2-6矩阵的初等变换

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信息系刘康泽

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第2-6节矩阵的初等变换

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一、消元法解线性方程组解方程组的过程可视为进行了三种同解变换.引例求解线性方程组 2 x1+ 4 x2 6 x3+ 4 x4= 6, x+ x 2 x+ x= 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x 2+ 2 x 3 2 x4= 4, 3 x1+ 6 x2 9 x3+ 7 x4= 9, 1 2 3 4

(1)

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信息系刘康泽解

(1)

1

2

x1+ x2 2 x3+ x4= 4, 2 x+ 4 x 6 x+ 4 x= 8, 1 2 3 4 4 x1 6 x 2+ 2 x 3 2 x 4= 4, 3 x1+ 6 x2 9 x3+ 7 x 4= 9, 1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 1 3 4 1 4

3 1

x1+ x2 2 x3+ x4= 4 2 x2 2 x3+ 2 x4= 0 10 x2+ 10 x3 6 x4= 12 3 x2 3 x3+ 4 x4= 3;

1, 1 3 2 2 10 1 4 3

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信息系刘康泽1 2, 2 1 4 3

3 4

+ 2 2

x1+ x2 2 x3+ x4= 4 1 x2 x3+ x4= 0 3 10 3 6 x2+ x3 x4= 5 5 4 x2 x3+ x4= 1; 3 1 x1+ x2 2 x3+ x4= 4 2 x2 x3+ x4= 0 2 6 3 x4= 5 5 1 x4= 1; 4 3

1 2 3 4

5 3 2

34

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信息系刘康泽5 3 2

34

x1

+ x2 2 x3+ x4= 4 x2 x3+ x4= 0 x 4= 3 x 4= 3;1 2 3 4

1 2 3 4

x1+ x 2 2 x3+ x4= 4 x 2 x3+ x 4= 0 4 3 x4= 3 0=0 用“回代”的方法求出解：

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信息系刘康泽 3 1 22

=4 x1 x3 =3 x2 x3 x4= 3 这就是方程组的一般解，其中 x3可以任意取值。

x1= 4+ x3 x 2= 3+ x3 x= 3 4

x1 4 1 x1= 4+ k 向量形式令 x3= k x 2= 3+ k x2 = 3 + k 1 X= x3 0 1 x3= k x 4= 3 0 x 4 3

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信息系刘康泽求解过程小结： 1.上述解方程组的方法称为消元法. 2.始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换: (1)交换两个方程的位置； ( i与 j相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程； (以 i× k替换 i ) (3)将一个方程的k倍与另一个方程相加. (以 i+ k j替换 i )

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信息系刘康泽3.上述三种变换都是可逆的.

若( A)若( A)若( A)

i i i

j

(B ),则(B ) (B ),则(B ) (B ),则(B )i

i

1 k

j

( A); ( A);

×k+kj

i×

k

j

( A).

由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种变换称为同解变换.

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信息系刘康泽因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算.若记

1 2 1 1 1 1 2 1 B= ( A b)= 4 6 2 2 3 6 9 7

2 4 4 9

则对方程组的变换完全可以转换为

对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的变换.

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二、矩阵的初等变换【定义】称下面三种变换为矩阵的初等行变换： (1)交换矩阵的第 i行与第 j行的位置； (2)以非零数 k乘以矩阵的第 i行的每一个元素； (3)把矩阵的第 i行每一个元素的 k倍加到第 j行的对应元素上去。以上三种初等行变换分别记为： ri, rj ), i, j+ kri。 ( kr r

同理，可定义矩阵的三种初等列变换，三种初等列变换分别记为： (ci, c j ), kci, c j+ kci。

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信息系刘康泽初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。【注1】初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同.

(ri, rj )的逆变换为：(rj, ri ) 1 k× ri的逆变换为：× ri k rj+ kri的逆变换为： rj kri

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信息系刘康泽 1 0 例 1对矩阵 A= 2 1 1 2 3 1 1 1 4 1 做初等变换。 3 5 2 3 2 3 2 4

1 r3+ ( 2) r1 0 A r4+ ( 1) r1→ 0 0

1 2 1 1 1 1 1 1

1 r+ ( 1)r 4 1 → 3 2 r4+( 1) r2 4 1 5 3 3

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1 r3+ ( 1) r2 0 → r4+( 1) r2 0 0

1 1 1 4 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 3

1 ( r3,r4 ) 0 → 0 0

1 1 0 0

2 3 1 1 4 1 = A1。 0 1 2 0 0 0

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2 x1+ 4 2 6 x 3+信息系x刘康泽 4 x 4

例 2用矩阵的初等行变换解引例的方程组：

x1+ x 2 2 x3 4 x1 6 x 2+ 2 x 3 2 x 4= 4, 3 x1+ 6 x2 9 x3+ 7 x 4= 9,

= 8,+ x 4= 4,

2 4 6 4 %= 1 1 2 1解：增广矩阵为 A 4 6 2 2 3 6 9 7 1 1 2 1 2 4 6 4 ( r1,r2 ) → 4 6 2 2 3 6 9 7 4 8 4 9

8 4 4 9

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信息系刘康泽1 1 0 2 r2+( 2)r1 r3+ ( 4) r1→ 0 10 r4+ ( 3) r1 3 0 2 2 10 3 4 0 6 12 4 3 1 4 1 0 3 6 5 5 4 1 3 1 2

1 1 2 0 1 1 1 1 r2, r3 2 10 0 1 1→ 1 r4 3 0 1 1

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信息系刘康泽 1 1 2 0 1 1 r3+ r2 0 0 0 r4+ ( 1) r2→ 0 0 0 4 1 0 2 6 5 5 1 1 3 1

1 0 5 r3 2 → 3r4 0 0

1 2 1 1 1 1 0 0

1 4 0 r4 r3 0 → 0 0 1 3 0 0 1 3

1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0

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1 r1 r2 r2 r3 0 → 0 0

4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0

0 1 0

x1= 4+ x3 x= 3+ x 2 3 k x3= x4= 3

x1 4+ k 4 1 x2 = 3+ k = 3 + k 1 X= x3 k 0 1 x4 3 3 0 其中k为任意常数。

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信息系刘康泽【注 2】经初等变换后的矩阵与原矩阵是不等的，因此变换前后的矩阵之间用单线箭头“ ”相联系。→

【注 3】由上面两个例子可以看出对矩阵 A进行一系列的初等行变换后得到的矩阵形如一个阶梯，称为 A的阶梯形矩阵。 4 1 0 1 0 阶梯形矩阵的特点： 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 (1)可划出一条阶梯 0 0 0 0 0线，线的下方全为零。

即：非零行的第一个非零元的下方元素全为零。 (2)每级台阶只能有一行，台阶数是非零行的行数，

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信息系刘康泽 1 0 A= 0 0 0 3 1 2 1 1 0 0 0 2 0 0 01 2 0 0

3 0 0 0

0 2 0 0

5 1 1 2 2 , 4 8 0 0 0

A是阶梯形矩阵；

1 2 0 3 B= 0 0 0 0 0 0

3 1 0 2 1 0 1 1 0 2 1 1 B不是阶梯形矩阵。 0 1 4 1 0 0 0 0 0

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ji3i.html