模块整合六：导数及其应用

模块整合六：导数及其应用 第33课：导数的概念及运算

【考点阐释】

《考试说明》要求：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数。本节的能级要求为导数的概念A级，其余为B级。 【高考体验】 一、课前热身

（1）（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x3?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . （2）（2009宁夏海南卷文）曲线y?xex?2x?1在点（0,1）处的切线方程为 。

（3）（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为 . （4）（2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 .

（5）（2009福建卷理）若曲线f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.

（6）(2009陕西卷理)设曲线y?xn?1(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，则a1?a2???a99的值为 . 二、教材回归二 1.函数的平均变化率

一般地，函数f(x)在区间?x1,x2?上的平均变化率为 2.函数f(x)在x?x0处的导数 （1）定义

设函数

y?f(x)在区间(a,b)上有定义，x0?(a,b)，若?x无限趋于0时，比值

?y? ?x无限趋于一个常数A，则称f(x)在 处可导，并称该常数A为函数f(x)在点处 的导数，记作 （2）几何意义

'函数f(x)在点x0处的导数f(x)的几何意义是过曲线y?f(x)上的点 的切

线的斜率。

45

3.基本初等函数的导数公式

C'?（C为常数）； (xa)'?（a为常数）；(sinx)'?；(cosx)'?；

基(ex)'?； (ax)'?；(lnx)'?；(logax)'?. 4.导数的四则运算法则 （1）?f(x)?g(x)'?'=

（2）?f(x)?g(x)?= ?f(x)?（3）?= ，g(x)?0。 ??g(x)?1；

三、同步导学

例1：已知质点M按规律s?2t?3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。

2'?s； ?t?s（2） 当t=2，?t?0.001时，求；

?t（1） 当t=2，?t?0.01时，求（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。

例2：求下列各函数的导数： （1）y?x?x5?sinxx22?; （2）y?(x?1)(x?2)(x?3);

11?x?11?x.

xx? （3）y??sin??1?2cos2?; （4）y?4?

例3：已知曲线y=x3?.

（1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

四、高考定位

1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，主要以填空题形式来考查；

2.能根据导数定义求最基本函数的导数，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；

3.会求切线的方程，区分在点处与过点的切线方程；

4.导数运算每年必考，常与导数的应用交汇，考查导数的运算能力。

【课堂互动】

45

1343

1. （2008江苏卷）直线y?1x?b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线，则实数b＝ ． 22. （2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8，则曲线

y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是

3. 设f(x)=x(x+1)(x+2)?(x+n),则f′(0)=_________ 4. （2009安徽卷文）设函数

则导数

的取值范围是__________

，其中，

25. （2009江西卷）若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x3和y?ax?15x?9都相切，则a4等于__________

1 (a,b∈Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切x?b6.（2008海南、宁夏卷）设函数f(x)?ax?线方程为y=3.

（1）求f(x)的解析式； （2）证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

【好题精练】

1.一个物体的运动方程为y?1?t?t,其中y的单位：m，t的单位：s，那么物体在3s末的瞬时速度是_______m.

2s2. 已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f?(x)等于_______.

??2

3. 设P为曲线C：y=x+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是?0,??，

?4?则点P横坐标的取值范围为_______.

3

2

344. 若点P在曲线y=x-3x+(3-3)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为?，则角?的取值范围是_______.

5.（2008南通调研）给出下列的命题：①若函数f(x)?x,则f(0)?0；②若函数

3'f(x)?2x2?1图像上P(1,3)及邻近点Q(1+?x,3??y),则

?y?4?2?x；③加速度是动?xx22x?2x?x2?2x1'? ，点位移函数s(t)对时间t的导数；④y?x?lgx,则y?x222x45

正确的命题是_______.

6. （2009南通调研）曲线C：f(x)?sinx?ex?2在x=0处的切线方程为_______. 7. （2009徐州调研）.已知函数f(x)= f?()sinx+cosx，则f()= .

??248. 已知f1(x)?esinx，fn(x)?fn??1(x),n?2，则

x2008i?1?f(0)? .

i9. 已知函数f?x?的导函数为f'?x?，且满足f?x??3x2?2xf'?2?，则f'?5?? . 10. 设f0(x)?cosx,f1(x)?f0'(x),f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x),n?N?,则

f2008(x)? ．

11. 求下列函数在x=x0处的导数. （1）f（x）=

12. 设函数f(x)?ax?ex1?x?ex1?x,x0?2;（2）f(x)?x?x3?x2lnxx2,x0?1.

b，f(2处)的切线方程为，曲线y?f(x)在点(2x7x?4y?12?0．

（Ⅰ）求f(x)的解析式；

（Ⅱ）证明：曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0和直线y?x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

32

13. 已知曲线C y=x－3x+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标

14.球半径以2cms的速度膨胀（1）半径为5cm时，表面积的变化率是多少？ （2）半径为8cm时，体积的变化率是多少？

第34课：导数在研究函数中的应用 【考点阐释】 《考试说明》要求：了解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，

会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会利用导数求函数的极大值和极小值（对多形式一般不超过三次）。本节的能级要求为B级。

【高考体验】

45

一、课前热身

（1）（2009江苏卷）函数f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为 . 2?2?,]上的最大值为 . （2）（2009苏北四市调研）函数y?x?2sinx在区间[?33（3）（2009盐城调研）已知函数f(x)?e?x?lnx(e是自然对数的底数),若实数x0是方程

，“≥”，“＜”，f(x)?0的解,且0?x1?x0?x2,则f(x1) ▲ f(x2)(填“＞”“≤”).

（4）（2009苏、锡、常、镇调研）若函数f?x??mx2?lnx?2x在定义域内是增函数，则实

数m的取值范围是 ．

（5）（2009通州调研）f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf?(x)?f(x)?0，

对任意正数a、b，若a＜b，则af(a),bf(b)的大小关系为 ．

3（6）（2008江苏卷）f(x)=ax-3x+1对于x∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a= . 二、教材回归

1.函数的单调性与导数

（1） 设函数在某区间内可导，

如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间上为增函数； 如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间上为减函数； （2）f'(x)?0函数y?f(x)为增函数的 条件； 2.函数的极值

解方程f'(x)?0，当f'(x0)?0时，

（1）如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值； 3.求函数y?f(x)在?a,b?上的最值

（1）求函数

y?f(x)在 内的极值；

y?f(x)得各极值与 的函数值 比较，其中最大的

（2）将函数

一个是最大值，最小的一个为最小值。

三、同步导学

例1：（2009通州调研）已知函数y?f(x)?（1）求函数y?f(x)的图像在x?lnx. x1处的切线方程； e45

（2）求y?f(x)的最大值；

(3) 设实数a?0，求函数F(x)?af(x)在?a,2a?上的最小值.

例2：（2009南通调研）设a为实数，已知函数f(x)?1x3?ax2?(a2?1)x.

3（1）当a=1时，求函数f(x)的极值．

（2）若方程f(x)=0有三个不等实数根，求a的取值范围．

例3：（2009南通调研）已知函数g(x)?π），fx()m?x1sin??x?lnx在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，

m?1，m∈R． ?nxlx（1）求θ的值；

（2）若f(x)?g(x)在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

?（3）设h(x)?2e，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f(x0)?g(x0)?h(x0)成立，求xm的取值范围．

四、高考定位

1.以解答题的形式考查应用导数研究函数的单调性和极值（最值）； 2.利用函数的单调性求参数的范围；

3.利用数形结合思想，及函数的单调性判断方程的根。 【课堂互动】

1. (2009南京师大附中期中)函数y?x?2sinx在（0，2?）内的单调增区间为 . 2. (2009苏州中学期中) 若函数h(x)?2x?范围是

kk?在(1,??)上是增函数，则实数k的取值x33.（2009通州调研）函数f(x)?1ax3?1ax2?2ax?2a?1的图像经过四个象限的充要条件是

32

4. （2009镇江调研）方程x3?3x?m?0在[0，1]上有实数根，则m的最大值是 5. （2009扬州调研） 若函数f?x??13x?a2x满足：对于任意的x1,x2??0,1?都有3|f?x1??f?x2?|?1恒成立，则a的取值范围是 6. （2009苏北四市调研）

已知函数f(x)?ax?3,g(x)?bx（1）试求b,c所满足的关系式；

?11?cx?2(a,b?R)且g(?)?g(1)?f(0).

245

（2）若b?0，方程f(x)?g(x)在（有唯一解，求a的取值范围； 0，??）（3）若b?1，集合A?xf(x)?g(x),且g(x)?0，试求集合A。

??

【好题精练】 1．（2007年广东文）函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是____________．

2. （2009福建卷理）若曲线f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围

是_____________.

13. 若f(x)??x2?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数，则b的取值范围是

244. 若函数y??x3?bx有三个单调区间，则b的取值范围是 35. （2007年江苏9）已知二次函数f(x)?ax2?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任

意实数x都有f(x)?0，则

f(1)的最小值为________ f'(0)

6．（2007年江苏13）已知函数f(x)?x3?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别 为M,m，则M?m?

7. 函数f(x)=x+ax+bx+a在x=1处有极值10，则a= ，b= 8．已知函数f(x)=x+ax+bx+a在x=1处有极值为10，则f(2)=___________ 9. 若f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为

10. f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x?0时,f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，且g(?3)?0，则不等式f(x)g(x)?0的解集是____

3

2

3

2

2

3

2

2

11. （2009全国Ⅱ卷）设函数

(1)讨论f(x)的单调性;

f(x)?13x?(1?a)x2?4ax?24a3，其中常数a>1

(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

12. （2009辽宁卷）设f(x)?ex(ax2?x?1)，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴

平行。

（I） （II）

求a的值，并讨论f（x）的单调性； 证明：当??[0,?2]时，f(cos?)?f(sin?)?2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

45

13．设函数f?x??ax?lnx，g?x??a2x2.

⑴当a??1时，求函数y?f?x?图象上的点到直线x?y?3?0距离的最小值； ⑵是否存在正实数a，使f?x??g?x?对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

14. (2009南京调研) 已知函数f(x)?12x?alnx(a?R) 2 （1）若函数f(x)在x?2处的切线方程为y?x?b，求a,b的值； （2）若函数f(x)在(1,??)为增函数，求a的取值范围； （3）讨论方程f(x)?0解的个数，并说明理由。

第35课：简单复合函数的导数 【考点阐释】

《考试说明》要求：会求简单复合函数的导数，高考一般不单独考查，为附加题部分知

识。本节的能级要求为B级。

【高考体验】 一、课前热身

（1）函数y?2sin3x的导数是 . （2）函数y?xe的导数是 （3）函数log2(x?2x)的导数是

'（4）如y=f(x)是可导函数，且f(1)?2,则当x=1时函数f()的导数值为

22x1x（5）设函数f(x)?sin(?x??6)?1(??0)的导数f?(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一

条对称轴的方程是 .

f'(0)（6）已知f(x)?(x?x?1),则? .

f(0)210二、教材回归

若y?f(u)，u?ax?b，则y'x? ，即y'x?

45

三、同步导学

例1:求函数的导数

(1)y?1?x (2)y?(ax?bsin2?x)3 (3)y?f(x2?1) 2(1?x)cosx

例2： 有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1 4 m时，梯子上端下滑的速度

例3：（2009南通调研）已知函数g(x)=x2-2(x≥2)记函数f(x)=x-kg(x)(x≥2, k

为常数）.

（1）若函数f(x)在区间?2,???上为减函数，求k的取值范围；

（2）求函数f(x)的值域.

四、高考定位

1. 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法

则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 2. 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系

【课堂互动】

1. y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于 .

12.函数y?(ex?e?x)的导数是 2x2?a(a?0)的导数为0，则x的值是 3.如函数y?x4.若f(x)?(2x?a)2，且f'(2)?20，则a?

5.如果函数y?f?cosx)是可导函数，则y对x的导数是 6. （2009南通调研）

已知等式(x2?2x?2)5?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2???a9(x?1)9?a10(x?1)10，其中

ai（i=0，1，2，?，10）为实常数．求：

（1）?an的值；

n?11010（2）?nan的值．

n?1

【好题精练】

1．函数y?(5x?3)4的导数是

45

2. 函数y?sinncosnx的导数是 3. 函数y?1的导数是 (1?3x)41在x=1处的导数值是 x4. 函数y?ln5. 函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为

?6．曲线y?cos2(x?)在点P（?,0)处的切线方程为

47.函数f(x)?sin3x?3cosx的值域为

1?8．如函数f(x)?asinx?sin3x在x=处有最值，则a?

339. 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大 ????10.函数f(x)?sin2x?x在??,?上的最大值为______，最小值为______。

?22?11. 求函数的导数

(1)y=(x2－2x+3)e2x; (2)y?2x2?x ; (3)y=3x 1?x

12. 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂

位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

32?x13．（2009宁夏海南卷理）已知函数f(x)?(x?3x?ax?b)e

（I） （II）

如a?b??3，求f(x)的单调区间；

若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加，在(?,2),(?,??)单调减少，证明

???＜6.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

14. 利用导数求和

(1)Sn=1+2x+3x2+?+nxn?1 (x≠0,n∈N*)

*23n(2)Sn=C1n+2Cn+3Cn+?+nCn,(n∈N)

45

第36课：导数的综合运用

【考点阐释】

《考试说明》要求：会用导数解决某些实际问题，利用求导法解决一些实际应用问题

是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点本节的能级要求为B级。

【高考体验】 一、课前热身

（1）(2009南通调研) 水波的半径以50cms的速度向外扩张，当半径250cm时，圆面积

的膨胀率是

（2）已知函数f(x)?x3?3ax(a?R)，若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲线y?f(x)的切线，则a的取值范围为

?3（3）（2009通州调研）设函数f(x)?x?x，若0???时，f(mcos?)?f(1?m)?02恒成立，则实数的取值范围是_ .

|x|?kx3有三个不同的实数解，则实数k的取（4）(2009盐城调研)已知关于x的方程

x?3值范围是

（5）(2009南京调研)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y?ax3?1(a?0)与曲

线C2：x?y?数a的值是

225的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实2f(x)，若函数g(x)至x（6）（2009南通调研）设函数f(x)?x3?2ex2?mx?lnx，记g(x)?少存在一个零点，则实数m的取值范围是

二、教材回归

导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应 ，则问题转化为导数问题，解题中应该注意 。 三、同步导学

例1：(2009淮安调研) 已知函数f?x??lnx?x?1，x??0，??? .

（1）求f?x?的单调区间和极值；

，，（2）设a≥１，函数g?x??x2?3ax?2a2?5，若对于任意x0??01?，总存在x1??01?，使

得f?x1??g?x0?成立，求a的取值范围；

???，求证：（3）对任意x??0，

1x?11?ln?. x?1xx例2：(2009南京调研)设a?0，函数f(x)?x2?a|lnx?1|.

45

(1) 当a?1时,求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程; (2) 当x?[1,??)时,求函数f(x)的最小值.

例3：（2008年江苏卷）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P

处，已知AB=20km,

CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=?(rad)，将y表示成?的函数关系式； ②设OP?x(km) ，将y表示成xx的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短

DOPCAB

思考题：

四、高考定位

1.以解答题的形式考查导数与三角函数，解析几何，不等式等知识相结合的问题。会构造函数来求导。

2. 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 把“问题情景”译为数学

语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解

【课堂互动】

1．(2009淮安调研)已知f1(x)?sinx?cosx，记

'f2(x)?f1'(x),f3(x)?f2'(x),?,fn(x)?fn?1(x)(n?N*,n?2),

则f1()?f2()????f2009()?____

444???2. 已知函数f(x)的定义域为[?2,??)，部分对应值如下表y x f(x)

－2 1

0 －1

4 1

－2 O x f??x?为f?x?的导函数，函数y?f??x?的图象如图所示，若两正数a，b满足f(2a+b)<1，

则

b?3的取值范围是 a?33. （2009苏北四市调研）设曲线y??ax?1?ex在点A?x0,y1?处的切线为l1，曲线y??1?x?e?x在点B?x0,y2?处的切线为l2，若存在0≤x0≤3，使得l1?l2，则实数a的取值范围245

是 ．

4.对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列

?an???的前n项和的公式是 ?n?1?5．质点P在半径为10cm的圆上逆时针作匀速圆周远动，角速度为2rads，设A（10，0）

为起始点，则时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度是

6．（2009湖南卷理）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需

要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2?x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。 （Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；

（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

【好题精练】

1．已知函数y=a(x3-3x)的递增区间为（-1，1），则a的取值范围是 ??)内单调递增，q:m≥?5，2. （2007年江西理）设p:f(x)?ex?lnx?2x2?mx?1在(0，则

p是q的 条件

3.函数y?xsinx在x??处取得极值，则(1??2)(1?cos2?)= ??4. 已知函数f(x)?sinxcosx?m(sinx?cosx)是区间?,??上单调递减函数，则实数m

2?的取值范围是

15. （2009南京调研） 已知函数f(x)?ax?x4，x?[,1]，A,B是其图象上不同的两点.

21若直线AB的斜率k总满足?k?4，则实数a的值是

26．曲线y=x(x+1)(2－x)有两条平行于直线y=x的切线，则两切线之间的距离是

7. （2009盐城三模） 已知定义在R上的函数F(x)满足F(x?y)?F(x)?F(y)，当x?02??F(2kx?x)?F(k?4)时，F(x)?0. 若对任意的x?[0,1]，不等式组?均成立，则实数2??F(x?kx)?F(k?3)45

k的取值范围是 .

8．酒杯的现状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3s的流量倒入杯中，当

水深为4cm时，则水升高的瞬时速度是

9. （08年天津卷）已知x?3是函数f?x??aln?1?x??x2?10x的一个极值点，若直线y?b与函数y?f?x?的图象有3个交点，则b的取值范围 110. 设函数f(x)??x3?2ax2?3a2x?b,0?a?1.当x?[a?1,a?2]时，恒有

3|f?(x)|?a，则确定a的取值范围是 11. （2009通州调研）如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其

平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；

⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠CAB??，试求平板面的长 (用表示)； ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?

2m N E D 2m M F A P l C Q B

12. （2009北京理）

设函数f(x)?xe(k?0)

（1）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2）求函数f(x)的单调区间；

（3）若函数f(x)在区间(?1,1)内单调递增，求k的取值范围.

kx

13．（2009通州调研）函数f(x)?lnx? （1）试求f(x)的单调区间；

（2）当a>0时，求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1； （3）求证：不等式

a(x?1)(x?0,a?R)． x111??对于x?(1,2)恒成立． lnxx?1245

14. （2009扬州调研）已知函数f(x)?ex?2x2?3x.网高考资源网（I）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

高考资源网（Ⅱ）求证函数f(x)在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相

应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，e≈1.6，e≈1.3）

0.3

高考资源网（III）当x?15时,若关于x的不等式f(x)?x2?(a?3)x?1恒成立,试求实数a的取22高考资源网值范围。

第37课：定积分 【考点阐释】

《考试说明》要求：了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会用微积分基本定理求定积分。高考时为附加题部分内容。本节的能级要求为A级

【高考体验】 一、课前热身

21（1） ?(2x?)dx? . 1x?（2） ?2(3x?sinx)dx? .

0（3） 若?2xdx??dx<3，则t的取值范围 .

00t2t（4）若a??x2dx,b??x3dx,c??sinxdx，

000222y?x?4

y2?2x

则a，b，c的大小关系是

1（5）由曲线y?，y?1，y?2，x?1所围成的面积

x为

（6）图中,阴影部分的面积是 . 二、教材回归

1.求曲边梯形面积的步骤

① ② ； ③ ； ④ 。

2.定积分的定义

一般地，设函数f(x)在区间?a,b?上有定义，将区间?a,b?等分成n个小区间，每个小区间长度为?x?b?a，在每个小区间上取一点，依次为x1,x2,?xi,?xn n45

作和Sn?f(x1)?x?f(x2)?x???f(xi)?x???f(xn)?x,如果?x无限趋近于0时，Sn无限趋近于常数S，那么称S为函数f(x)在区间?a,b?上的 记为S= 其中，f(x)称为 ，?a,b?，a称为 ，b称为 。 3.定积分的几何意义

在区间?a,b?上 的代数和（即x轴上方的面积减去x下方的面积）。

4.微积分基本定理

对于被积函数f（x），如果F'(x)?f(x)，则?f(x)dx= ab

三、同步导学

例2：计算下列定积分： （1）?x?2dx；

?43 （2）?e?121dx； x?1 （3）? 例

2?24?x2dx

3：(苏州市

2009届高三三校联考)已知二次函数

；l2:x?2.若直线l1、f(x)?ax2?bx?c,直线l1:y??t2?8t(其中0?t?2.t为常数）

l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （1）求a、b、c的值

（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；

45

11例4：(2009盐城调研) 如图所示，已知曲线C1:y?x2，曲线 C2与C1关于点(,)22对称，且曲线C2与C1交于点O、A，直线x?t(0?t?1)与曲线C1、C2、x轴分别交

于点D、B、E，连结AB. （Ⅰ）求曲边三角形BOD（阴影部分）的面积S1; ．．（Ⅱ）求曲边三角形ABD（阴影部分）的面积S2. ．．

y

四、高考定位

1.“分割、近似求和、取极限”的数学思想，弄清定积分的几何意义，会求曲线围成的面积；

2.定积分在物理中的应用。

3.微积分基本定理公式?f(x)dx?F(b)?F(a)

ab【课堂互动】

1.已知自由落体的运动速度v=gt（g为常数），则当t??1,2?时，物体下落的距离是 2.曲线y?cosx(0?x?3.

4. (2009苏州中学期中)由y?x?2x?3,y?x?3所围成的封闭图形的面积为 5.下列积分的值等于1的是 ①

2??1?103?)与两坐标轴所围成图形的面积为 21?(x?1)2?dx=

1; ② ; ③ ; ④(x?1)dxxdx1dx?02dx ?0?0?011116.（2008盐城一模）过点A（6，4）作曲线f(x)? （1）求切线l的方程；

4x?8的切线l

（2）求切线l与x轴以及曲线所围成的封闭图形的面积S

45

【好题精练】

1.?(2x?3x2)dx= 01?10,(0?x?2)2.一物体在力F(x)? (单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从

?3x?4,(x?2)x=0处运动到x=4（单位：m）处，则力F（x）做的功为

3.抛物线y??x2?4x?3及其在点A（1，0）和点B(3,0)处的切线所围成的图像面积是

4.已知f(x)是一次函数，其图象过点（3，4），且?f(x)dx?1，则f(x)的解析

01式为

?0?0?05.a??4xdx,b??4sinxdx,c??4tanxdx，则三者大小关系式 6. 由y?cosx及x轴围成的介于0与2?之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为

7. 如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是 8. 由曲线y?x,y?x2所围成图形的面积是____________ 9. 计算?x2?xdx= ?1210. 在曲线y?x2(x?0)上的某点A处做一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为

切点A的坐标为 ，切线方程为 .

1.1211. 已知f(x)??

3?2x?1,x?[?2,2]40k,求值, 使. f(x)dx?2?k1?x,x?(2,4]3?12. 设直线y?ax(a?1)与抛物线y?x2所围成的图形面积为S,它们与直线x?1围成的面

积为T, 若U=S+T达到最小值,求a值;并求此时平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积.

13.（2009南京师范附中调研） 设y?f(x)是二次函数，方程f(x)?0有两个相等的

实根，且f?(x)?2x?2。

（1）求y?f(x)的表达式；

（2）求y?f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；

（3）若直线x??t（0?t?1把y?f(x)）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值。

45

14. （2009南通调研）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），

高为h，求梯形的面积．

A B D C 方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E，F，则EF?h．

设OE?x,??OAB∽?ODC,?xaah． ?,即x?x?hbb?a11111 ?S梯形ABCD?S?ODC?S?OAB?b(x?h)?ax?(b?a)x?bh?(a?b)h．

22222方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于M、N，过点A作BC的平行线AQ分别交MN、

DC于P、Q，则?AMP∽?ADQ．

设梯形AMNB的高为x,MN?y,hxy?ab?a??y?a?x， hb?ahh?S梯形ABCDb?ab?a2b?a21??(a?x)dx?(ax?x)?ah??h?(a?b)h． 0h2h2h20再解下面的问题：

已知四棱台ABCD－A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是S1,S2(S1?S2)，棱台的高

1为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=?底面积?高）．

3

模块整合六：导数及其应用 第33课：导数的概念及运算 一、课前热身

（1）（-2，15），（2）y?3x?1，（3）2，（4）4，（5）(??,0)，（6）-2 二、教材回归 （1）

f(x2)?f(x1)；

x2?x1f(x0??x)?f(x0)'；x?x0；点x?x0；f(x0)；

?xa?1（2）

（3）0；ax；cosx;-sinx;e；alna；

xx11；； xxlna45

（4）f'(x)?g'(x)；f'(x)g(x)?f(x)g'(x)；

f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?g(x)?s2

三、同步导学

例2（1）8.02cm（2）8.002cm；（3）8cm

ss例3：(1)∵y? ∴y′?(x?1x2?x5?sinxx2?x?32?x3?5sinxx2,

32)??(x3)??(x?2sin2

3?x)???x2?3x2?2x?3sinx?x?2cosx.

23

2

2

（2） y=（x+3x+2）（x+3）=x+6x+11x+6，∴y′=3x+12x+11.

xx?1（3）∵y=?sin???cos??sinx,

2?2?2?1?1?1∴y???sinx??(sinx)??cosx.

2?2?2（4）y?11?x?11?x?1?x?1?x(1?x)(1?x)?2 ， 1?x?2?2??2(1?x)??. ∴y?????221?x(1?x)(1?x)??2

例4：（1）∵y′=x,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y?|x=2=4.

 ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

（2）设曲线y=x3?则切线的斜率k=y?|

134134?与过点P（2，4）的切线相切于点A???， ?x0,x033??3x?x0=x.

2024134?2∴切线方程为y?????x0(x?x0),即y?x?x?x?. ?x023?33?030323?x0?, ∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02343323222即x0?3x0?4?0,?x0?x0?4x0?4?0,∴x0(x0?1)?4(x0?1)(x0?1)?0,

∴(x0+1)(x0-2)=0,解得x0=-1或x0=2,

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 【课堂互动】

1. ln2－1，2. y?2x?1，3. 解析 设g(x)=(x+1)(x+2)??(x+n),则f(x)=xg(x),

2

于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·?n=n！ 答案 n!， 4.

， 5. ?1或-25， 6445

6（1） f?(x)?a?1， (x?b)21?9?a?,?2a?2?b?3,??a?1,??4于是?解得?或? 18b??1,?a???b??.?0,2??(2?b)3??因为a,b?Z，故f(x)?x?1. x?1??00（2） 在曲线上任取一点??x,x?由f?(x)?1?01??． x0?1??1知，过此点的切线方程为 (x0?1)2y??x02?x0?1?1??1?(x?x0)． 2?x0?1(x?1)0??令x=1，得y??x0?1?x0?1?，切线与直线x=1交点为??1,x?1?． x0?1?0?000令y=x，得y?2x?1，切线与直线y=x的交点为(2x?1,2x?1)． 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为

1x0?112?12x0?1?1?2x0?2?2． 2x0?12x0?1所以，所围三角形的面积为定值2.

【好题精练】

1?????2??1.5， 2. cos2x+cosx， 3. ???1,?2?, 4.?0,2???3,??, 5. ①②， 6. y=2x+3，??????7. 0，8. 1?4502， 9. 6， 10. cosx.

??2ex?(2ex)?(1?x)?2ex(1?x)?2(2?x)ex?,∴f?(2)=0. 11. （1）∵f?(x)????221?x(1?x)(1?x)??3?513（2）∵f?(x)?(x)??x??(lnx)???x2?1?,∴f?(1)??.

22x?3212. （Ⅰ）方程7x?4y?12?0可化为y?7x?3． 4b1?2a??，??a?1，1b?22当x?2时，y?，又f?(x)?a?2，于是?解得?

2x?b?3.?a?b?7，??44故f(x)?x?3． x3知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 x2（Ⅱ）设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y??1?45

??3?3??3?，即y?y0??1?2?(x?x0)y??x0????1?2?(x?x0)．

x0??x0??x0??令x?0得y???66?，从而得切线与直线x?0的交点坐标为?0，??． x0x0??令y?x得y?x?2x0，从而得切线与直线y?x的交点坐标为(2x0，2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x?0，y?x所围成的三角形面积为

16?2x0?6． 2x故曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0，y?x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．

13. 由l过原点，知k=

y032

(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x0－3x0+2x0, x0∴

y02

=x0－3x0+2 x0y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2

又k=

y022

,∴3x0－6x0+2=x0－3x0+2 x02x0－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=

2

3 23 2333233∴y0=()－3()+2·=－

2228∴k=

y01=－ x04∴l方程y=－

133x 切点(，－) 428314.（1）80?cms；（2）512?cms

2第34课：导数在研究函数中的应用

一、课前热身

（1）(?1,11)（2）3??1，（3）＜，（4）m≥，（5）af(a)?bf(b)， 4

（6）2345

二、教材回归

1.（1）f'(x)?0,f'(x)?0；（2）必要不充分条件 2.（1）f'(x)?0,f'(x)?0；（2）f'(x)?,0,f'(x)?0 3.(1) ?a,b?;(2)端点处；f(a),f(b)。

三、同步导学

例1（Ⅰ）?f(x)定义域为?0,???

?f/(x)?1-lnxx2 ?f(1/e)??e 又 ?k?f(12e)?2e

?函数y?f(x)的在x?1e处的切线方程为：

y?e?2e2(x?1e)，即y?2e2x?3e

（Ⅱ）令f/(x)?0得x?e

?当x?(0,e)时，f/(x)?0，f(x)在(0,e)上为增函数

当x?(e,??)时，f/(x)?0，在(e,??)上为减函数

?fmax(x)?f(e)?1e （Ⅲ）?a?0，由（2）知：

F(x)在(0,e)上单调递增，在(e,??)上单调递减．

?F(x)在?a,2a?上的最小值fmin(x)?min{F(a),F(2a)}

?F(a)?F(2a)?12lna2 ?当0?a?2时，F(a)?F(2a)?0,fmin(x)?F(a)?lna

当2?a时F(a)?F(2a)?0，f1min(x)?F(2a)?2ln2a

例2 (1)依题有f(x)?1x3?x23，

故f'?x??x2?2x?x?x?2?.

由

x ???,0? 0 ?0,2? 2 ?2,??? 45

f'?x? + ↗ 0 极大值 － ↘ 0 极小值 + ↗ f?x? 得f?x?在x?0时取得极大值f?0??0，f?x?在x?2时取得极小值f?2???4.

3(2) 因为f'?x??x2?2ax?(a2?1)??x?(a?1)??x?(a?1)?， 所以方程f'?x??0的两根为a－1和a+1，

显然，函数f(x)在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值.

因为方程f(x)=0有三个不等实根，

?1(a?2)(a?1)2?0,?f(a?1)?0,?3所以? 即? 解得?2?a?2且a??1.

?f(a?1)?0,?1(a?2)(a?1)2?0,?3故a的取值范围是(?2,?1)?(?1,1)?(1,2).

例3（1）由题意，g?(x)??1sin??x?1≥0在上恒成立，即1,???≥0． ??sin??x2xsin??x21 ∵θ∈（0，π），∴sin??0．故sin??x?1≥0在?1,???上恒成立， 只须sin??1?1≥0，即sin?≥1，只有sin??1．结合θ∈（0，π），得??

π

． 2

mx2?2x?mm?（2）由（1），得f(x)?g(x)?mx??2lnx．??f(x)?g(x)??． 2xx∵f(x)?g(x)在其定义域内为单调函数，

∴mx2?2x?m≥0或者mx2?2x?m≤0在[1，＋∞）恒成立． mx2?2x?m≥0

2x等价于m(1?x2)≥2x，即m≥，

1?x2 而

2x22?，（）max=1，∴m≥1．

1x2?1x?1x?xxmx2?2x?m≤0等价于m(1?x2)≤2x，即m≤2x在[1，＋∞）恒成立， 1?x2而

2x∈（0，1]，m≤0． 2x?1综上，m的取值范围是???,0???1,???． （3）构造F(x)?f(x)?g(x)?h(x)，F(x)?mx?当m≤0时，x?[1,e]，mx?m2e?2lnx?． xxm2e≤0，?2lnx?<0，所以在[1，e]上不存在xx一个x0，使得f(x0)?g(x0)?h(x0)成立．

45

m22emx2?2x?m?2e当m?0时，(F(x))'?m?2??2?．因为x?[1,e]，所以

xxxx22e?2x≥0，mx2?m?0，所以(F(x))'?0在x?[1,e]恒成立．

故F(x)在[1,e]上单调递增，F(x)max?F(e)?me?解得m?mm ?4，只要me??4?0，

ee4e． e2?14e,??)． e2?1故m的取值范围是(

【课堂互动】

1. (3,3)， 2. [?2,??) ， 3. ?5?a??16， 4. 0， 5. ．??33,33?

??6. 1）由g(?2)?g(1)?f(0)，得(?2b?4c)?(b?c)??3 ∴b、c所满足的关系式为b?c?1?0． （2）由b?0，b?c?1?0，可得c??1．

方程f(x)?g(x)，即ax?3??x?2，可化为a?3x?1?x?3，

令x?1?t，则由题意可得，a?3t?t3在(0,??)上有唯一解，令h(t)?3t?t3(t?0)，由

?5?63?22?1h?(t)?3?3t2?0，可得t?1，

当0?t?1时，由h?(t)?0，可知h(t)是增函数；

当t?1时，由h?(t)?0，可知h(t)是减函数．故当t?1时，h(t)取极大值2．由函数h(t)的图象可知，当a?2或a?0时，方程f(x)?g(x)有且仅有一个正实数解． 故所求a的取值范围是{a|a?2或a?0}．

（3）由b?1，b?c?1?0，可得c?0．由A?{x|f(x)?g(x)且g(x)?0}?{x|ax?3?且x?0}?{x|ax2?3x?1?0且x?0}．当a?0时， A?(1x3?9?4a,0)；当a?0时，

2a1A?(?,0)；

3当a??299时（??9?4a?0），A?(??,0)；当a??时，A?{x|x?0且x??}；

34445

当?3?9?4a3?9?4a9)∪(,0)． ?a?0时，A?(??,2a2a4注：可直接通过研究函数y?ax?3与y?

【好题精练】

1

的图象来解决问题． x

?1?) 3. b??1， 4. (0,??)， ,???， 2. (??,0，1.?e??

2 5. ， 6. 32, 7. a=4,b=-11, 8. 11或18,

9. ［-1，2］, 10. (－∞，－3)∪(0，3),

2? （1）f(x)?x?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a)11.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故f(x)在区间(??,2)是增函数； 当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数； 当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2a,??)是增函数。

综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是减

函数。

（2）由（I）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值。 f(2a)?41(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a ??a3?4a2?24a

33 f(0)?24a

由假设知

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?a?1,?a?1?4??f(2a)?0, 即???a(a?3)(a?6)?0, 解得 1

12. （Ⅰ）f'(x)?e(ax?x?1?2ax?1).有条件知，

f'(1)?0，故a?3?2a?0?a??1. 于是f'(x)?e(?x?x?2)??e(x?2)(x?1).

x2xx245

故当x?(??,?2)?(1,??)时，f'(x)＜0； 当x?(?2,1)时，f'(x)＞0.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

从而f(x)在(??,?2)，(1,??)单调减少，在(?2,1)单调增加. （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在[0,1]单调增加，故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)?e， 最小值为f(0)?1.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

从而对任意x1，x2?[0,1]，有f(x1)?f(x2)?e?1?2. 而当??[0,?2]时，cos?,sin??[0,1].

从而 f(cos?)?f(sin?)?2 由f?x???x?lnx 得f??x???1?1 ，令f??x??1 得 113. ⑴xx?2 ∴所求距离的最小值即为P??1,f??1?????2?到直线x?y?3?0的距离

?2?1? d?2????12?ln2????32?12?4?ln2?2 ⑵假设存在正数a，令F?x??f?x??g?x? ?x?0?则F?x?max?0 由F??x??a?1?2a21xx?0得：x?a ∵当x?1a时，F??x??0 ，∴F?x?为减函数； 当0?x?1a时，F??x??0，∴ F?x?为增函数.

∴F?x?max?F??1?11?a???lna ∴lna?0 ∴a?e ∴a的取值范围为?e,??? 14. （1）因为：f?(x)?x?ax (x?0)，又f(x)在x?2处的切线方程为 y?x?b

45

?2?b??2?aln2a 所以 ? 解得：a?2, b??2ln2 2??1?2?a （2）若函数f(x)在(1,??)上恒成立。则f?(x)?x??0在(1,??)上恒成立，

x2 即：a?x在(1,??)上恒成立。所以有 a?1

（3）当a?0时，f(x)在定义域(0,??)上恒大于0，此时方程无解；

当a?0时，f?(x)?x?增函数。

a?0在(0,??)上恒成立，所以f(x)在定义域(0,??)上为x211?f(1)??0，f(e2)?ea?1?0，所以方程有惟一解。

221ax2?a(x?a)(x?a)当a?0时，f?(x)?x?? ?xxx因为当x?(0,a)时，f?(x)?0，f(x)在(0,a)内为减函数； 当x?(a,??)时，f(x)在(a,??)内为增函数。 所以当事人x?a时，有极小值即为最小值f(a)?11a?alna?a(1?lna)。 22当a?(0,e)时，f(a)?当a?e时，f(a)?1a(1?lna)?0，此方程无解； 21a(1?lna)?0.此方程有惟一解x?a。 21当a?(e,??)时，f(a)?a(1?lna)?0

211因为f()??0且1?a，所以方程f(x)?0在区间(0,a)上有惟一解，

22因为当x?1时，(x?lnx)??0，所以 x?lnx?1

121x?alnx?x2?ax 22122因为 2a?a?1，所以 f(x)?(2a)?2a?0

2所以 x?lnx,f(x)?所以 方程f(x)?0在区间(a,??)上有惟一解。 所以 方程f(x)?0在区间(e,??)上有惟两解。

综上所述：当a?[0,e)时，方程无解；当a?0或a?e时，方程有惟一解；

45

当a?e时方程有两解。

第35课：简单复合函数的导数

一、课前热身

（1）

（2）e2x(1?2x) ，（3）2，（4）—2，（5）x?， （6）106cos3x3(x?2x)ln22(x?1)?二、教材回归

y'''u?uu；yu?a

三、同步导学

例1 (1)解:y??(1?x)?(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)cosx]?(1?x2)2?cos2x

??(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)?cosx?(1?x2)(cosx)?](1?x2)2cos2x??(1?x2)cosx?(1?x)[2xcosx?(1?x2)sinx](1?x2)2cos2x

?(x2?2x?1)cosx?(1?x)(1?x2)sinx(1?x2)2cos2x(2)解 y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by v=x,y=sinγ γ=ωx

y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′ =3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′) =3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)

(3)解法一 设y=f(μ),μ=v,v=x2+1,则

y′x=y′·v′x=f′(μ)·1－1μμ′v2v2·2x

=f′(x2?1)·

112x

x2·2?1=

xf?(x2?1),x2?1

解法二 y′=［f(x2?1)］′=f′(x2?1)·(x2?1)′

1=f′(x2?1)·12(x2+1)?2·(x2+1)′

1=f′(x2?1)·1(x2?22+1)

·2x

45

=

xx2?1f′(x2?1)

例2 设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－25?9t2, 当下端移开1 4 m时，t0=

1?47?, 315?11又s′=－ (25－9t2)2·(－9·2t)=9t,

2225?9t1所以s′(t0)=9×

7?15125?9?(72)15=0 875(m/s)

例3 （1）因为f(x)在区间?2,???上为减函数，

所以对任意的x1,x2??2,???,且x1?x2恒有f(x1)-f(x2)>0成立. 即f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+k(x2-x1)(x2+x1)x-2+2x2-2+2221>0恒成立. x-2

因为x2-x1>0，所以k>x12-2x1+x2又2x2-2+对x1,x2??2,???,且x1?x2时，恒成立.

x12-2x1+x2<1，所以k≥1.

（2）f?(x)?1?kx?1?k(x≥2).

2x?21?22x下面分两种情况讨论：

（1）当k≤0时，f(x)=x-kx2-2是关于x的增函数，值域为[2?2k,??) （2）当k>0时，又分三种情况： ①当k>1时，因为x>x2-2，所以1-kxx-22<0,即f?(x)?0.

所以f(x)是减函数，f(x)≤f(2)?2?2k.

22k(1-k2)x2+2k2(1-k)x+x2又f(x)=x-kx-2=， =22x+kx-21+k1-2x2当x???,f(x)???，所以f(x)值域为(??,2?2k]. ②当k=1时，f(x)=x-x2-2=2x+2x-22>0，

且f(x)是减函数，故f(x)值域是(0,2?2

?45

③当0

22k(1-k2)x2+2k2(1-k)x+x2. f(x)=x-kx-2==22x+kx-21+k1-2x下面再分两种情况：

（a）当02， 1-k222?x>f(x)?0时，，当时，f?(x)?0；

1-k21?k2.故f(x)的值域为[2(1?k2),??).

??综上所述，f(x)的值域为[2?2k,??)?k≤2?；[2(1?k2),??)（2

22??；(??,2?2]k（k>1）.(0,2?2（k=1）

【课堂互动】

?

1 解析 y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1

1x?x'?a(e?e)f 2.2，3.，4.1，5.—(cosx)sinx，

252910（1）在中， (x?2x?2)?a?a(x?1)?a(x?1)???a(x?1)?a(x?1)0129106.

令x??1，得a0?1．

令x?0，得a0?a1?a2???a9?a10?25?32． 所以?an?a1?a2???a10?31．

n?110（2）等式(x2?2x?2)5?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2???a9(x?1)9?a10(x?1)10 两边对x求导，得5(x2?2x?2)4?(2x?2)?a1?2a2(x?1)???9a9(x?1)8?10a10(x?1)9．

在5(x2?2x?2)4?(2x?2)?a1?2a2(x?1)???9a9(x?1)8?10a10(x?1)9中， 令x=0，整理，得?nan?a1?2a2???9a9?10a10?5?25?160．

n?110

【好题精练】

45

121.y'?20(5x?3)4，2.

n(sinx)n?1cos(n?1)x，3.(1?3x)5，4.-1，

5. 解析 ∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1



=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,

令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=22?n, 易知fn(x)在x=

22?n时取得最大值， 最大值fn(2222nnn+1

2?n)=n2(2?n)(1－2?n)=4·(2?n)

6.y?2(x??), 7.??3,3?, 8.2 ,

9. 解析 设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，

那么h=AO+BO=R+R2?x2,解得 x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为 S=x·h=(2Rh?h2)?h?(2Rh3?h4),

A1从而S??1(2Rh3?h4)?2(2Rh3?h42)?

O1?12(2Rh3?h4)?2(6Rh2?4h3)?h2(3R?2h) BDC(2R?h)h3令S′=0,解得h=

32R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下h (0,332R) 2R (32,2R) S′ + 0 － S 增函数 最大值 减函数 由此表可知，当x=3R时，等腰三角形面积最大2 答案

32R

?10.2,??2,

11. (1)2(x2?x?2)e2x (2)(2x?1)2x2?xln2

45



（3）

1x3 3x(1?x)1?x12. 解法一 根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C

点距D点x km,则

∵BD=40,AC=50－x,

∴BC=BD2?CD2?x2?402 又设总的水管费用为y元，依题意有

y=30(5a－x)+5ax2?402 (0＜x＜50) y′=－3a+

5axx?4022,令y′=0,解得x=30

在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省

解法二 设∠BCD=Q,则BC=

40?,CD=40cotθ,(0＜θ＜), sin?2∴AC=50－40cotθ

设总的水管费用为f(θ),依题意，有 f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a·=150a+40a·

40 sin?5?3cos?

sin?(5?3cos?)??sin??(5?3cos?)?(sin?)?3?5cos??40a?∴f′(θ)=40a·

sin2?sin2?3令f′(θ)=0,得cosθ=

53根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，

543此时sinθ=,∴cotθ=,

54∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最

省

a?b??3时，f(x)?(x?3x?3x?3)e，故

13. （Ⅰ）当

32?xw.w.w.k.s.5.u.c.o.m

f'(x)??(x3?3x2?3x?3)e?x?(3x2?6x?3)e?x

??e(x?9x) ??x(x?3)(x?3e)?x?x?3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

45

当x??3或0?x?3时，f'(x)?0; 当?3?x?0或x?3时，f'(x)?0.

从而f(x)在(??,?3),(0,3)单调增加，在（?3，单调减少. 0），（3，??）(Ⅱ)f'(x)??(x3?3x2?ax?b)e?x?(3x2?6x?a)e?x??e?x[x3?(a?6)x?b?a]. 由条件得：f'(2)?0,即23?2(a?6)?b?a?0,故b?4?a,从而

f'(x)??e?x[x3?(a?6)x?4?2a].

因为f'(?)?f'(?)?0,所以

x3?(a?6)x?4?2a?(x?2)(x??)(x??)

?(x?2)(x2?(???)x???). 将右边展开，与左边比较系数得，?????2,???a?2.故

????(???)2?4???12?4a.

又(??2)(??2)?0,即???2(???)?4?0.由此可得a??6. 于是????6.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

14. (1)当x=1时

Sn=1+2+3+?+n=12n(n+1); 当x≠1时，

x+x2

+x3

+?+xn

=x?xn?1∵1?x,

两边都是关于x的函数，求导得

(x+x2+x3+?+xn

)′=(x?xn?11?x)′

n?1即Sn=1+2x+3x2+?+nx

n－1

=1?(n?1)xn?nx(1?x)2

(2)∵(1+x)n=1+C122nn

nx+Cnx+?+Cnx,

两边都是关于x的可导函数，求导得 n(1+x)n?1 =C123x2+?+nCn?1n+2Cnx+3Cnnxn,

45

令x=1得，n·2n?123n=C1n+2Cn+3Cn+?+nCn,

n?12n即Sn=C1n+2Cn+?+nCn= n·2

第36课：导数的综合运用

一、课前热身

11（1）2500（2）a?，（3）(－∞，1)，（4）k?0或k??， ?cm2s，

34（5）设A?x0,y0?,所以C1在A处的切线斜率为f'?x0??3ax02，C2在A处的切线的斜率为?x1??0，又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直， kOAy0所以

x023533，又ax03x0?1，即y0?3ax0?y0?1，所以y0?，代入C2:x2?y2?得

22y01133，将x0??，y0?代入y?ax?1(a?0)得a?4，故答案填写4. 222x0??12(??,e?] （6）e二、教材回归

建立好目标函数；实际意义 三、同步导学 例1(1) ∵f?(x)?＞０．

∴f(x)的单调递增区间为?0,1?，单调递减区间为?1,???，极大值为f(1)?0． (２) ∵g?(x)?2x?3a（a≥１）∴当x?(0,1)时，g?(x)?2x?3a?0，g(x)单调递减， 此时g(x)值域为(2a2?3a?4,2a2?5)．

由(1)得，当x?(0,1)时，f(x)值域为???,?1?， 由题意可得：2a2?5≤－１，所以１≤a≤2. （3）令

11?x ∴当x＞１时，f?(x)＜０，当０＜x＜１时，f?(x)?1?xxx?111，∵x?0，∴t?1，原不等式等价于1??lnt?t?1 ?t，则x?xt?1t由（1）知f?t??lnt?t?1在?1,???上单调递减，∴f?t??f?1??0，即lnt?t?1

111t?1令h?t??lnt?1?，∵h??t???2?2，当t??1,???时，h??t??0，

tttt45

11∴h?t??lnt?1?在?1,???上单调递增，∴h?t??h?1??0，即1??lnt

tt综上所述，对任意x??0，???，恒有

例2（1）当a?1时，f(x)?x2?|lnx?1|

令x?1 得 f(1)?2,f?(1)?1,所以切点为（1，2），切线的斜率为1， 所以曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为：x?y?1?0。 （2）①当x?e时，f(x)?x2?alnx?a，f?(x)?2x?1x?11?ln?成立. x?1xxa (x?e) x ?a?0，?f(x)?0恒成立。 ?f(x)在[e,??)上增函数。

故当x?e时，ymin?f(e)?e2

② 当1?x?e时，f(x)?x2?alnx?1，

f?(x)?2x?a2aa?(x?)(x?)（1?x?e） xx22（i）当

a?1,即0?a?2时，f?(x)在x?(1,e)时为正数，所以f(x)在区间[1,e)上2为增函数。故当x?1时，ymin?1?a，且此时f(1)?f(e) (ii)当1?aaa2即2?a?2e时，f?(x)在x?(1,在间x?(?e，)时为负数，,e)

222aa)上为减函数，在(,e]上为增函数 22时为正数。所以f(x)在区间[1,故当x?3aaaaa?ln，且此时f()?f(e) 时，ymin?22222(iii)当

a?e；即 a?2e2时，f?(x)在x?(1,e)时为负数，所以f(x)在区间[1,e]2上为减函数，故当x?e时，ymin?f(e)?e。

222综上所述，当a?2e时，f(x)在x?e时和1?x?e时的最小值都是e。

22所以此时f(x)的最小值为f(e)?e；当2?a?2e时，f(x)在x?e时的最小值为

45

f(a3aaaa)??ln，而f()?f(e)， 22222所以此时f(x)的最小值为f(a3aaa)??ln。 22222当0?a?2时，在x?e时最小值为e，在1?x?e时的最小值为f(1)?1?a，

而f(1)?f(e)，所以此时f(x)的最小值为f(1)?1?a

所以函数y?f(x)的最小值为ymin?1?a,0?a?2?3aaa???ln,2?a?2e2 ?2222e,a?2e2?

例3（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB， 若∠BAO=?(rad) ，则OA?故OB?AQ10?, cos?cos?10，又OP＝10?10tan?10－10ta?， cos?1010??10?10tan?， 所以y?OA?OB?OP?cos?cos?所求函数关系式为y?20?10sin?????10?0????

cos?4??②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以OA =OB=2?10?x?2?102?x2?20x?200 所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10?

?10cos??cos???20?10sin????sin??10?2sin??1??（Ⅱ）选择函数模型①，y?

cos2?cos2?''令y?0 得sin ????1，因为0???，所以?=，

462'当???0,????6??时，y?0 ，y是?的减函数；当???????,?时，y'?0 ，y是?的增函?64?数，所以当?=

?时，ymin?10?103。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 6103km处。 3

45

【课堂互动】

1. 2，2. (35,73)，3. ???1,3?2??，4.2n?1?2，5.20cos2t(cm/s)， m6.（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(n?1)x?m，即n=x?1

所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(mx-1)+mx(2?x)x ?256xx?mx?2m?256. （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f'(x)??256m32x2?132mx2?m2x2(x?512). 3 令f'(x)?0，得x2?512，所以x=64

当0

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当64?x?640时，f'(x)>0. f(x)在区间（64，640）内为增函数， 所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，n?mx?1?64064?1?9. 故需新建9个桥墩才能使y最小。

【好题精练】

91. a<0， 2.充要条件 ， 3.2， 4. m??1， 5. 2，

6. 1632x2272。提示：y=-x+x+2x,∴y′=-3+2x+2.所求直线与直线y=x平行.

∴k=1.令y′=1,即3x2－2x－1=0,(3x+1)(x－1)=0,x=－1或1,x=－133时,

y=(－127)+19－23=－1427,x=1时, y=-1+1+2×1=2.

故切点为A??114???3,?27??,B(1,2)。

切线方程为:l1:y+

1427=x+13,即x－y－527=0,l2:y－1=x－2,即x-y+1=0, 两切线间的距离为:d=1???5???27?=?16272.

2807.（-3，2）； 8.9?cms, 9. [0,??), 10. 45?a?1.,

45

11. （1）EF=DM+DN-MF-EN=

2(sin??cos?)?1? （0???）

sin?cos?2（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（0????2），平板车的长度不能超过，

t2?1即平板车的长度?lmin；记sin??cos??t, 1?t?2，有sin?cos?=，

2=

2(sin??cos?)?14t?2=2=，

sin?cos?t?1此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记4t?2?m，则t?m?2）或直接求4导，以确定函数在[1,2]上的单调性；当t?

2时取得最小值42?2。

12.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）f'?x???1?kx?ekx,f'?0??1,f?0??0,

曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x. （Ⅱ）由f'?x???1?kx?ekx?0，得x?? 若k?0，则当x????,?1?k?0?， k??1?'?时，f?x??0，函数f?x?单调递减， k?当x????1?,??,?时，f'?x??0，函数f?x?单调递增， ?k???1?'?时，f?x??0，函数f?x?单调递增， k? 若k?0，则当x????,? 当x????1?,??,?时，f'?x??0，函数f?x?单调递减， ?k?1??1， k（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k?0，则当且仅当?即k?1时，函数f?x???1,1?内单调递增， 若k?0，则当且仅当?1?1， k即k??1时，函数f?x???1,1?内单调递增，

45

综上可知，函数f?x???1,1?内单调递增时，k的取值范围是??1,0???0,1?.2.,

13. （1）f(x)?x?x2?x2(x?0)． 当时，f/(x)?0，在(0,??)上单调递增； 当时，x?(0,a)时，f/(x)?0，在上单调递减；

/1ax?ax?(a,??)时，f/(x)?0，在(a,??)上单调递增．

综上所述，当时，的单调递增区间为(0,??)；当时，的单调递增区间为(a,??)，单调递减区间为．

（2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值， 即fmin(x)?f(1)?0。而在上单调递减，在(1,??)上单调递增， 在(0,??)上由唯一的一个零点x=1．

必要性： =0在(0,??)上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即lna?a?1?0． 令g(a)?lna?a?1， g(a)?//11?a?1?． aa/当0?a?1时，g(a)?0，在上单调递增；当a>1时，g(a)?0， 在(1,??)上单调递减。gmax(a)?g(1)?0， =0只有唯一解a=1． =0在(0,??)上有唯一解时必有a=1． 综上：在a>0时， =0在(0,??)上有唯一解的充要条件是a=1． （3）证明：∵1

111???(x?1)lnx?2(x?1)?0. lnxx?12x?11/?2?lnx??1， 令F(x)?(x?1)lnx?2(x?1)，∴F(x)?lnx?xx1由（1）知，当a=1时，fmin(x)?f(1)?0，∴f(x)?f(1)?0，∴lnx??1?0．

x∴F(x)?0，∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴F(x)?F(1)?0， ∴(x?1)lnx?2(x?1)?0。∴

x/111??(1?x?2)． lnxx?12??14. （Ⅰ）f?x??e?4x?3,则f?1??e?1，

又f?1??e?1，

45

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jip6.html