抛物线焦点弦的一个性质及其证明

关于抛物线焦点弦的一个性质及其证明

江苏省盱眙县马坝高级中学（211751） 赵建宏

p性质：设线段AB是过抛物线 y2?2px(p?0)的焦点F(,0) 的弦，记

2112AF?m,BF?n, 则??。

mnp本文给出下列九种证法：

p 的垂线AM、BN，再作2AP?x轴，BQ?x轴，垂足分别为M、N、P、Q。

证法一：如图一,过A、B分别作准线x??由抛物线定义得：AM?AF?m,BN?BF?n,FK?p 于是

y ?BN?FP?PK?FK?AN?KF?m?p,FQ?FK?KQ?FKp?n, A易知：△APF∽△FQB

FPAFy m?pm112?,即?，整理得：??. ∴A FQBFp?nnmnpM

K O N B Q F P C K O M ，

2 E ）（ 1 x F N B x 图一

D 图二 1

证法二：接图一,分别取MN、AB中点C、E,连结CE、CF、AC、FN及FM,延长AB交MN于D(如图二）.

∵AM?AF?m，BN?BF?n.

11m?n∴∠1＝（180o－∠NBA），∠2＝（180o－∠MAB），CE?

222AM∥BN 又∵

∴∠NBA＋∠MAB＝180o ，∴∠1＋∠2＝90o ∴∠MFN＝90o ,即MF⊥FN

在 RtΔMFN 中，点C 为斜边MN的中点。 于是FC?CM(?CN)

又?AM?AF,BF?BN,?AC?MF,(BC?NF)

DNDF?FN ，∴AC∥NF，∴. 又 MF⊥

DCDA又∵FK∥AM∥BN，

DNBNDFKF?,? ∴， DCCEDAAMBNDFnp112?, 即?. 整理得: ??m?nm ∴CEAMmnp 2证法三：如图 二, 设直线 AB 倾斜角为θ ∵AM?AF?m,BN?BF?n

?????∴MF?2AF?sin?2msin,NF?2BFsin(90?)?2ncos

2222而MF?FN（见证法二）

∴S?MFN?1?2msin??2ncos??2mnsin?cos??mnsin?

22222又FN?MN,MN?ABsin??(m?n)sin?

∴S?MFN?1MN?KF?1(m?n)sin??p?1p(m?n)sin?

222

2

1112∴p(m?n)sin??mnsin?,整理得??. 2mnpx?p/2?tcos?(t为参数)，证法四：由题意，设直线 AB 的参数方程为：{y?tsin?代入抛物线方程y2?2px,得:sin2??t2?2pcos??t?p2?0.

设 t1、t2 分别为 A、B 两点所对应的参数,由参数 t 的几何意义知 t1?AF?m,t2??BF??n.

4p2cos2??4p2sin2?2p ∴?m?n?t1?t2?(t1?t2)?4t1t2??sin2?sin2?11m?n2p2?p2p2?????. m?n??t1t2??2? ，22mnm?nppsin?sin?2x 轴，此时证法五：（i）当直线 AB 斜率不存在时，AB⊥

1121AF?BF?AB?p,即：m?n?p,显然有??.

mnp2p（ii）当直线AB斜率存在时，设为k ，又过点F(,0),

2p∴直线AB 的点斜式方程为：y?k(x?),与抛物线方程

222kp y2?2px联立得:k2x2?(k2?2)px??0

4pp设A(x1,y1),B(x2,y2),由焦半径公式得:m?x1?,n?x2?

22?x1?x2?m?n?p，

pppp2?m?n?(x1?)(x2?)?x1x2?(x1?x2)?

2224112p2pp2p??(m?n?p)??(m?n) ???.

mnp4242综合（i）（ii），原命题得证。

2x?2pt 证法六：设抛物线y?2px的参数方程为{y?2pt(t为参数)2并设A(2pt12,2pt1),B(2pt22,2pt2)

3

2pt1?02pt2?0?. pp由A、F、B 三点共线得

2pt12?2pt22?221化简得：t1t2??.

4p1又AF?m?(2pt12?)2?(2pt1?0)2?p(2t12?)

22p1BF?n?(2pt22?)2?(2pt2?0)2?p(2t22?)

221?m?n?p(2t12?2t22?1)?2p(t12?t22?).

211m?n?p2(4t12t22?t12?t22?)?p2(t12?t22?)

4211m?n2p2?????. mnm?n2ppp,点A所对应的极角为证法七：设所给抛物线的极坐标方程为??1?cos??，则点B所对应的极角为???.

pm?112?{1?cos????.

pmnpn?1?cosa(???)pp证法八：如图四，设A(x1,y1),B(x2,y2),则M(?,y1),N(?,y2)，

22py?y2ppMN中点C的坐标为(-,1),而F(,0),K(?,0).

2222??????????FM?(?p,y1),FN?(?p,y2) ?????????)?(?p,2y)?2p?1y2y ?0?FM?FN（见证法二） ?(?p,y1??????y1?y2???y?y2ppAC?(??x1,),BC?(??x2,1).

2222????????????????????????????????由证法二知：MF?NF,MF?AC,BC?NF?AC?BC.

?y?y2y?y2pp)?(??x2,1)?0 ∴(??x1,12222 4

pp(y1?y2)2?0 ∴(x1?)?(x2?)?22422y1?y2?2y1y22p(x1?x2)?2p2p?mn??mn?(x1?x2?p)?0 ∴mn?442ppp由焦半径公式得：m?x1?,n?x2??mn?(m?n)?0.

222112整理得：??.

mnpMAF＝θ，由证法二知： 证法九：如图五，设∠?????????????????o

∠MFN＝90 ，|KN|?|BF|sin??nsin?,|KM|?|FA|sin??msin?.

N B K O F M y A θ （x

图五

???????????????????????????AM?AF?FM,BN?BF?FN????????????????????????????????????????????AM?BN?AF?BF?AF?FN?FM?BF?FM?FN??????????????????????????????????????????????|AM||BN|cos0?|AF||BF|cos180?AF?FN?FM?BF?|FM||FN|cos90??????????????????即:mn??mn?AF?FN?FM?BF???????????????????????????????????????????????????????????2mn?AF?(FK?KN)?BF?(FK?KM)?AF?FK?AF?KN?BF?FK?BF?KM?????????????|AF||FK|cos?FAM?|AF||KN|cos(90???MAF)???????????????????|BF||FK|cos(180??FAM)?|BF||KM|cos(90???)?mpcos??m(nsin?)sin??npcos??n(msin?)sin??(m?n)pcos??2mnsin2??????????????而m?n?|AM|?|BN|?|AB|cos?MAF?(m?n)cos? 22?2mn?(m?n)pcos??2mnsin?,移项得2mn?(m?n)p. 5

112整理得：??

mnp

参考资料：张小斌，谈谈圆锥曲线的两个定值。数学通报，2001.7

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