2007年考研数学(三)真题解析

2007年考研数学（三）真题解析

1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当x

0时，1

1

，1 12

2

1x， 2

故用排除法可得正确选项为（B）.

事实上，lim

x 0

lim

lim 1，

x 0 x 0

或 ln(1 x) ln(1 x o(x) o o

所以应选（B）

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.

2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，

本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.

【详解】取f(x) |x|，则lim

x 0

f(x) f( x)

0，但f(x)在x 0不可导，故选（D）.

x

事实上，

在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得

f(0) 0.

lim在（C）中，

x 0

f(x)f(x) f(0)f(x)

lim 0，存在，则f(0) 0,f (0) lim

x 0x 0xx 0x

所以(C)项正确，故选(D)

【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.

3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得

1111 13

F(3) 21 ，F(2) 22 ，

2222 28

F( 2)

20

0211

f(x)dx f(x)dx f(x)dx 12 .

2022

2

所以 F(3)

33

F(2) F( 2)，故选（C）. 44

【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习

指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.

4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.

【详解】由题设可知，

2

x ,sinx y 1，则0 y 1, arcsiny x ，

故应选（B）.

【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.

5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D）.

商品需求弹性的绝对值等于

dQP 2P 1 P 40， dPQ160 2P

故选（D）.

【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.

相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.

6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.

【详解】limy lim ln1 e ,limy lim ln1 e 0，

x x xx x x 所以 y 0是曲线的水平渐近线；

limy lim ln1 e ，所以x 0是曲线的垂直渐近线； x 0x 0x

x

1ex

x ln 1 e ln1 e limx 1， y

lim lim 0 lim

x xx x x xx1

1

x

1

x

1

x

b lim y x

x

1

li x x

n1 ex l

x

，所以0y x是曲线的斜渐近线.

故选（D）.

【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.

x

注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e当

x ,x 时的极限不同.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.

7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组 1, 2, 3构造的另一向量组 1, 2, 3的线性

相关性. 一般令 1, 2, 3 1, 2, 3 A，若A 0，则 1, 2, 3线性相关；若A 0，则 1, 2, 可通过简单的线性3线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，运算得到正确选项.

【详解】由 1 2 2 3 3 1 0可知应选（A）.

或者因为

10 1 10 1

110 1 2, 2 3, 3 1 1, 2, 3 ，而 110 0， 0 11 0 11

所以 1 2, 2 3, 3 1线性相关，故选（A）.

【评注】本题也可用赋值法求解，如取 1 1,0,0 , 2 0,1,0 , 3 0,0,1 ，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或

行列式是否为零可立即得到正确选项.

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.

8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.

T

T

T

2

【详解】 由 E A

111

( 3)2可得 1 2 3, 3 0，

11

2

1

2

所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.

所以A与B不相似，但是A与B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B合

同，故选（B）.

【评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.

9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.

【详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝ C3p(1 p)p 3p(1 p)，

1

2

2

2

故选（C）.

【评注】本题属基本题型.

类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】

10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式

fX|Y(x|y)

f(x,y)

可求解. fY(y)

【详解】因为 X,Y 服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以

f(x,y) fX(x)fY(y).

故fX|Y(x|y)

f(x,y)fX(x)fY(y)

fX(x)，应选（A）.

fY(y)fY(y)

【评注】若 X,Y 服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数

学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】

11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.

x3x21 x xxx3 x2 1 0 0,|sinx cosx| 2， 【详解】因为lim lim

x 2x x3x x31

1 x

2

x3 x2 1

(sinx cosx) 0. 所以lim

x 2x x3

【评注】无穷小的相关性质：

（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小； （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小； （3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.

完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】

12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.

( 1)n2nn!( 1)n2nn!12(n)(n)

【详解】y ，则y(x) ，故y(0) . ,y n 12n 1

3(2x 3)2x 3 2x 3

【评注】本题为基础题型.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.

13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得

zy1

2f1 f2 ， xxy z1 x f1 2f2， yxy

所以x

y z zx y 2 f1 f2 . x yy x

【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.

14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令u 【详解】令u

y. x

y

，则原方程变为 x

du1dudxu x u u3 3 .

dx2u2x

两边积分得

1

111 lnx lnC， 2

2u22

y2

即x

1u1e x ex，将yCC

x 1

1代入左式得 C e，

1

，x e.

x2

故满足条件的方程的特解为 ex

ey，即y

【评注】本题为基础题型.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.

15……….【分析】先将A求出，然后利用定义判断其秩.

3

0 0

【详解】A

0 0

10000100

0 0 0 0 A3

01

0 0

0000000

1 0

r(A) 1. 0 0

【评注】本题为基础题型.

矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点

精讲.

16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间 0,1 上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.

【详解】利用几何概型计算. 图如下：

2

1 1 S 2 3.

所求概率 A

SD14

【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.

完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学

复习指南》（经济类）第三篇【例2.29】，【例2.47】.

17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.

【详解】 方程 ylny x y 0两边对x求导得

y lny y

即y (2 lny) 1，则y (1) 上式两边再对x求导得

y

1 y 0， y

1. 2

2

y y(2 lny)

y

0

则y (1) ，所以曲线y y(x)在点(1,1)附近是凸的.

【评注】本题为基础题型.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济

1

8

类）第一篇【例5.29】.

18…….【分析】由于积分区域关于x,y轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.

【详解】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，所以

f(x,y)d f(x,y)d ，其中D为D在第一象限内的部分.

1

D

D1

而

D1

f(x,y)d

x y 1,x 0,y 0

x2d

1 x y 2,x 0,y

dx

1x

1 2 x22 xxdy dx y dx

y

10 01 x

2

所以

1

1 . 12

D

1

f(x,y)d 1 .

3

22

【评注】被积函数包含x y时, 可考虑用极坐标，解答如下：

1 x y 2x 0,y 0

f(x,y)d

1 x y x 0,y 0

2sin cos

1sin cos

2d

dr

.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.

19…….【分析】由所证结论f ( ) g ( )可联想到构造辅助函数F(x) f(x) g(x)，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.

【详解】令F(x) f(x) g(x)，则F(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内具有二阶导数且

F(a) F(b) 0.

（1）若f(x),g(x)在(a,b)内同一点c取得最大值，则f(c) g(c) F(c) 0， 于是由罗尔定理可得，存在 1 (a,c), 2 (c,b)，使得

F ( 1) F ( 2) 0.

再利用罗尔定理，可得 存在 ( 1, 2)，使得F ( ) 0，即f ( ) g ( ). （2）若f(x),g(x)在(a,b)内不同点c1,c2取得最大值，则f(c1) g(c2) M，于是 F(c1) f(c1) g(c1) 0,F(c2) f(c2) g(c2) 0， 于是由零值定理可得，存在c3 (c1,c2)，使得F(c3) 0 于是由罗尔定理可得，存在 1 (a,c3), 2 (c3,b)，使得

F ( 1) F ( 2) 0.

( ). 再利用罗尔定理，可得 ，存在 ( 1, 2)，使得F ( ) 0，即f ( ) g

【评注】对命题为f

(n)

( ) 0的证明，一般利用以下两种方法：

(n 1)

方法一：验证 为f(x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马

定理可得证；

方法二：验证f

(n 1)

(x)在包含x 于其内的区间上满足罗尔定理条件.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济

类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.

20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 【详解】f(x)

111 11

，而

x2 3x 4(x 4)(x 1)5 x 4x 1

n

1111 x 1 (x 1)n

n 1, 2 x 4， x 1x 431 3n 0 3 3n 0

3

1111 x 1 ( 1)n(x 1)n

, 1 x 3 ， x 121 2n 0 2 n 02n 1

2

1(x 1)n ( 1)n(x 1)n( 1)n

n 1 n 1 (x 1)n， 所以 f(x) n 1n 1

322 n 0n 0n 0 3

n

收敛区间为 1 x 3.

【评注】请记住常见函数的幂级数展开.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.

21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a. 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组

x1 x2 x3 0 x 2x ax 0 123

2

x1 4x2 ax3 0 x 2x x a 1

23 1

其系数矩阵

1

1

1 1 1 0 0 0

112a4a221

0 1 0 0

00

a 1 0110

1a 10

. 2

3a 10

10a 1

110

1a 10

. 01 aa 1

0(a 1)(a 2)0

110 1

1a 10 0

2

00a 3a 20

01 aa 1 0

显然，当a 1,a 2时无公共解.

, 1,k为任意常数； 当a 1时，可求得公共解为 k 1,0 , 1. 当a 2时，可求得公共解为 0,1

【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.

22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.

535353

【详解】（I）B 1 A 4A E 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 2 1，

T

T

则 1是矩阵B的属于－2的特征向量. 同理可得

5353

B 2 2 4 2 1 2 2，B 3 3 4 3 1 3 3.

所以B的全部特征值为2，1，1

设B的属于1的特征向量为 2 (x1,x2,x3)，显然B为对称矩阵，所以根据不

同特征值所对应的特征向量正交，可得

T

1T 2 0.

即 x1 x2 x3 0，解方程组可得B的属于1的特征向量

2 k1(1,0, 1)T k2(0,1,0)T，其中k1,k2为不全为零的任意常数.

由前可知B的属于－2的特征向量为 k3(1, 1,1)T，其中k3不为零.

101 100 -1

（II）令P 01 1 ，由（Ⅰ）可得PBP 010 ，则

101 00 2 01 1

B 101 .

110

【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要

想方设法将题设条件转化为Ax x的形式. 请记住以下结论：

（1）设 是方阵A的特征值，则kA,aA bE,A2,f(A),A 1,A*分别有特征值

1A

(A可逆） k ,a b, ,f( ),,，且对应的特征向量是相同的.

2

（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类） 第二篇【例5.24】

23…….【分析】（I）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 【详解】（I）P X 2Y

x 2y

2 x y dxdy 0dx 2 x y dy 24.

1

x

20

7

(II) 利用卷积公式可得 fZ(z)

f(x,z x)dx

z(2 x)dx,0 z 1 0 2z z20 z 1 1

(2 x)dx,1 z 2 (2 z)21 z 2.

z 1 0,其他0,其他

【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.

完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.

（24） (本题满分11分)

设总体X的概率密度为

1

0 x 2 ,

1f(x) , x 1

2(1 )

0,其他

(X1,X2, ,Xn) 为来自总体X的简单随机样本，是样本均值.

（I）求参数 的矩估计量 ；

（II）判断4是否为 的无偏估计量，并说明理由.

【分析】利用EX 求（I）；判断E4X【详解】（I）EX

2

2

2

?

2

.

xf(x)dx

1xx 1

dx dx ，

21 2 24 令 （II）E4

2

2

11

2X . 42

22 12 4E 4 4 DX EX ，

n

而EX

2

xf(x)dx

2

2

2

1x2x2 2 1dx dx ，

21 2 336 所以 DX EX EX 所以

2

1212

5

， 48

1 1 2 1 15 2

E 42 4 DX EX 1 2 1 ，

n 3n 3n 412n

故4不是 的无偏估计量.

【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jht4.html