医用物理学几何光学习题解答

医用物理学几何光学习题

解答

The latest revision on November 22, 2020

第十一章 几何光学

一、内容概要

【基本内容】

1. 单球面折射公式

r n n p n p n 1221'-=+ （1）近轴条件

（2）符号规定：凡是实物、实像的距离，p 、'p 均取正值；凡是虚物、虚像的距离, p 、'p 均取负值；若是入射光线对着凸球面，则r 取正值，反之，若是入射光线对着凹球面，则r 取负值．

2. 单球面折射焦距 r n n n f 1211-= r n n n f 1222-= 3．折射面的焦度 r

n n Φ12-=或2211f n f n Φ== 4. 单球面折射成像的高斯公式（近轴）

1'21=+p f p f 5．共轴系统成像规则 采用逐次成像法，先求出物体通过第一折射面后所成的像I 1，以I 1作为第二折射面的物，求出通过第二折射面后所成的像

I 2，再以I 2作为第三折射面的物，求出通过第三折射面所成的像I 3，依次类推，直到求出最后一个折射面所成的像为止．

6. 薄透镜成像

（1）成像公式 )11('112

100r r n n n p p --=+ （2）焦距公式 12

100)]11([---=r r n n n f （3）空气中 121)]11)(

1[(---=r r n f （4）高斯公式 f

p p 1'11=+ 7. 薄透镜组合 21111f f f += 或 21ΦΦΦ+=

8. 厚透镜成像 采用三对基点作图

9. 透镜的像差

远轴光线通过球面折射时不能与近轴光线成像于同一位置，而产生像差，这种像差称为球面像差．

物点发出的不同波长的光经透镜折射后不能成像于一点的现象，称为色像差．

10. 简约眼 生理学上常常把眼睛进一步简化为一个单球面折射系统，称为简约眼. 11. 能分辨的最小视角

视力1= 最小视角以分为单位．例如医学视力表，最小视角分别为10分，2分，1分时，其视力分别是，，．标准对数视力表，规定 θlg 5-=L ，式中视角θ以分为单位．例如视角θ分别为10分，2分，1分时，视力L 分别为，，．

12．近视眼和远视眼 当眼睛不调节时，平行入射的光线，经折射后会聚于视网膜的前面，而在视网膜上成模糊的像，这种眼称为近视眼，而成像在视网膜后，这样的眼称为远视眼．

11. 放大镜的角放大率 f

y f y a 2525//==

12. 显微镜的放大率 （1）理论放大率 2

'2'2525f y y y f y M ?=?= 其中y y /'为物镜的线放大率（m ），2/25f 为目镜的角放大率（a ） （）实际放大率2

1212525f f s f f s M =?= 式中s 为显微镜与目镜之间的距离；f 1为物镜的焦距；f 2为目镜的焦距。

13.显微镜的分辨本领－瑞利判据

显微镜的分辨本领β

λsin 61.0n Z = 提高分辨本领方法 （1）增加孔径数 （2） 短波照射法

14. 特殊显微镜偏光显微镜、电子显微镜、超声显微镜、激光扫描共聚焦显微镜。

【重点提示】

1. 单球面折射

2. 共轴球面折射系统

3. 薄透镜的成像规律

4. 薄透镜组合

5. 放大镜、显微镜的放大率

6. 显微镜的分辨本领．

7. 非正常眼屈光不正的矫正法．

【难点提示】

1.厚透镜成像作图

2.显微镜原理．

3.显微镜分辨本领推导

二、学习园地

【历史趣闻】

1904年诺贝尔物理学奖授予英国皇家研究所的瑞利勋爵（L ord

R ayl ei gh ,1842—1919）,以表彰他在研究最重要的一些气体的密度以及在这些研究中发现了氩.瑞利以严谨、广博、精深着称,并善于用简单的设备作实验而能获得十分精确的数据.他是在19世纪末年达到经典物理学颠峰的少数学者之一,在众多学科中都有成果,其中尤以光学中的瑞利散射和瑞利判据、物性学中的气体密度测量几方面影响最为深远.

1986年诺贝尔物理学奖一半授予德国柏林弗利兹-哈伯学院（F riz e-

H abe r-Institut der Max-Planck-G ese l lsc haft）的恩斯特.鲁斯卡（Ernst Ru ska,1906—1988）,以表彰他在电光学领域作了基础性工作,并

设计了第一架电子显微镜；另一半授予瑞士鲁西利康（Ru schli kon）I BM和瑞士物理学家罗雷尔（H ein r ich Ro hre r,1933—）,以表彰他们设计出了扫描隧道显微镜.

1953年诺贝尔物理学奖授予荷兰格罗宁根大学的泽尔尼克(Frits

Z ern ik e ,1898—1966),以表彰他提出了相称法,特别发明了相称显微镜.相称显微镜是一种特殊的显微镜,特别适用于观察具有很高透明度的对象,例如生物切片、油膜和位相光栅等等.光波通过这些物体,往往只改变入射光波的位相而不改变入射光波的振幅,由于人眼及所有能量检测器只能辨别光波强度上的差别,也即振幅上的差别,而不能辨别位相的变化,因此用普通的显微镜是难以观察到这些物体的.

【医学应用】

1. 利用透镜的汇聚或发散作用，矫正非正常眼。

2. 电子显微镜对使基础医学研究从细胞水平进入到分子水平，可以研究光学显微镜下所不能分辨的微小细节，迅速确定生物分子及脱氧核糖核酸（DNA）的详细结构，也可以看到病毒和细菌的内部结构等．

3. 超声显微镜（简称声镜）．它是用超声束代替光束的一种显微镜．用它来观测生物组织切片或样品无需透光，无需染色，对样品无损坏，能观察到光学显微镜无法分辨的内部微小结构，并可进行活体观察，放大倍数达五千倍左右．

4. 激光扫描共聚焦显微镜是在荧光显微镜成像的基础上加装了激光扫描装置。使用紫外光或激光激发荧光探针，可以得到细胞或组织内部微细结构的荧光图像，从而可以观察细胞的形态变化或生理功能的改变，能产生真正具有三维清晰度的图像，同时可在亚细胞水平上观察诸如C a2+、pH值和膜电位等生理信号及细胞形态的实时动态变化。激光扫描共聚焦显微镜成为形态学、分

子细胞生物学、神经科学、药理学和遗传学等领域中新的有力研究工具，在基因芯片，克隆技术中都有较好的应用．

三、典型例题

例题1. 有一折射率为的玻璃棒，一端为r =30m m 的抛光凸球面，另一端为磨砂的平面。试问该棒长为多少时，正好使无限远处物体经球面后清晰地成像在磨砂平面上。

分析：这是单球面折射成像问题，题中无限远处物体可看成平行光线。 解：如图所示，已知 11=n ，54.12=n ，r =+30mm ， ∞=p

根据单球面折射公式得

解得 mm 6.85'=p

因为像距为正值，所以是实像点，在凸球面后处。

例题2. 一根折射率为的玻璃棒，在其两端磨圆并抛光成半径为5cm 的半球面。当一物体置于棒轴上离一端20cm 处时，最后的成像在离另一端40cm （棒外）处，求此棒的长度。

分析：这是共轴球面系统问题，在玻璃棒两端两次应用单球面成像公式。 解： 对第一折射面 11=n ，50.12=n ，cm 201=p ，cm 51=r ，I 1为像点

根据单球面折射公式 5

150.1'50.12011-=+p 解得 cm 30'1=p （像点I 1在第一折射面后30cm 处）

由于不知像点I 1在玻璃棒内还是在棒外，这里设第二折射面的物距为2p ，棒长为l ，对第二折射面 50.11=n ，12=n ，cm 40'2=p ，cm 52-=r ，

根据单球面折射公式 5

150.140150.12--=+p 解得 cm 202=p

由于2p 为正直，说明I 1对第二折射面而言是实物，所以说明经第一折射面后

的像点I 1在玻璃棒内，故此可得玻璃棒的长度l

例题3. 离水面100c m 深处有一条鱼，现用cm f 5.7=的照相物镜拍摄此鱼，照相物镜的物焦点离水面100c m ，求：

（1）鱼像成在透镜外何处

（2）此系统的横向放大率为多少

分析：鱼经水面折射成像为单球面成像，再经照相物镜成像为薄透镜成像问题。

解： （1）鱼像成在透镜外何处 由题意可知，鱼成像分两部分，鱼先经水面成像，由于水面是平面，所以有 ∞=r 代入单球面折射公式可得

0'1=+p p n cm 7533

.1100'-=-=-=n p p (像成在水面下75cm 处) 鱼经水面后的像再由照相物镜成像,此时物镜的物距为

cm 5.182751005.71=++=p ,所以有

即此鱼在照相物镜后处成像。

（2） 系统的放大率

系统的放大率就等于物镜的放大率

例题4. 一远视眼的近点在眼前120cm 处，今欲使其看清眼前12cm 处的物体，问应配戴多少度的凸透镜

分析：欲使远视眼患者眼睛在不经过调节的情况下，能看清近点以内的物点，必须使近点以内的物点，在通过所配的眼镜后成像在远视眼的近点处。

解： 患者所配戴的眼镜应使12c m 处的物体成像在他的近点上，即120c m 处，所以 m 12.0cm 12==p ，m 2.1cm 120'-=-=p ，代入薄透镜成像公式得

例题5. 用孔径数为的显微镜去观察μm 3.0的细节能否看清若改用孔径数为的物镜去观察又如何设所用光波波长为600nm 。

分析：在入射光波的波长不变的情况下，显微镜的分辨本领只与物镜的孔径数有关。

解： 由题可知 75.01=?A N ，2.12=?A N ，nm 600=λ，μm 3.0=Z

由于Z Z >1，所以用孔径数为的显微镜不能分辨清μm 3.0的细节。

由于Z Z =2，所以用孔径数为的显微镜刚好能分辨清μm 3.0的细节

四、习题解答

11-1 单球面折射公式的试用条件是什么在什么条件下起会聚作用什么条件下起发散作用

答：单球面折射公式的试用条件是近轴光线成像。如果来光对着凸球面，物方介质折射率大于像方介质的折射率时，有发散作用，否则，有会聚作用；如果来光对着凹球面，则物方介质折射率大于像方介质的折射率时，有会聚作用，否则，有发散作用。

11-2 为什么人眼在水中时，角膜将失去其大部分聚焦本领

答：人眼可以简化为单球面折射系统，当在水中时，眼周围介质水的折射率大于空气介质的折射率，所以角膜将失去其大部分聚焦本领。

11-3 薄透镜的焦距是否与所在的介质有关同样一个给定的透镜能否在一种介质中起会聚作用，而在另一种介质中起发散作用

答：有关；能。

11-4 显微镜的放大倍数越大，是否其分辨本领越高

答：不是，因为分辨本领的大小只决定于物镜，与目镜无关。

11-5 电子显微镜与普通光学显微镜的主要区别

答：电子显微镜用波长很短的电子射线代替可见光制作成的普通显微镜。 11-6 一直径为20cm ，折射率为的球内有两个气泡，看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好象在球面表面和中心的中间，求两气泡的实际位置

解：根据物、像符号规则，图11-1中A 、B 为实物，A ′、B ′为虚像，0

n 1=，n 2=1。

对气泡A ，cm 10'-=p ，cm 10-=r ，

应用单球面成像公式有 所以得cm 10=p ,即A 泡距球心距离为0c m 。

对于B 泡n 1=，n 2=1，cm 2/10'-=p ，cm 10-=r ，应用单球面成像公式有 所以 cm 05.6=p ，距离球心为=

11-7 某透镜用n =的玻璃制成，它在空气中的焦距为，在水中的焦距为多少（水的折射率为4/3）

解：已知n =，34/'n =，空气中f =10c m ，水中焦距为'f

依据薄透镜焦距公式 12

1)]11)(1[(---=r r n f 11-8 圆柱形玻璃棒（n =）的一端是半径为2cm 的凸球面，求在棒的轴线上离棒端8c m 处的点物所成像的位置。若将此棒放入水中（n =4/3），问像又在何处

解：已知n =，cm 2=r ，cm 8=p ，3/4'=n ，代入单球面成像公式

r n p n p 1'1-=+ 代入数值得 2

150.1'50.181-=+p 解得 cm 12'=p ，在空气中成像于棒内距端头12c m 处。

若放入水中 r n n p n p n ''''-=+ 代入数值得 2

3/450.1''50.183/4-=+p 解得cm 18''-=p ，在水中成像于端头左侧18cm 处，为一虚像。

11-9 折射率为的平凸透镜，在空气中的焦距为50cm 。求凸面的曲率半径

解：已知透镜的折射率5.1=n ，空气的折射率10=n ，透镜的焦距

cm 50=f 。设透镜的曲率半径分别为21r r 和。

由透镜焦距公式： 12

1)]11)(1[(---=r r n f ，由于∞=2r ，所以 解得： cm 251=r A B

A ’ 图11－1 习题11－6

11-10一薄透镜的折射率为，光焦度为，将它浸入某液体，光焦度为－。求此液体的折射率。

解： 已知 n =,1Φ=,D 00.12-=Φ，设液体折射率为液n ，透镜两个折射面

的半径为21r r 和。

在空气中 D 00.5)11)(1(12

111=--==r r n f Φ 在液体中 D 00.1)11)((12

122-=--==r r n n n f Φ液液 比较上述两式得 液

液n n n n ΦΦ--=-=)1(D 00.521 解得： 67.1=液n

11-11 使焦距为20cm 的凸透镜与焦距为40cm 的凹透镜密接，求密接后的焦度

解：设凸透镜的焦距为cm 201=f ，凹透镜的焦距为cm 402-=f ，密接后的焦度为Φ。

由透镜组合 D 5.24

.012.011121=-+=+=f f Φ 解得：密接后焦度为。

11-12 一个焦距为15cm 的凸透镜与一个焦距为10cm 的凹透镜相隔5cm 。物体发出的光线先通过凸透镜，再通过凹透镜，最后成像于凸透镜前15cm 处。问该物体位于凸透镜前多远

解：物体通过凸透镜成像，设物距为u 1，像距为v 1，焦距为f 1

根据透镜成像： 1111'11f p p =+ 得 15

1'1111=+p p （1） 像v 1通过凹透镜成像, 设物距为p 2，像距为p 2’，焦距为,f 2

根据透镜成像： 2221'11f p p =+ 得 101515112-=+-+）（p （2）

解得202-=p cm ，说明物体通过凸透镜成像在凹透镜后20c m 处，由此可得 '1p =5cm +20c m=25cm ，代入（1）式，有 15

125111=+p 解得：p 1=

11-13 如图11-2所示，已知物、像和厚透镜的第一主焦点F 1的位置，

厚透镜的两侧为同一媒质。适用做图的方法找出厚透镜的第二主焦点F 2，一对主点H 1，H 2和一对节点N 1，N 2。 提示：1）利用过焦点光线，平行主轴射出，定出第一主截面。先过p 点和F 1点做一直线，并延长，再做过P ’点，且平行于主轴的直线，过两线相

交点做垂直于主轴的主截面，定出H 1和N 1点（相同媒质主点和节点重合）。

2)利用通过节点的光线平行射出，定出H 2和N 2

3）利用平行光线出射后通过焦点，定出F 2

11-14 一近视眼患者的远点在眼前2m 处，今欲使其能看清远物，问至少应配戴什么样的眼睛

解：该近视眼患者所配眼镜应使无穷远处物体成像在患者的远点上，即：∞=p ，m 2'-=p ，才能看清楚。

根据薄透镜成像公式得 Φf

==-∞1211 解得：度-50D 5.0=-=Φ，该患者至少应配戴50度的凹透镜

11-15 一远视眼戴2D 的眼睛看书时把书拿到眼前40cm 处，此人应配戴何种眼睛读书、看报才合适

解：先求出此远视眼的近点'1p ，已知cm 401=p ，D 21=Φ

依透镜成像公式得 2'

14.011=+p 解得此患者的近点为 m 2'1-=p

在正常情况下，读书时应把书本放在明视距离处，但必须成像在远视眼的近点上才能看得清楚，这时透镜的焦度为： 图11－２ 习题11－13

解得：焦度为，说明此人应配戴350度的凸透镜。

11-16 查视力时，受检者在5m 处看清最上一行的“E ”字时，视力应为，一人需站在3m 处才能看清最上面一行的“E ”字，问此人的视力为多少［］

解：已知cm 51=s ，m 32=s ，设“E “字高为y ，视角分别为21ββ和，又因为视力为最小视角的倒数，故可得：111s y tg =

β≈β ，222s y tg =β≈β 比较两式得 1221s s =ββ，代入数值得 06.01

.0153111122=?=β?=βs s 解得：站在3m 处时，此人的视力为

11-17 显微镜目镜的焦距为，物镜的焦距为，物镜和目镜相距，最后成像于无穷远处。问：

(1)

标本应放在物前什么地方 (2)

物镜的线放大率是多少 (3) 显微镜的总放大倍数是多少

解：物镜的焦距cm 6.11=f ，物镜的物距和像距分别为p 1和'1p ；目镜的焦距f 2 = ，目镜的物距和像距分别为p 2和'2p ，且'2p = ∞；则目镜的物距p 2 = 。

(1) 物镜的像距 '1p =，物镜的物距

解得 p 1=

(2) 物镜的线放大率 倍）(1174

.16.19'11===p p m (3) 显微镜的总放大率 倍）(1105.22511252=?=?

==f m ma M 11-18 一生物显微镜的目镜焦距为。物镜为41=f mm （. ），中间像成在第二焦平面后160mm 处。试问，显微镜的放大倍数和分辨本领如何（设照明光波长为m 105.57-?）。

解：显微镜的放大率为

最小分辨距离为

11-19 人眼可分辨的最短距离为，欲观察μm 的细节，对显微镜有什么要求（所用光波的波长为600nm ）

解：显微镜的放大倍数：

根据 A N Z ?=

λ61.0 可得 5.1465.1101025.060061.061.096==???==?--Z A N λ 解得：若要观察清楚μm 的细节，显微镜的放大倍数为400倍，物镜的孔径数为。 （盖立平）

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