线性空间的同构

线性空间的同构

由前面的讨论知道，给定数域F上的n维线性空间V的一个基?1,?2,V中的任意一个向量x由?1,?2,,?n后，

,?n唯一线性表示，即存在唯一的

,?n]a。反之，对任意一个向量,?n]a，所以在线性空间V和Fn之

a??a1a2an??Fn，使得x?[?1,?2,Ta?Fn，存在唯一的x?V，使得x?[?1,?2,间存在一一的线性映射。这样，V的一些性质在Fn中会有所体现，所以研究Fn的属性将对V中的问题有所刻画，由此我们给出同构的概念。

定义1 设U,V是数域F上的线性空间，T是从U到V的线性映射，如果T是一一映射且为满射，则称T为从U到V的同构映射。若线性空间U,V之间存在同构映射，则称U,V同构。若T为从U到U的同构映射，则称T为U的自同构映射。

例1 数域F上的n维线性空间V与Fn同构。

?01?22TR?x?R例2 定义T(x)??，，则为的自同构映射。 x??10?定理1 设T为从数域F上的线性空间U到V的线性映射，且为满射，则T为

U到V的同构映射充分必要条件是若T(x)??v有x??u。

证明 必要性 设T为U到V的同构映射，由于T是一一映射及T(?u)??v，故

有若T(x)??v，则x??u。

充分性 只要证明T是一一映射即可。

设T(x1)?T(x2)，则T(x1?x2)??v，所以x1?x2??u，故x1?x2，所以T是一一映射。

推论1设T为从数域F上的线性空间U到V的线性映射，则T为U到V的同构映射充分必要条件是R(U)?V且N(T)?{?u}。

证明 由定理1显然。

由定义判断线性空间同构要求两空间之间存在同构映射，较为麻烦，而对于有限维线性空间，我们有下面的定理。

定理2 设U,V是数域F上的有限维线性空间，则U,V同构的充分必要条件是dimU?dimV。

证明 充分性 设dimU?dimV?n，由例1得U与Fn之间存在同构映射f，

Fn与V之间存在同构映射g，令T?gf，易证T为U到V的同构映射。

U?n，由§1.5定理6：必要性 设T为U到V的同构映射，dimdimR(T)?dimN(T)?n和本节推论1得dimR(T)?dimV?n，即dimU?dimV。

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