高一数学复习讲义

第1课时：空间几何体的结构

相关定义：

1.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点

2.由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴

下面我们来探究柱,锥,台,球的结构特征 一、柱体的结构特征

柱体： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.

棱柱的底面(底):两个互相平行的面 棱柱的侧面:其余各面

棱柱的侧棱:相邻侧面的公共边 棱柱的顶点:侧面与底面的公共顶点

以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱

3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱

棱柱的表示：用底面各顶点的字母表示棱柱,如图所示的六棱柱表示为：“棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'”

圆柱：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆柱。圆柱和棱柱统称为柱体

想一想：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？

练习：1.长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？

2.在棱柱中，下列说法正确的是（ ）

A.只有两个面平行 B.所有的棱都相等

C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行，并且各侧棱也平行 3.下图中不可能围成正方体的是（ ）

二、锥体的结构特征

锥体：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥 棱锥的侧面：有公共顶点的各三角形 棱锥的底面或底：余下的那个多边形 棱椎的侧棱：两个相邻侧面的公共边 棱锥的顶点：各侧面的公共顶点

底面是三角形、四边形、五边形?的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥?其中三棱锥又叫做四面体 棱锥的表示：用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如图所示的棱锥表示为：“棱锥S—ABCDE”

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。圆锥与棱锥统称为锥体

三、台体的结构特征

台体：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；

圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分（以直角梯形，垂直于底面的腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体）。棱台与圆台统称为台体.

四、球体的结构特征：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一圆形的旋转体叫做球体，简称球

练习：1.下列命题是真命题的是（ ）

A . 以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的几何体为圆锥 B . 以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体为圆柱 C . 圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆

D . 有一个面为多边形，其他各面都是三角形的几何体是棱锥

五、简单组合体的结构特征

由柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体. 简单几何体的构成有两种形式： ①由简单几何体拼接而成的；

②简单几何体截去或挖去一部分而成的 柱体 两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等； 平行于底面的截面是与底面全等的多边形. 锥体 台体 圆台 侧面、对角面都是三角形； 平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. 两底面所在平面互相平行； 两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形； 侧棱的延长线相交于一点. 两底面是两个半径不同的圆； 轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点； 母线长都相等 例：下列命题中错误的是（ ）

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆 D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

例：把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm，求圆锥的母线长. 练习

1. 正四棱锥的底面积为43cm2，侧面等腰三角形面积为6cm2，求正四棱锥侧棱.

2. 圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.

3.棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高.

第2课时：空间几何体的三视图和直观图

中心投影：光由一点向外散射形成的投影

平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影

三视图

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图 侧视图：光线从几何体的左面向后面正投影得到的投影图 俯视图：光线从几何体的左面向后面正投影得到的投影图

画三视图时棱要用实线画出，被挡的轮廓线用虚线画出；有尺寸要求的，标好尺寸. 此外，一般情况下先画正视图，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边

三视图的作图步骤 1.确定正视图方向； 2.布置视图；

3. 先画出能反映物体真实形状的一个视图(一般为正视图)； 4. 运用长对正、高平齐、宽相等原则画出其它视图； 5. 检查

要求：俯视图安排在正视图的正下方，侧视图安排在正视图的正右方.

画出下列图形的三视图：

作出下列几何体的三视图 (1) 球与正方体的各面都相切. (2) 正方体内接于球.

(3) 球与正方体的各棱都相切.

1.球与正方体的各面都相切. 2.正方体内接于球. 3.球与正方体的各棱都相切

圆的直径等于正方体的棱长 圆的直径等于正方体的体的对角线 圆的直径等于正方体面的对角线

1. 下列三视图所表示的几何体的结构特征是

2. 下列三视图所表示的几何体是 .

直观图

斜二测画法的基本步骤：

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系

''②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O‘X‘,O‘Y‘,使?X'OY=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X?轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y?轴，且长度变为原来的一半 ④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线） 例：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平表示水平面.

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 结论：

S直2 ?S原4例：已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm. 用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.

例： 如右图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图. 若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1 =C1D1 = 2，A1D1 = O′D1 = 1. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.

练习

1．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. （1）角的水平放置的直观图一定是角.（ ） （2）相等的角在直观图中仍然相等. （ ） （3）相等的线段在直观图中仍然相等.（ ）

（4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行. （ ） 2．利用斜二测画法得到的

①三角形的直观图是三角形. ②平行四边形的直观图是平行四边形. ③正方形的直观图是正方形. ④菱形的直观图是菱形.

23

以上结论，正确的是（ ） A．①② B．①

课后练习：

1.下列关于多面体的说法中：

(1)底面是矩形的直棱柱是长方体； (2)底面是正方形的棱锥是正四棱锥； (3)两底面都是正方形的棱台是正棱台； (4)正四棱柱就是正方体； 其中正确的是_________

2.以下关于简单旋转体的说法中：

(1)在圆柱的上、下底面圆周上各取一点的连线就是圆柱的母线；

(2)圆台的轴截面不可能是直角梯形； (3)圆锥的轴截面可能是直角三角形； (4)过圆锥任意两条母线所作的截面中，面积最大的是轴截面； 其中正确的是______

3.下列图中，不是正方体的表面展开图的是( )

C．③④ D．①②③④

A. B. C. D.

4.正三棱锥A-BCD的底面边长为2a，侧面的顶角为300，E、F分别是AC、AD上的动点，求截面三角形BEF周长的最小值

5.如图(1)所示的一个几何体，在图(2)中是该几何体俯视图的是( )

(1) (2)

6.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )

7．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图 如图所示，则该几何体的侧视图可以为( B ) 正视图 A． B． C． D． 俯视图

8.已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为_________

9．等腰梯形ABCD,上底边CD=1, 腰AD=CB=2 , 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图

A′B′C′D′的面积为______

10．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为 11.在阳光下一个大球放在水平面上, 球的影子伸到距球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米, 则该球的半径等于 米 CB

O

第3课时：空间几何体的表面积

正方体和长方体的表面积

P??10RA

长方体的表面展开图是六个矩形组成的平面图形，其表面是这六个矩形面积的和 设长方体的长宽高分别为a、b、h，则其表面积为S?2(ab?ah?bh) 特别地，正方体的表面积为S?6a

2

一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和

棱柱的表面积=2?底面积+侧面积（侧面积是各个侧面面积之和） 棱锥的表面积=底面积+侧面积

棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积

例：已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积

练习：已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积

旋转体的表面积

一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积 圆柱：S?2?r2?2?rl?2?r(r?l) 圆锥：S??r??rl??r(r?l) 圆台：S??(r'?r2?r'l?rl)

22

例：一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到

1毫升）

练习：1.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE＝DE. (1)求此正三棱柱的侧棱长；

(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．

2.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )

A．12π B．18π

[来源学科网Z|X|X|K] C．24π D．36π

3.如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为( )

A．2π B．4π C．6π D．8π

第4课时：空间几何体的体积

体积:几何体所占空间的大小

正方体的体积=棱长3

长方体的体积=长×宽×高 柱体的体积：

柱体的体积V?Sh

锥体的体积：

1 锥体的体积V?Sh

3棱台和圆台的体积：

1 棱台和圆台的体积V?(S'?S'S?S)h

3例：有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？

练习：1.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a＝( )

A.2 B.

23 C.3 D. 2222主视图左视图2.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )

2??2?A. 8? B.8? C.8-2π D.

333

2

球的体积和表面积：

设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式：V?43?R S?4?R2 3例：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的

2； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积 3

练习：1.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．9??42 B．36??18 C．

3 2 3 正视图

侧视图

99??12 D．??18 222．若一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________

俯视图

例：三棱柱ABC – A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2

的两部分，那么V1:V2 = 7:5 .

练习：正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？

第5课时：空间点、直线和平面之间的位置关系

（1）平面的画法

通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用虚线画出来.

（2）平面的表示 法1：平面?，平面?. 法2：平面ABCD，平面AC或平面BD， 过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC” （3）点与平面的关系

平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A?l?B?l?? 符号表示为：??l?? A???B????公理1可用于判断直线是否在平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.

?A???符号表示为：C ?直线AB ?存在惟一的平面?，使得?B???C???

公理2判断几个点共面或直线在同一个平面内

①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

直线l???过直线l和点A有且只有一个平面A?l?

②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

?????l符号表示为：P?????? P?l?公理3用于判断两个平面是否相交；也可用于判定点在直线上，

例：已知四条直线a、b、c、d，且a//b//c,l?a?A,l?b?B,l?c?C，求证：直线a、b、c、d共面

练习1．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( ) A．l?α

B．l?α C．l∩α＝M

D．l∩α＝N

2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线．

空间的两条直线位置关系：

?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点共面直线? 平行直线：同在平面内，没有公共点?异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，异面直线没有公共点.

平行公理（公理四）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行线的传递性） 符号表述：

a//b???a//c b//c?等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补异面直线所成的角

（1）定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a'//a,b'//b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） （2）异面直线所成的角?的取值范围：0?,90? （3）当??90?时，a与b互相垂直，记作a?b

例：1.在长方体ABCD?ABCD中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线

''''??

2.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？ 3.垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

练习：如图，在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小

直线与平面的位置关系

两个平面的位置关系

例：―平面内有无穷条直线都和直线l平行‖是―l//?‖的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

练习1. 下列说法中正确的个数为( )

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行； ②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直； ③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；

④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面． A．0

2. 以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：

B．1

C．2

D．3

①若a∥b，b?α，则a∥α； ②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，b∥α，则a∥α； ④若a∥α，b?α，则a∥b .其中正确命题的个数是( ) A．0

B．1

C．2

D．3

3.在以下四个命题中，正确的命题是( )

①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；

③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；

④平面α内的两条相交直线和平面β内的两条相交直线分别平行，则α与β平行． A．③④

B．②④

C．②③④

D．④

4. 已知下列命题：

①两平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线 ③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交 ④若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面 ⑤若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交

其中正确命题的序号是________(将你认为正确的命题的序号都填上)

5．在三棱锥A-BCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P.(B) A．一定在直线BD上 C．在直线AC或BD上

B．一定在直线AC上

D．不在直线AC上，也不在直线BD上

6．下列命题不正确的是________

①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行； ②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行； ③两条异面直线所成的角为锐角或直角；

④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面

第6课时：直线、平面平行的判定

思考：如图，平面?外的直线a平行于平面?内的直线b （1）这两条直线共面吗？

（2）直线a与平面?相交吗？

直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行

a????符号表示为：b????a//?

a//b??

例：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD

例：已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.

练习：1.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点，求证:AB//平面DCF

2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC

总结：1.判定直线与平面平行的方法：（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行； （2）判定定理：（线线平行?线面平行）；

2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成

平面与平面平行的判定

思考：举出生活中平面与平面平行的例子 探究：（１）平面?内有一条直线与平面?平行，?，?平行吗？

（２）平面?内有两条直线与平面?平行，?，?平行吗？

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行另一个平面，那么这两个平面平行 a??,b????符号表示为：a?b?A???//?

a//?,b//???练习：判断下列命题是否正确

1.若平面?内的两条直线分别与平面?平行，则?与?平行（ ） 2.若平面?内有无数条直线分别与平面?平行，则?与?平行（ ） 3.平行于同一直线的两个平面平行（ ）

4.两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行（ ）

5.过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面（ ）

例：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD

练习：变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB

课后练习：

1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点，试确定点E的位置，使B1D∥平面A1C1E.

2.如图所示的几何体中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.

3.如图：三棱锥P-ABC, D,E,F分别是棱PA，PB，PC中点，求证：平面DEF∥平面ABC

第7课时：直线、平面平行的性质

复习：线面平行、面面平行判定定理的内容是什么?判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件? 问题：1.如果已知直线与平面平行，会有什么结论？

2.如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？这条直线与这个平面内有多少条直线平行？

3.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？ 4.如果一条直线a与平面?平行,在什么条件下直线a与平面?内的直线平行呢？

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

??符号表示为：l????l//m

????m??

作用：可证明两直线平行

注意： 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行

l//?

例：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′

(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线和面AC有什么关系？

练习：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？

思考：1.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ （如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行） 2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？

（如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线） 3.当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？ （两条交线平行）

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

?//???符号表示为：????a??a//b

????b??

例：求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等

练习：如图，?//?，l???A，求证：l与?相交

第8课时：直线、平面垂直的判定

直线与平面垂直的定义：如果一条直线l与平面?内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.记作l??

画直线与平面平行时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

判断：1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直（ ） 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直（ ）

思考：除定义外，有没有比较方便可行的方法来 判断一条直线与一个平面垂直？

结论：直线与平面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面

??n????符号表示为：m?n?P??l??

?l?m??l?n?

例：在下图的长方体中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？

m??例：如图，已知a//b、a??，求证：b??

练习：如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点，求证：AC⊥平面VKB

直线与平面所成的角：

1.平面的斜线:如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足

2.直线和平面所成的角：如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角

规定：一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成

0

的角是0的角

想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?

练习：1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影

练习：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角

（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角

半平面：平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面

二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。棱为l，两个面分别为?、?的二面角记为??l??

二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

二面角的范围：0180

两个平面互相垂直的概念：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直

??? 两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面?与?垂直，记作：

平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 例：如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC

????

练习：1.如图所示,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置,使CD=AC,求证:平面ABD⊥平面ABC

0

2.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD

（1）若G为AD的中点，求证：BG?平面PAD （2）求证：AD?PB

（3）求二面角A?BC?P的大小

第9课时：直线、平面垂直的性质

复习：.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法.

练习：对于直线m,n和平面?,?，能得出???的一个条件是（ ①m?n,m//?,n//?②m?n,????m,n??③m//n,n??,m??④m//n,m??,n??.

知识讲解：

定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直?线线平行） 练习：a,b,c表示直线，M表示平面，则a//b的充分条件是（ ）

A.a?c且b?c B.a//M且b//M C.a?M且b?M D.a,b与c所在的角相等

例：设直线a,b分别在正方体ABCD?A'B'C'D'中两个不同的平面内，要使a//b，a,b应满足什么条件？

例：已知l??,l??,求证?//?

）

练习：1.下列命题中错误的是（ ）

A.若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线 B.若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 C.若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面

D.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直 2.如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？

知识测试

1.若a,b,c表示直线，?表示平面，下列条件中，能使a??的是（ ）

A.a?b,a?c,b??,c?? C.a?b?A,b??,a?b

B.a?b,b//? D.a//b,b??

2．已知l与m是两条不同的直线，若直线l?平面?，①若直线m?l，则m//?；②若m??，则m//l；③若m??，则m?l；④m//l，则m??。上述判断正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①③④ 3．下列关于直线l,m与平面?,?的命题中，真命题是 （ ）

A.若l??且???，则l?? B.若l??且?//?，则l?? C.若l??且???，则l//? D.????m且l//m，则l//?

平面与平面垂直的性质定理：

定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直?线面垂直） 探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条. 练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ）

A.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 C.一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面

D.②④

D.过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

例：如图，已知平面?,?,???，直线a满足a??,a??，试判断直线a与平面?的位置关系.

练习：1.已知平面??平面?，平面??平面?，????a，求证：a??.

2.下列命题中，正确的是（ ）

A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直 B.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C.若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直

D.a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.

3.已知PA?正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连结PB,PC,PD,AC,BD，则互相垂直的平面有 （ ） A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 4.若三个平面?,?,?，之间有???，???，则?与?（ ） A.垂直 B.平行 C.相交 D.以上三种可能都有 5.已知?，?是两个平面，直线l??，l??，设（1）l??，（2）l//?，（3）???，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

第10课时:空间几何体的体积求法

一公式法

例：1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 2.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等

边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ） A．43

B．4

C．23

D．2

练习：1.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________

2.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为

二．转换法

例：在边长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M,N,P分别是棱A1B1,A1D1,A1A上的点，且满足

A1M?13A1B1，A1N?2ND1，A1P?A1A，试求三棱锥A1?MNP的体积 24

练习：如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=2错误！未找到引用源。,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3,求点B1 到平面EA1C1 的距离

三．割补法

例：已知三棱锥P?ABC，其中PA?4,PB?PC?2,

P?APB??APC??BPC?60?求：三棱锥P?ABC的体积

练习

CAHBD1.如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知AB?4,BC?3,AE?5,BF?8,CG?12， 求几何体ABCD?EFGH的体积

HGF E DC

课后练习：

??1.如图，在三棱锥P?ABC中，?APB?90，?PAB?60，AB?BC?CA，点P在平面ABC内的

射影O在AB上

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小

PC

AB

2.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE//AB （1） 求证：CE⊥平面PAD；

（2） 若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.

3.如图，已知三棱锥A?BPC中，AP⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形

（1）求证：BC⊥平面APC；

（2）若BC?3，AB?10，求点B到平面DCM的距离．

第11课时;直线的倾斜角与斜率

确定直线的要素

问题：1. 确定一条直线

2.过一点有 条直线

总结：确定直线位置的要素除了点之外,还有直线的方向,也就是直线的倾斜程度

直线的倾斜角

1.直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角?叫做直线的倾斜角

注意： (1)直线向上方向 (2)轴的正方向

练习：1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是（ ）

2.观察下图l1,l2,l3三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么

2.直线倾斜角的取值范围

规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°

由此我们得到直线倾斜角?的范围为：??0?，180? 思考：（1）所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应 （2）每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线

3.直线的斜率：

直线的倾斜角体现了直线对x轴正方向的倾斜程度，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角

我们知道：日常生活中用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即

??坡度（比）?升高量

前进量同样的，我们把一条直线的倾斜角?的正切值叫做这条直线的斜率。通常用字母k来表示，即k?tan? 例如：倾斜角??45时，这条直线的斜率k?tan45?1；

倾斜角??135时，由tan(180??45?)??tan45?，得k?tan135??tan45??1，即这条直线的斜率为-1

倾斜角是90的直线没有斜率

倾斜角?不是90的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度

???????当0???90，k?0；当90???180，k?0

???

下面探究如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率：

给定两点P1P2的斜率k 1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2，我们求直线P如图1,2，设直线P，当直线P1指向P2的方向）向上时，1P2的倾斜角为?（??90）1P2的方向（即从P过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于点Q，于是点Q的坐标为?x2,y1?

?

1 2 3 4

如图1，当?为锐角时，???QP1P2Q中， 1P2,x1?x2,y1?y2，在Rt?P

tan??tan?QP1P2??QP2P1Q?y2?y1

x2?x1??180-?（设?QP如图2，当?为钝角时，，,x1?x2,y1?y2， tan??tan(180???)??tan?。1P2??）

在Rt?P1P2Q中，tan??QP2QP1?y?yy?yy2?y1y?y??21，于是可得tan??21，即k?21

x2?x1x2?x1x1?x2x2?x1y2?y1y?y1，即k?2

x2?x1x2?x1y2?y1

x2?x1同理，当P2P1的方向向上时，如图3,4，也有tan??综上所述，我们得到经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2的直线的斜率公式为：k?例：已知A(3,2),B(?4,1),C(0,?1)，求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角

练习：1.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1,2及3的直线l1,l2,l3及l4

2.在图中的直线l1,l2,l3的斜率k1,k2,k3的大小关系为

总结：

直线 ?的大小 k的范围 平行于x轴 ??0? k?0 第一象限 0????90? 垂直于x轴 ??90? 第二象限 90????180? k?0 不存在 无 k?0 k的增减性 无 递增 递增

第12课时:判断直线的平行或垂直

为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线倾斜角与斜率的概念，并导出了计算斜率的公式，即把几何问题转化为代数问题。那么，我们能否通过直线l1,l2的斜率k1,k2来判断两条直线的位置关系呢？

若l1//l2，则l1与l2的倾斜角?1与?2相等，如图，由?1??2，可得tan?1?tan?2，即k1?k2， 因此 ，若l1//l2，则k1?k2。反之，若k1?k2，则l1//l2。

于是我们得到，对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2有l1//l2?k1?k2

注意：若直线l1和l2可能重合时，我们得到

?l1//l2 k1?k2???或l1与l2重合若要用斜率证明三点共线时，就需要用到这个结论

例：已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论

练习:1.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0,0），B（2，-1），C（4,2），D（2,3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明

2.已知A(1，2),B(-1,0),C(3,4)三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？

?设两条直线l1与l2的倾斜角分别为?1与?2（?1，?2?90），如图，如果l1?l2，这是?1??2。由三角形任一外角等于其不相邻两锐角之和，即?2?90??1，因为l1，l2的斜率分别为k1,k2，且?2?90，由tan?2?tan(90??1)???

??1，得k1k2??1 tan?1如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直。即l1?l2?k1k2??1

例：已知A（-6,0）,B（3,6）,P（0,3）,Q（6,-6）,判断直线AB与PQ的位置关系

练习：1.已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）三点，试判断△ABC的形状

2.已知定点A（3,2），B（-2,4），试在y轴上求一点C，使得AC?BC，并写出C点的坐标

3.已知直线l1经过点A?3,a?，B?a?1,2?，直线l2经过点C(1,2)，D(?2,a?2) （1）若l1//l2，求a的值 （2）若l1?l2，求a的值

第13课时：直线的点斜式

思考：若直线l经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在直线上运动,则点P的坐标(x,y)满足怎样的关系式？

若直线l经过点P0(x0,y0)，斜率为k，则此直线的方程是：

由斜率公式得：k?y?y0，即y?y0?k(x?x0) ? x?x0

由上述推导过程可知： （1）过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l上每个点的坐标都满足方程y?y0?k(x?x0) （2）坐标满足这个方程?的每一点都在过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l上

方程?由直线上一定点及其斜率确定，我们把?叫做直线的点斜式方程，简称点斜式

l与x轴平行或重合倾斜角为0?，斜率k?0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是

y?y0?0,或y?y0

l与x轴垂直倾斜角为90?，斜率k不存在不能用点斜式求方程。因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x?x0?0或x?x0

例：经过l经过点P0?-2,3?，且倾斜角??45，求直线l的点斜式方程，并画出直线l

?

例：已知直线l过点A（3,4），B（1,0），用点斜式求直线l的方程

例：求过点A（1,2）且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程

练习：1.已知直线经过点P?-2,3?,斜率为２，求这条直线的方程

2.已知直线经过点P?-1,3? ，求

（1）倾斜角为0时的直线方程 （2）倾斜角为45时的直线方程 （3）倾斜角为90时的直线方程 （4）过点（3，-1）的直线方程

第14课时：直线的斜截式

思考：已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是点P（0,b），直线l的方程

??? 解：由直线的点斜式方程，得：y?b?k(x?0)，即y?kx?b 式中：b----直线l在y轴上的截距（直线与y轴交点的纵坐标） k----直线l的斜率

所以这个方程也叫做直线的斜截式方程

例：写出下列直线的斜率和在y轴上的截距 （1）y?3x?2 （2）y?3x （3）x?3y?2

例：已知直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2，试讨论： （1）l1//l2的条件是什么？ （2）l1?l2的条件是什么？

练习：1.写出下列直线的斜截式方程

3，在y轴上的截距是-2 2 （2）斜率是-2，在y轴上的截距是4

（1）斜率是

2.直线l在y轴上的截距为3，且倾斜角?的正弦值为

课后练习：

1.已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角

4，求直线l的方程 5

2.（1）已知直线l1经过点M（-3，0），N（-15，-6），l2经过点R（-2，

35），S（0，），试判断l1与l2是22否平行？

（2）l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问l1与l2是否垂直？

3.已知两条直线y?ax?2和y?(a?2)x?1互相垂直，则a等于 ( )

A．2 B．1 C．0 D．?1

4.已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值

5.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.

第15课时：直线的两点式

思考：1.已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），如何求直线l的方程

2.设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，（其中x1?x2,y1?y2），你能写出直线l的点斜式方程吗？

经过一点，且已知斜率的直线，我们可以求出它的点斜式方程。

y2?y1，任取P1，P2中的一点，例如：取P1(x1,y1)，由点斜式方程，得

x2?x1y?yy?y1?21(x?x2)

x2?x1y?y1x?x1当y1?y2时，可写为： ?y2?y1x2?x1这就是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1?x2,y1?y2）的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方

当x1?x2，所求直线的斜率k?程，简称两点式：

若P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1?x2或y1?y2时，直线P1P2没有两点式方程。当x1?x2时，直线P1P2平行于y轴，直线方程为x?x1?0，或x?x1；当y1?y2时，直线P1P2平行于x轴，，直线的方程为y?y1?0或y?y1

两点式方程可以写为（y?y1)(x2?x1)?(x?x1)(y2?y1)，此时对于任意的两点都可使用

知识链接：若点P1，P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y)，则

x1?x2?x???2，此公式为线段P1P2的中点坐标公式 ?y?y2?y?1?2?

例：三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程

练习：1.求过下列两点的直线的两点式方程

2.直线l经过M（0，1），且被直线l1：x-3y+10=0和l2：2x+y-8=0所截得的线段恰以M为中点，求直线l的方程

第16课时：直线截距式

思考：已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b)其中a?0,b?0，求这条直线l的方程

xyy?0x?a?，即??1

abb?00?a 我们把直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，上述由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程

解：将两点A(a,0)，B(0,b)的坐标代入两点式，得

例：求在x轴上的截距是2 ，在y轴上的截距是3的直线方程，并画出图形

练习：求在x轴上的截距是-5 ，在y轴上的截距是6的直线方程

例：求过点(0，5),且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程

例：求经过点P(?5,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程

练习：1.求过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程

2.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条，并求出它们的方程

3.直线ax?by?1(ab?0)与两坐标轴围成的面积是_____

4.过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有 条

5.已知直线l经过点P(?5,?4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．

第17课时：直线的一般式

任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0,y0)，当直线l的斜率为k时（此时直线的倾斜角??90），其方程为y?y0?k(x?x0)，这是关于x,y的二元一次方程

当直线l的斜率不存在，即直线l的倾斜角??90时，直线的方程为x?x0?0，该方程可以认为是关于x,y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0

对于任意一个二元一次方程Ax?By?C?0（A,B不同时为0） ?，

判断它是否表示一条直线，就看能否把它化成直线方程的某一种形式 当B?0时，方程?可变形为y????CAACx?，它表示过点(0,?)，斜率为?的直线

BBBB

由上可知，关于x,y的二元一次方程，它都表示一条直线。

我们把关于x,y的二元一次方程Ax?By?C?0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式

注意：1x的系数为正

2.x,y的系数及常数项一般不出现分数 3.按含x项，含y项、常数项顺序排列

例：已知直线经过点A（6，-4），斜率为-4，求直线的点斜式和一般式方程 3

例：把直线l的方程x?2y?6?0化成斜截式，求出直线l的斜率及它在x轴与y轴上的截距

练习：根据下列条件，求出直线的一般式方程 （1）经过点A（8，-2），斜率是-1 2 （2）经过点B（4,2），平行于x轴 （3）经过点P1(3,?2),P2(5,?4)

-3 （4）在x轴，y轴上的截距分别是，

总结：1.直线的一般式方程为Ax?By?C?0，其斜率为k??2.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 方程的形式 已知条件 限制条件 不包括垂直于x轴的直线 32A By?y1?k(x?x1) y?kx?b (x1,y1)为直线上一定点，k为斜率 k为斜率，b是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线 (x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线 y?y1x?x1?y2?y1x2?x1(其中x1?x2,y1?y2)

截距式 xy??1 aba是直线在x轴上的非零截距，b是不包括垂直于x轴和y轴或直线在y轴上的非零截距 过原点的直线 无限制，可表示任何位置的直线 一般式 Ax?By?C?0 (其中A,B不同时为0）A，B，C为系数 3.已知 l1:A1x?B1y?C1?0, l2:A2x?B2y?C2?0，则：

（1）l1?l2?A1A2?B1B2?0

A1B1C1； ??(A2,B2,C2不为0）A2B2C2ABC (3)l1与l2重合?1?1?1(A2,B2,C2不为0）

A2B2C2AB (4)l1与l2相交?1?1(A2,B2不为0）

A2B2 (2)l1//l2?

练习：1.已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线x?2y?1?0平行，则m的值为（ ） A.0 B.-8 C.2 D.10 2.直线(2m2?5m?3)x?(m2?9)y?4?0的倾斜角为 A.0

B.2

?，则m的值是（ ） 4

D2与3

C.-2

第18课时：直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点坐标

已知两条直线 l1:A1x?B1y?C1?0, l2:A2x?B2y?C2?0相交，如何求这两条直线的交点坐标？

填空：

几何元素及关系 点A 直线l 点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A 代数表示 A(a,b) l:Ax?By?C?0 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解

?A1x?B1y?C1?0一般地，将两条直线的方程联立，得方程组?

Ax?By?C?022?2若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，

此时两条直线平行

例：求下列两条直线的交点坐标：??l1:3x?4y?2?0

?l2:2x?y?2?0

练习：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标

（1）l1:x?y?0,l2:3x?3y?10?0

（2）l1:3x?y?4?0,l2:6x?2y?1?0 （3）l1:3x?4y?5?0,l2:6x?8y?10?0

2.两点间的距离

思考：已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1，P2的距离P1P2

如图，在Rt?P1QP2中，P1P22?P1Q?QP2

2222

由此可得到两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为P1P2?(x2?x1)?(y2?y1) 特别地，原点O（0,0）与任一点P(x,y)的距离OP?

例：已知点A(-1,2),B(2,7),在x轴上求一点P，使PA?PB，并求PA的值

x2?y2

例：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和

练习：已知A(4,-3)?B(2,-1)和直线l:4x?y?2?0，求点P使|PA|=|PB|,且点P在直线l上

3.点到直线的距离

思考：已知点P0(x0,y0)和直线l：Ax?By?C?0，如何求点P到直线l的距离

点P0到直线l的距离，是指从点P0到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足

AB，可得l的垂线P0Q的斜率为，因此，垂线P0Q的方程可以求BA出。直线P0Q与直线l的交点，即垂足Q点的坐标也可以求出。于是P0与Q间的距离P0Q可以求出，P0Q由P0Q?l，以及直线l的斜率为-的长即为点P0到直线l的距离。（上述方法虽然思路十分自然，但具体运算较繁）

如图，设A?0,B?0，则直线l与x轴和y轴都相交，过点P0分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R

和S，则直线P0R的方程为y?y0，R的坐标为(?(x0,?Ax0?CBy?C)。于是有P0R??0?x0?BABy0?C,y0)；直线P0S的方程为x?x0，S的坐标为AAx0?By0?CA22，

Ax0?By0?CAx?C，RS?P0S??0?y0?BBP0R?P0S?A2?B2Ax0?By0?C

AB设P0Q?d，由三角形面积公式可得：d?RS?P0R?P0S，于是得d?P0R?P0SRS?Ax0?By0?CA?B22。

因此，点P0(x0,y0)到直线l：Ax?By?C?0的距离d?时，上述公式也成立

Ax0?By0?CA?B22。可以验证，当A?0,或B?0例：已知点A（1，3），B（3,1），C（-1,0），求?ABC的面积

练习：1.点A(a,6)到直线x?y?1?0的距离为4，求a的值.

2.求过点A（－1,2），且与原点的距离等于

2的直线方程 2

4.两条平行直线间的距离：

直线 l1:Ax?By?C1?0, l2:Ax?By?C2?0，则 l1//l2，求l1和l2之间的距离？

例：已知直线 l1:2x?7y?8?0和l2:6x?21y?1?0，l1与l2是否平行？若平行,求l1与l2的距离

练习：求平行线2x?7y?8?0与2x?7y?6?0的距离

课后练习：

1.经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程

：2xy??2?0：xy??30?2.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l和l之间的线段AB恰被12P点平分，求此直线方程

3.一直线被两直线l1：4x?y?6?0，l2：3x?5y?6?0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.

4.求与直线l：5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线的方程.

5.求直线l关于直线l的对称直线方程 '：x???y20：3x???y30

第19课时：阶段测试

准高二年级数学第二期知识测试

题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分

阅卷人 一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下图所示的圆锥的俯视图为 （ ）

? ? A B C D

2.直线l:3x?y?3?0的倾斜角?为 （ ） A.30

?

B.60?

C.120?

D.150?

3.边长为a正四面体的表面积是 （ ） A.33a 4

B.33a 12

C.32a 4

D.3a2

4.对于直线l:3x?y?6?0的截距，下列说法正确的是 （ ）

A.在y轴上的截距是6 B.在x轴上的截距是6 C.在x轴上的截距是3 D.在y轴上的截距是?3 5.已知a//?,b??，则直线a与直线b的位置关系是（ ） A.平行

B.相交或异面

C.异面

D.平行或异面

6.已知两条直线l1:x?2ay?1?0,l2:x?4y?0，且l1//l2，则满足条件a的值为 （ ） A.?1 2

B.

12

C.?2

D.2

7.在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。若AC?BD?a，且AC与BD所成的角为60，则四边形EFGH的面积为 （ ）

? A.

32a 8

B.

32a 4

C.

32a 2

D.3a2

8.下列叙述中错误的是 （ ）

A.若P????且????l，则P?l B.三点A,B,C确定一个平面

C.若直线a?b?A，则直线a与b能够确定一个平面 D.若A?l,B?l且A??,B??，则l??

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