第六章 线性空间

I 第六章 线性空间

习题

1.,,.

,,,,.,M N M N M M N N M M N N M N M M N M N M M N M M N M N M N N ααααααα?==∈?∈∈??=∈∈∈?∈ 设证明：证明：取任意由可知从而于是有 又因为必有于是有

任取，则有或那么由可知必有成立，于是 .M N N N M N M N N ??= 又因为必有成立，因此

2.()()(); ()()().(1).();,()(). ()()(M N L M N M L M N L M N M L a M N L a M a N L a N L a N a L a M N a M L a M N M L M N L M N ==∈∈∈∈∈∈∈∈∈? 证明：证明：任取有且对于有或成立，那么必有或于是由此得)()(),() ()()()M L x M N M L x M N x M L x M x N x M x L x M x N L x M N L M N M L M N L ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈? 反之任取有或于是且或是且，即必有同时成立，于是 由此得

于是有

()()().

(2).().()()M N L M N M L x M N L x M x N L x M x M N x M L x M N M L x N L x N x L x M N x M L =∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈ 对任意必有或对于，可知 且于是

对于，可知且，那么且也成立，总之有 ()()()()().()(),,,().,()()()().(x M N M L M N L M N M L x M N M L x M N x M L x M x L x N x L N x M N L x M x M N L M N M L M N L M N ∈?∈∈∈?∈∈∈∈∈∈? 于是必有

对于任意必有且；若则必有且于是可得若那么也成立，故有 那么)()()L M N M L = 显然成立。

II 3.1).(1)(1)(1) 2.

2).(){()|()}.n n n n n n x x A n n A f A V f A f x A n n ≥++-+=?=?检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

次数等于的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和乘法；

解：否；两个次多项式的和不一定还是次多项式，如设是一个实矩阵，的实系数多项式的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；解：是；令是实系数多项式，为矩阵由矩阵的加法和数乘运算可知

()()(),()()

(),() ()(),()()f A g A h A kf A d A k h x d x V A V f x f x f A f A +==-- 其中为实数，是实系数多项式。

中含有的零多项式为的零元。以的各项系数的相反数为各项系数的多项式为则也有负元。易知矩阵的加法与数量乘法也满足其他各条。

()

3.(){|0}.

00000,,,,.1ij n n ij n V A A a a i j k A B V k P A B V kA V V V k A ?===<+==∈∈+∈∈=--）全体级实对称反对称，上三角矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；

解：是；仅以上三角矩阵进行证明。令

其中当 由于，；于是当必有于是对于加法和数乘封闭。由于零矩阵是一特殊的上三角矩阵可作为的零元；当时,可作为A V 的负元，且中每一元素都只有唯一负元。易证矩阵的加法和数乘也满足满足其他各条。

4.,()()2.αβαβαβααβαβααα-++-+++=）平面上不平行于某一向量的全体向量所组成的集合，对于向量的加法和数量乘法；解：否；对于向量，若不平行于则必有也不平行于，当时显然有平行于

III 11221212122111115. (,)(,)(,)

(1) (,)(,);2

a b a b a a b b a a k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+

）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

解：是；不难验证所给集合对于定义的加法与数乘封闭。对于加法22222(0,0)(,)(,).1(11)1(,)(1,1)(,),2

(1)((,))(,)2

(1)(1) (,[]())22

( (,a b a a b a b a b a a b l l k l a b k la lb a l l k k kla k lb a la kl kla klb ---=+=-=+--=++=+ 满足交换律与结合律；是其零元，任意的负元为对于数量乘法有：

22222221))(,)2

(1)(1)(,)(,)(,)(,)22

(1)(1) (,)22

()(1) ((),())2

kl a kl a b k k l l k a b l a b ka kb a la lb a k k l l ka la ka a la a kla k l k l k l a k l b a -=--⊕=+⊕+--=+++++++-=+++ 21122121212122211221112221 ()(,)

(1)[(,)(,)]((),()())2

(1)(1)(,)(,)(,)(,)22

(k l a b k k k a b a b k a a k b b a a a a k k k k k a b k a b ka kb a ka kb a ka =+-⊕=++++

+--⊕=+⊕+= 此外有而22221122122221212121212121212(1)(1),)22

(1)(1) ((),())22

((),(k k k k ka kb a kb a k a a k k k k k a a k b b a a a a k a a ka a k a a k b b a --+++++--=++++++-=+++2121211221122(1))())2[(,)(,)](,)(,).k k a a a k a b a b k a b k a b -++⊕=⊕ 于是由以上所证可知所给空间对于定义的加法和数乘构成线性空间。

6.0;10.

k a a == ）平面上全体向量对于通常的加法和如此定义的数量乘法 解：否因为 7).;

0.k a a a a ==≠ 集合与加法同6).数量乘法定义为 解：否；因为0

IV 18).,.

.;

.()()();

.111;

111 .:1; .1;

.(k R a b ab k a a i a b ab ba b a ii a b c ab c abc a bc a b c iii a a a iv a a a a a a

v a a a vi k l +⊕==⊕===⊕⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕⊕==⊕==== 全体正实数，加法数乘定义为解：是；

是零元：的负元为)()()();

.()()()()();

.()()().l l k lk kl k l k l k k k k k a k a a a a kl a vii k l a a a a k a l a k a l a viii k a b k ab ab a b a b k a k b +=====+====⊕⊕====⊕=⊕

4.1).00;

2).().

1).0()(())()

(1) [(1)]00.

2).()()k k k k k k k k k k k k k k k k k αβαβαααααααα

αααββαββ=-=-=-=+-=+-=+-=+-==-+=-+= 在线性空间中，证明：证明： ().

k k k α

αβαβ∴-=- 2225.1,cos ,cos 2cos 22cos 1

1,cos ,cos 2t t t t t t =-∴ 证明：在实数域中是线性相关的。

证明：实数域中是线性相关的

12312312311223312316.(),(),()[](),(),(),,()()()0,,0.f x f x f x P x f x f x f x k k k k f x k f x k f x k k k k ++=≠如果是线性空间中三个互素多项式，但其中任意两个都不互素，求证：它们线性无关。

证明：由题意可知都不能为零。设使得 若不全为零那不妨设于是可得 321231123123123123123()()()(),()()(),()(),(),(),,(),(),()k k f x f x f x k k f x f x f x f x f x f x f x f x k k k f x f x f x =-- 这说明的因式都是的因式，这与不互素而互素相矛盾。于是必有全为零，即线性无关。

V 41234123411223344127.,,,1).(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1);(1,2,1,1),1 P k k k k k k k ξεεεεεεεεξξεεεε==--=--=--==+++=++有中求向量在基下的坐标，设

解：设比较可得：

3412341234

1234

12341234211541

4 1

414

5111,,,(,,,).4444k k k k k k k k k k k k k k k k k ξεεεε+??=+--??=-+-??=--+??=???=???=-???=-?--于是

于是在基下的坐标为

123411223344123123424

122).(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1);(0,0,0,1),020 031k k k k k k k k k k k k k k k k εεεεξξεεεε====--==+++=++=++-=-=+-解：设比较可得：

4

12341234101

,,,(1,0,1,0).

k k k k ξεεεε???????=??=??=-??=?-于是

于是在基下的坐标为()11

28.1).;

10(,1,2,,),.

(,1,2,,).n n ij ij n n ij n n n n ij ij i j n n ij P P E i j E i j n A a P A a E E i j n P n ???==?==∈==∑∑ 求下列线性空间的维数与一组基。

数域上的空间解：令是第行第列的元素为而其余元素为的方阵，易验证线性无关，且对任意向量总有

于是可作为的一组基，其维数为

VI ()1112222.(). ,,;,,;;,,n n ii ij ij ji ij n n nn ij ij ji n n P P i E i j F E E i j

F F F F F F A a a a ??=??=?+≠??== ）中全体对称反对称，上三角矩阵做成的数域上的线性空间；解：

令

则是对称矩阵，且易验证是线性无关的。对任意对称矩阵其中有 1111222,

,,;,,;;(1).2

n n ij ij i j i

n n nn n n A a F F F F F F n n P ==?=+∑∑ 于是

可作为中全体对称矩阵的一组基，维数为

1212321,111222.();,,;,,;;(1).2.,,;,,;;ij ij ji n n n n n n n n nn n n ii G E E i j G G G G G n n P iii E E E E E P -??=-<- 解：可令检验易知

是中全体反对称矩阵的一组基，维数为

解：取

检验可知其为中全体上三角称矩阵的一组基，(1).2n n +维数为

VII 22324.100 00,001, 1 3 31 n A A n m n m n ωωωωωωωω?? ?== ? ???

=====+）实数域上由矩阵的全体实系数多项式组成的空间，其中

解：因为于是 2232222123;

32100 300, 31,

00 32(),,,,0.

n m E n m A A E A A n m A n m f A E A A E A A k E k A k A ωω????=+?

?=??? ?====+? ?? ?=+???

++=那么

，从而任意可以表示为的线性组合。下证的线性无关。设

有 12321232123123222200,0

,,1

1113(1)0,

1,,,,.

k k k k k k k k k k k k E A A E A A ωωωωωωωωωω

++=??++=??++=?=-≠ 这个关于的方程组的系数行列式为

于是该奇次方程组仅有零解，因此的线性无关。那么该空间是三维的，一组基可为

VIII 41234123411223349.,,,,,,1).

(1,0,0,0)(2,1,1,1)(0,1,0,0)(0,3,1,0) ,(0,0,1,0)(5,3,2(0,0,0,1)P εεεεηηηηξεηεηεηε==-??==??==??=?在中，求由基到基的过渡矩阵，并求出向量在所指基下的坐标。

4123412341234123412341234,1)

(6,6,1,3)

(,,,),,,,,,,,,20561336;1121101

3(,,,),,,x x x x A x x x x ηξηηηηεεεεηηηηξηηηη??????=?=?? ? ?= ?- ???=求在基下的坐标。

解：易求得从基到基的过渡矩阵为：

那么在基下的坐标为 121341,411119391

4123279327.1

2003371

126279327x x A x x A --?? ? ? ? ???

??-- ? ? ?-- ?= ? ?- ? ? ?--?? 其中

IX 1122334412342).

(1210)(2,1,0,1)(1111)(0,123) ,(1211)(2112)(1101)(1312)(1000),,,εηεηεηεηξεεεε=-=????=-=????=-=-????=--=??=，

，，，，，，，，

，，，，，，，，，

，，求，，，在基下的坐标123412341121314112223242131121314112223242112131122232213141223242(,,,)(,,,).202122122 ,,0212A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ηηηηεεεε==+--=+---=+????=-+-=-+-????=-++=-++????=++=++??。

解：设于是对比可得：

233343132333431323332333431424344414243444142434243444

11121314212223243132333122,121322,12a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a a a a --??=-+-??=-++??=++?=+--??=-+-??=-++??=++?=及可以解得 441

4243441122334412341234123

234

10011101.01110010,102200a a a a k k k k k k k k k k k k k k k k k k ξεεεε???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????=+++=+--??=-+-??=-++??=++?设可得

于是有 123412343135

13.2133133523(1000),,,(,,,).13131313k k k k ξεεεε?=???=???=-???=-?

=-- 那么，，，在基下的坐标为

X

112212343344(1,1,1,1)(1,1,0,1)(1,1,1,1)(2,1,3,1)3).,(1001),,,(1,1,1,1)(1,1,0,0)(1,1,1,1)(0,1,1,1),371442A εηεηξηηηηεηεη==????=--=??=-??=--=????=--=--??=，，，在基下的坐标。解：如上题可以解得

112233*********

23124

11411134

424.131********

4

4

4,120031k k k k k k k k k k k k k k k k k ξηηηη-?? ? ?- ? ?

? ?-- ? ? --???

=+++=++??=+++??

=-??-=+-?=设可得

那么

2341234212

.

432

13

(1000),,,(2,,4,).

22

k k k ξηηηη-??

?=-??=??=-??=---于是，，，在基下的坐标为

XI

1234123412341134

21234

312344134

10.,,,,,,(,,,)256336 23x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ξεεεεηηηηξ==++??=+++??

=-+++??=++?继第9题1)求一非零向量，它在与下有相同的坐标。解：设则有：

那么

134

1234

1234134

0560236;

00210561

5

610

5

61

2360

2200

11011110

1670

077101200440000x x x x x x x x x x x x x x A =++??=+++??=-+++??=++?????? ?

?

--

? ?=→

→

? ?- ?

?--????? 这个奇次方程组的系数矩阵为 12

3410010110 ,

00110

000()x c x c c x c x c

??

? ?

?

???

?

- ?

→ ?

?

??

=-??=-??=-??=?于是可得通解

为非零常数，

11.证明：实数域作为它自身上的线性空间与第3题中8)中的线性空间同构。

证明：显然它们都是一维线性空间，故同构(定理12)。

121212121112121222112.,.dim ,,,,,,dim dim r

r V V V V V V V V V V r V V V V r V V r αααααα?==?== 设都是线性空间的子空间，且，证明：若的维数和的维数相等，那么证明：设，取的一组基为

由于，于是也是中的一组个线性无关的向量组;又因为 1222121,

,,,(,,,),r r V V L V αααααα== 于是也是的一组基，因此得证。

XII 13.;

1).();

2).();

3).1000200

0()1).()(),() n n n n A P A P C A A E C A A n C A E C A C A B D C A k P ??∈=?? ? ?= ? ???

∈∈∈ 设证明：全体与可交换的矩阵组成的子空间，记为当时求当

时，求和一组基。解：由于，故非空。对于任意及任意有 ()() ()().(),()2).();

3).n n n n A B D AB AD BA DA B D A A kB AkB kAB kBA kB A B D kB C A C A P A E C A P A ??+=+=+=+====+==于是，都属于那么是的子空间。

当时,设与可交换的矩阵为

()

11225(),,,ij n n nn

B b B A

C A n E E E ?= 则由第四章习题可知为对角形矩阵，同时可知所有对角形矩阵与都可交换。故的维数为，可取

作为它的一组基。

11122210014.010,312100100000010010000312001311()(n n A P A A A E S

a b c B a b c A AB BA E S B B E S a b c ??? ?= ? ???

?????? ? ? ?==+=+ ? ? ? ? ? ???????

?? ?==+=+ ? ???

设求中与可交换的矩阵所称的子空间的维数和一组基。解：可将分为

设与可交换，即有，于是111121212222);00030

00,3.3333SB BS c c c SB BS c c c a a a b b b c c c c c c =???? ? ?== ? ? ? ?++++++?

???易知必有成立，由于

比较可知

XIII 1122122122

122122122

122

003333330

,730

11

33

11

1

333c c a a a c b b b c c c c c a a a c b b b c a a a c b b b c =??=??++=??++=??++=?++-=??++-=??

=--+???=--+? 整理可得解这个含有个未知量的奇次方程组可得 1352451211223344553451231

1

1110333330111000000333100010000000000100 t t t t t t B t t t B t B t B t B t B t t t B B B ????

--+--+ ?

?

==++++ ? ?

???

??????

--- ?

? ? ? ? ?

=== ? ? ? ?

? ?

? ? ???????

于是

；

其中，，，

4511

001033 00

0000010001B B ????- ? ?

? ?

== ? ? ?

?

? ?????，。

1231313115.0,0,(,)(,).

00,,,,,,,(,)(,)c c c c c L L c c c L L αβγαββγαβγαββγβγαβαββγαββγ++=≠=≠≠=如果且证明：证明：

由可知于是可被，线性表出，于是可被线性表出；同理可知可被线性表出。那么与等价，于是必有。

XIV 4112233

4412316.(1,2,3,4)(2,1,3,1)(2,1,3,1)(1,2,0,1)(1,1,3,1)1)., 2)..(1,1,3,0)(4,5,3,1)(1,1,1,1)(1,5,3,1)

1).i P i αααααααααααα===-????==--????=--=-????==-??在中求向量生成的子空间的基与维数，设解：

423412342131011101110000120101100110011011300221000100011111111111111111(1,2,3,4),,, 3.2).i i ααααααααα----?????????? ? ? ? ? ?--- ? ? ? ? ?=→→→ ? ? ? ? ?--- ? ? ? ? ??

?????????=?? ? ? ? ??于是生成的子空间的基可为基为12213103310331113111311131453109930000153106620000(1,2,3,4),,.i i ααα---?????? ? ? ?------ ? ? ?=→→ ? ? ?--? ? ? ?--?

?????=于是生成的子空间的基可为基为2

1234412341

234343254017.3330351311032543254325431330387038735131103870000(0,1)(,)(1x x x x P x x x x x x x x A x x +-+=??-+-=??+-+=?---?????? ? ? ?=--→--→-- ? ? ? ? ? ?--??????=在中求其次线性方程组确定的解空间的基与维数。

解：系数矩阵为

取12,,0)18(,,1,0)9327(,,0,1)93ββ???

?=-????=-??

可得基础解系为 此即解空间的一组基，维数为2.

XV 1122

1122118.(1,2,1,0)(2,1,0,1)1).,.(1,1,1,1)(1,1,3,7) i i i i k k l αβαβαβγαβγαα==-????=-=-??=+=求由向量生成的子空间与向量生成的子空间的交的基和维数，设：解：设既属于由向量生成的子空间也属于向量生成的子空间，可令：12211221122121212121222120,2020 30

70

l k k l l k k l l k k l l k k l k l l ββααββε++--=---=??+++=??+-=??--=?=于是那么对比可知:

可以求得这个奇次方程组的基础解系为

12(1,4,3,1). 4(5,2,3,4),i i αβγαα--=-+=- 那么由向量生成的子空间与向量生成的子空间的交的基为：这个交是一维的。

11221122314211223142(1,1,0,0)(0,0,1,1)2).,.(1,0,1,1)(0,1,1,0)

0, i i k k k k k k k k αβαβγαβγααββααββ==????==??=+=++--=解：设既属于由向量生成的子空间也属于向量生成的子空间，可令：于是那么对比可知:

12114223432340000 00

0i i k k k k k k k k k k k k k αβ+==????-==?????--==????-==??因此由向量生成的子空间与向量生成的子空间的交仅有零向量，它是零维的。

XVI

1122

3

112233415211(1,212)(2,5,6,5)3).(3,1,1,1),.

(1,2,7,3)(1,0,1,1) i i k k k k k k k αβαβαγαβγαααββα=--?=--??

=??=--??=--?=++=--+，

，解：设既属于由向量生成的子空间也属于向量生成的子空间，可令：于是22334155123451245

12345123450,3202520 6702530

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ααββ+++=+-+-=??+++=??

-++--=??-+--+=?那么对比可知:可以解得这个方程组的基础解系为

12(3,1,2,1,0)

3(2,5,6,5)i i εαβγαα=---=-=-- 那么由向量生成的子空间与向量生成的子空间的交基为：它是一维的。

12121212121211219.00.

0(1,1,0,,0)(1,0,1,,0);

(1,0,0,,1)

0n n n n n n V V x x x x x x P V V x x x x x x ααα-+++======⊕+++==-??=-?

???=-?==== 设与分别是奇次方程组与的解空间，证明：证明：方程组的基础解系为 方程组的基础解系为

1121

12112(1,1,1,,1).110001010010000(1)0.

10

010

1

11

1

1

1

,,,,.dim n n n n n n P P V V P βαααβαααβ---=----=

=-≠--=+

由于

因此线性无关，可作为的一组基；于是必有另外由于 1212dim dim .

n n V V P V V =+=⊕于是有

XVII

12111121112211122111121111212111211120.,..dim dim dim dim dim dim dim dim dim dim V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V =⊕=⊕=⊕⊕=++=⊕=+=+=++=⊕证明：如果，那么有证明：易知由可知 同理可知.于是有

那么122V V ⊕显然成立。

1231231231221,,,,()(1,2,3,,) ()()()()(,,,,) dim ()dim (n i n n n n n L i n n L L L L L V L L ααααααααααααααα=++++==+ 证明：每一个维线性空间都可以表示成个一维子空间的直和。

证明：设是某一维线性空间的一组基，显然都是这个维线性空间的一维子空间，那么有：

且

3123123123)dim ()dim ()dim (,,,,)dim (,,,,)

()()()()

n n n n L L L V V L L L L L αααααααααααααα+++====⊕⊕⊕⊕ 于是

1

1

1

1

112121211111

1

1

22.{0}(1,2,3,,).

{0}(1,2,3,,)

.{0}; . .,{0},s

i i i j i j i i j j k

i i k k k i k i k j i i i j i V V V i n V V i n iV V V V V V ii V iii V V V V V V -==-==+++========?+=⊕=+=∑∑∑∑∑∑∑ 证明：和是直和的充要条件是：证明：充分性。

因为所以假设是直和；

由于故有1111

1

1

1

12311

1

1

1

1

1

.

{0},{0}(1,2,3,,).

k k k

k i k i i i k i k k i s

i i i i i j i j i j j j i

j V V V V V V V V V V V V V V V V V i n +++===++==--=≠==+=⊕=⊕⊕⊕⊕⊕?===∑∑∑∑∑∑∑∑ ，

再由假设可知由数学归纳法可知和是直和。

必要性。

由于于是

XVIII 3312312123

23..

1).2).,,.,3).,,,R R L L L L L L L L U V X Y +++在给定的空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量添上零向量构成了一个三维线性空间问所有终点都在一个平面上的向量是否构成的子空间；

没有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间问 能够成哪些类型的子空间；

就用几何空间的例子来说明：若121212123123,.

1).2. , , ,, U V X X Y

Y Y U Y V L L l l l l L L L l l l +=?=++++ 是子空间，满足

问是否一定有解：否；这个集合对加法与数量乘法都不封闭。

）对于：

若重合，则是一维子空间；

若不重合，则是二维子空间。

对于：

若三者重合，则是一维子空间；

123123 ,, ,,3).,;{0},{0}.

{0}{0}.l l l l l l X Y U V X XOY XOY X Y Y Y U Y V Y ==+≠ 若处于同一平面但不全重合，则是二维子空间；

若不在同一平面内，则成三维空间。

否；取轴轴分别构成子空间则为子空间平面，取内轴轴的且过原点的某直线为子空间，则有

显然 补充题

XIX

11111212121.1).[] ()()()(),1,2,3,,(1,2,3,,)2).1),,,1,,,,,,1),,,n i i i n i n n n n P x f x a x a x a x a i n a i n a a a n x x f f f f f f -+-=----== 证明：在中，多项式

是一组基，其中是一组互不相同的数；

在中取是全体单位根，求由基到的过渡矩阵。解：只需证明123112211121111123,,,,0.

()0,()()0,00.n n n n k k k k k f k f k f a f a f a f a k f k k k +++=≠====?==== 线性无关即可。设存在一组数使得

取代入等式左边，由于而于是有 同理可得

122112321

1123221

22432

0.,,,2.1,,,,,22cos sin .11111n n n n n n n n n n n n n n n k f f f a a a a i n n

x f x x x x x f x x x x x x f x εεεππεεεεεεεεε---------======+-==++++--==+++++--==+- 于是线性无关。）令

其中则有

622212321211

11212224423

66

3

2

2

1,11,,,,,,1111111

n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x f x x x x x x x f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε----------------??

?

???

?

++++????-?==+++++?-??

于是由基到的过渡矩阵为： .1

1?? ? ? ?

? ? ?

? ??

?

XX 121212*********.,,,(,,,)(,,,).

(,,,)(,,,),(,,,)

;,,,n s n s s n n n V A n s A L A B P B PA n αααβββαααββββββαααααα?==== 设是维线性空间的一组基，是一矩阵。如果

证明：的维数等于的秩。

证明：令矩阵

于是有由于是维线性空间12()(,,,).

()()().n V P r n P B A B A ααα=== 的一组基，可得

秩那么为可逆阵，因此秩秩成立。于是矩阵的列向量的秩也等于秩得证。

121121121213.(,,,)(||)(2

)(,,,)(,,,)0.

(,,,),;||||,1,(||);2

n n n n n f x x x n R n s V s x x x V f x x x f x x x p q q p s q p n s p Y CX -∈=-=≤-== 设是一秩为的二次型，证明：存在的一个维的子空间其中为符号差，使对任意一都有证明：设二次型的正惯性指数为负惯性指数为显然不妨设

于是那么必有非退化的线性替换使得 22

221112()()(10001000) (01000100) p p p q p q p q

f X

g Y y y y y εε++==++---==

.

令: 312 (00100010) (0001000100),,,(1,2,p q

p p p s

p i i C i εεεεεεα====

显然是线性无关的，解方程组1211212121201201122,)(,,,).(,,,)(,,,).(,,,)1(,,,)(||).2

(,,,),,p p p p p p p p p C L p n s X L X k k k Y CX ααααααεεεαααεεεαααααα-===

-∈=+++= 可得向量组易得由上题可知的维数等于

秩对于任意的，有将此代入可得 1100112200.00()()0.p p p p k k k Y CX k C k C k C k f X g Y ααα?? ? ? ? ? ?

?==+++= ? ? ? ? ? ???

== 于是有得证。

XXI 1212

1111222211212114.,,,,.V V V V V V V V V V V V V V V ααααααααααααα??????=+∈∈?设是线性空间的两个非平凡子空间，证明：在中存在使得 同时成立。

证明：由于是线性空间的非平凡子空间，于是必有向量成立，若此时也成立则得证；否则，显然也存在若成立，则得证； 否则取若，则可得到，矛盾；故。同理2V α?；得证。

1212121125.,,,,,, .2 . .11,,,,,,,,s s k k k V V V V s V V V V i s ii s k iii s k V k V V V V V V V α+===++ 设是线性空间的个非平凡子空间，

证明：至少有一个向量不属于中的任何一个。

证明：使用数学归纳法。

当时,上题已证得。

假设当时，所证成立。

现证时也成立。

对于的个非平凡子空间由假设可知存在一个向量同时不属于中11112 ,2,3,,(1),,,(1),(0k k k k j V V V k V V V V j k m αβαβαβαβαβ

α+++??+++++≤≤< 的任何一个，此时若有则得证。

否则，对于非平凡子空间可取，可取；考察这些向量：我们说其中必有一个不属于子空间中的任意一个，否则必有至少两个同时属于某一个从而这两个向量的差1211

),,,()j j k k k m k V V l V V V l V l l V ααβαβαβαβ++≤?++?+-=? 也属于，这显然与矛盾。 可设不属于中的任意一个，显然也有；否则 于是得证。

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