2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案

2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案

一、填空题（每题8分，共80分）

1. 32

290x x x -+-=

2. 1-

3.

16±4分，满分8分） 4.

5. 13

6.

5

[2

7. z =?14±

√154i （每个答案给4分，满分8分）

8. 126

9. 153

10. 912 二、解答题（共五题，11-13各20分，14、15各30分，合计120分） （解答题严格按照上述标准给分，分数整5整10，不给其他过度分数。）

11. 已知数列{}n a

，且11a =

2,3,)n ==L ，令1n n b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若对任意的*

n N ∈

(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围。 解答 （1

）由数学归纳法证明得n

a = （5分） （2

）由于n b =

1n S =, （10分）

(1)101n S n λ≤+≤+得到

λ≤≤

上式对任意的正整数成立，则

min 202λ=≤≤=，（15分）

即202

λ≤≤。 （20分）

12. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为

2，且椭圆C 的任意三个顶点构成的三角形面积为12

。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）若过(,0)P λ的直线l 与椭圆交于相异两点,A B ，且2AP PB =u u u r u u u r ，求实数λ的范围。

解答 （1）设椭圆的长半轴长为,a 短半轴长为,b 则有122

ab a ==，解得，11,2

a b ==，所以椭圆C 的方程为2241x y +=。 （5分） （2）设直线l 的方程为,x my λ=+设两个交点坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2AP PB =u u u r u u u r ，得到122y y =-。………………………………① （10分）

联立方程组2241x y x my λ

?+=?=+? 得到222(4)210m y my λλ+++-=……②

显然，12,y y 为方程②的两个相异的实根，则有

22222(2)4(1)(4)04(1)m m m λλλ--+>?>-…………③ 由韦达定理得212122221,44

m y y y y m m λλ-+=-=++，联立①得到 2222222214(1)2()04491m m m m λλλλ--+=?=++-………………④ （15分）

又1λ=±，13

λ=±不符合题意。 把④代入③得到 22224(1)1114(1)1(1,)(,1)91933

λλλλλ->-?<

()1x f x x e a -=+-。

（1）若()0f x =恰有三个根，求实数a 的取值范围；

（2）在（1）的情形下，设()0f x =的三根为123,,x x x ，且123x x x <<，证明21x x a -<。 解答：

（1）1->x 时，()()x e

x x f 11-?+=，()0111'12>???? ??++=-x e x x x f 1-

1-?+-=，()0111'12

? ??++-=-x e x x x f 所以函数()x f 在()()(),1,1,0,0,-∞-↓-↑+∞↑，

且()(),(1)0,(0),(0)0,f x x f f f -+→+∞→∞-=→+∞→

故0>a （5分）

（2）设x

x x g 1)(-=，下证()x f x g ≤)(在()0,∞-∈x 上恒成立. 即证x e x x x 1211-+≤-，变形得到x e x 111

-≥-，在()0,∞-∈x 上，显然成立. （10分） 设()a x g =在()0,∞-∈x 上有两解54,x x ，且541x x <-<.

可得：()()()441x f x g a x f <==，()()()552x f x g a x f <==

注意到()x f 的单调性，有5241,x x x x <>. （15分） 通过解二次方程可以解得2

4,242524--=---=a a x a a x ， 则有a x x x x =-<-4512. （20分）

14. 设正整数3n ≥， 已知n 个数12,,,n a a a L ，记两两之和为()ij i j b a a i j =+>，得到如下表格：

21b

31,b 32b

………………………

1,n b 2,n b …………………,1,n n b -

若在上述表格中任意取定k 个数，可以唯一确定出n 个数12,,,n a a a L ，求k 的最小值。 解答 （1）当3n =时，显然由212132323131,,b a a b a a b a a =+=+=+才能唯一确定出123,,a a a ，此时3k =。 （5分）

（2）当4n =时。显然由2

314k C ≥+=，否则取某三个数的两两之和不能确定出第四个数。 当4k =时，如果21314243,,

, b b b b 这4个值，也无法确定出1234,,,a a a a 。 当5k =时，若已知 213132414243

,,,,,b b b b b b 中任意五个数的值。不妨设21b 的值未知，则由31324243,,, b b b b 可以确定33243421(())2

a b b b =+-，从而唯一确定出1234,,,a a a a 。（10分） （3）当5n ≥时，显然由当211n k C -≥+，下面证明最小值取到等号。

（a ）当5n =时，2417k C =+=，即如果知道7个ij b ，则一定存在一个下标s ，is b （或js b ）最多出现2次，至少出现1次。事实上，7个ij b 共有14个下标，而1,2,3,4,5每个下标出现3次及以上，就共出现15个下标，这是不可能的。因此根据（2），由至少5个,,{1,2,3,4,5\{s}}ij b i j ∈的值可唯一确定出,{1,2,3,4,5}\{s}i a i ∈，再由至少出现一次的is b （或js b ）唯一确定出s a 。 （20分） （b ）当6n ≥时，用数学归纳法证明2

11n k C -=+。当取k 个ij b 时，一定存在一个下标s ，is b （或js b ）最多出现2n -次（因为2(1)k n n <-），则,,{1,2,3,,}\{s}ij b i j n ∈L 至少有

2

211(2)C 3C 1n n k n n ----=-+≥+ 由归纳可知，这些ij b 可唯一确定出,{1,2,3,,{}\s}i a i n ∈L ，然后再有is b （或js b ）确定出s a 。 （30分）

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