直线与圆锥曲线的位置关系1教案
更新时间:2024-03-24 20:12:01 阅读量: 综合文库 文档下载
直线与圆锥曲线的位置关系1
一、教学目标
1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法,会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。
2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。 二、知识要点分析 1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断,(直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离) 设直线L的方程是:Ax?By?C?0,圆锥曲线的方程是f(x,y)?0,则由
?Ax?By?C?02消去x,(或消去y)得:ax?bx?c?0(a?0)…………(*) ??f(x,y)?0设方程(*)的判别式??b?4ac 交点个数问题
①当a=0或a≠0,?=0时,曲线和直线只有一个交点; ②当a≠0,?>0时,曲线和直线有两个交点; ③当a≠0,?<0时,曲线和直线没有交点。 2、直线L与圆锥曲线相交时的弦长。
设直线L与圆锥曲线交于P(x1,y1),Q(x2,y2),直线L的斜率为k,
222则|PQ|?1?k|x1?x2|?1?k?(x1?x2)?4x1x2=1?21|y1?y2| k2=1?12?(y?y)?4y1y2 122kx2y2??1上不同的两点,且x1a2b23、设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆?x2,x1?x2?0,
M(x0,y0)为AB的中点,则
y1?y2y1?y2b2???2两式相减可得
x1?x2x1?x2a
,
kAB?kOMb2??2。这种方法叫点差法,最后需要检验直线与曲线是否相交。
a2【典型例题】
例1、已知抛物线的方程为y?4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y?4x只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?
2 【尝试解答】 直线l的方程为y-1=k(x+2),即y=kx+2k+1,
??y=kx+2k+1,由?得k2x2+(4k2+2k-4)x+(2k+1)2=0,(*)
2??y=4x,
1
当k=0时,方程(*)为-4x+1=0,即x=4,此时直线l和抛物线只有一个交点,
当k≠0时,Δ=(4k2+2k-4)2-4k2(2k+1)2=-32k2-16k+16,
由Δ=0,即-32k2-16k+16=0,得 2k2+k-1=0,
1
解得k=-1或k=2,
1
∴当k=-1或k=2时,方程(*)有两个相等的实根,
1
当-1<k<2且k≠0时,方程(*)有两个不等的实根,
1
当k<-1或k>2时,方程(*)没有实根.
1
综上知 ,当k=0或k=-1,或k=2时,直线与抛物线只有一个公共点,
1
当-1<k<2且k≠0时,直线与抛物线有两个公共点,
1
当k<-1或k>时,直线与抛物线没有公共点., 2
例2、过椭圆2x?y?2的一个焦点的直线交椭圆于A、B两点,求△AOB的面积的最大值(O为原点).
22解:不妨设AB过焦点(0,1), 当AB斜率不存在时显然不合题意.
设AB的方程为y-1=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),
?y=kx+1,则由?2
?2x+y2=2
得(2+k)x+2kx-1=0,
2
2
所以x1+x2=,x1x2=, 22
2+k2+k所以|AB|==22?1+k2?2+k
2
-2k-1
1+k2·?x1+x2?2-4x1x2 .
11+k
2
又设点O到直线AB的距离为d,则d=,
1
所以S△AOB=2|AB|·d 2·1+k2= 2
2+k2·1+k2= 2
?1+k?+1=21+k+2
11+k2
2. 2
2
2≤2,
所以S△AOB的最大值为
2
例3. 已知双曲线方程2x-y=2.
(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程; (2) 过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?这样的直线l如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. 解:(1)即设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有关系x1?x2?4,y1?y2?2.又据对称性知x1?x2,所以
y1?y2是中点弦P1、P2在双曲线上,则有关1P2所在直线的斜率,由Px1?x22222?y1?2,2x2?y2?2.两式相减是: 系2x12(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0
∴2?4(x1?x2)?2(y1?y2)?0 ∴
y1?y2?4 x1?x2所求中点弦所在直线为y?1?4(x?2),即4x?y?7?0.
(2)可假定直线l存在,而求出l的方程为y?1?2(x?1),即2x?y?1?0 方法同(1),联立方程???2x2?y2?2,消去y,得2x2?4x?3?0
??2x?y?1?0然而方程的判别式??(?4)2?4?2?3??8?0,无实根,因此直线l与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在.
四.课堂巩固
1.直线y?x?b与抛物线y?2x,当b? 时,有且只有一个公共点;当b? 时,有两个不同的公共点;当b? 时,无公共点.
2x2y2??1恒有公共点,则实数m的取值范围?1和椭圆2.若直线y?kx25m为 .
3.抛物线y?ax与直线y?kx?b(k?0)交于A,B两点,且此两点的横坐标分别为x1,
2x2,直线与x轴的交点的横坐标是x3,则恒有
( )
(A)x3?x1?x2 (B)x1x2?x1x3?x2x3 (C)x3?x1?x20? (D)x1x2?x1x3?x2x3?0
4.椭圆mx2?ny2?1与直线x?y?1交于M,N两点,MN的中点为P,且OP的斜率
2m,则的值为 ( ) 2n2292232 (B) (A)(C)(D)23227y22?1 ,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则5.已知双曲线C:x?4满足上述条件的直线l共有 ( )
(A)1 条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
为
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