 =

3.43。实线：近截止近似法式(1.7-12)的结果；虚线：特征方程(1.7-1)的数值结果。

21

止的区域内与特征方程(1.6-1)的数值解之间吻合得很好。但当导模远离截止时，二者之间的误差变大。

3.440 有效折射率 N3.438m = 03.436123.434345602468103.4323.430波 导芯厚 度 b/?m图1-10 对称三层平板波导的TE导模有效折射率N计算结果的对比，取?0 = 1.15 ?m，n1 = 3.45，n2 =

3.43。实线：近截止近似法式(1.7-12)的结果；虚线：特征方程(1.7-1)的数值结果。

21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jj6h.html