北京四中2017-2018学年高一上学期期中测试数学试题+Word版含答案

高一数学 期中测试卷

试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，共计150分

考试时间：120分钟

卷（I）

一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．设集合A?{1,2,6}，B?{2,4}，则A?B?

A．{2} B．{1,2,4} C． {1,2,4,6} D．{2,4}

2．函数y?24?x2的定义域为

A．(?2,2) B．(??,?2)?(2,??) C．[?2,2] 3．2log62?log69?8?

43(??,?2]?[2,??) D．

A．14 B．?14 C．12 D． ?12

?3?x24．若函数f(x)???x?3A．2或2

?1?x?22?x?5，则方程f(x)?1的解是

B．2或3 C．2或4

D．±2或4

35．若函数f(x)?x，则函数y?f(?2x)在其定义域上是

A．单调递增的偶函数 B．单调递增的奇函数 C．单调递减的偶函数 D．单调递减的奇函数 6．若a?2，b?4，c?log30.2，则a,b,c的大小关系是

A．a?b?c

7．函数y?3?3?4x?x24325B．c?b?a C．b?a?c D．c?a?b

的单调递增区间是

B．[2,??)

C．[1,2]

D．[1,3]

A．(??,2]

8．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽

- 1 -

误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s（千米）与行进时间x（秒）的函数图象的示意图，你认为正确的是

9．已知f(10x)?x，则f(5)?

A．10

5 B．5

10 C．log510

D．lg5

10．某同学在研究函数f?x??x?x?R?时，分别给出下面几个结论：

|x|?1①函数f?x?是奇函数； ②函数f?x?的值域为??1， 1?； ③函数f?x?在R上是增函数； 其中正确结论的序号是

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．若集合A?[0,2]，集合B?[1,5]，则A?B? ． 12．函数y?2?4的零点是 ．

13．函数f(x)?log3(2x?1)（x?[1,2]）的值域为 ．

14．函数f(x)?3x?1，若f[g(x)]?2x?3，则一次函数g(x)? ． 15．若函数f(x)?a(a?0,a?1)的反函数的图象过点(2,?1)，则a? ．

xx2x?116．若函数f(x)?x是奇函数，则使f(x)?3成立的x的取值范围是 ．

2?a

- 2 -

三．解答题（本大题共3小题，共26分） 17．（本小题满分6分）

已知：函数f(x)?(x?2)(x?a)（a?R），f(x)的图象关于直线x?1对称． （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求f(x)在区间[0,3]上的最小值．

18．（本小题满分10分）

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：

（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x（万元）的函数关系；

（Ⅱ）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？

19．（本小题满分10分）

已知：函数f(x)?loga?x?1??loga?1?x?（a?0且a?1）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；

（Ⅱ）判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明； （Ⅲ）设a?

1，解不等式f(x)?0. 2- 3 -

卷（II）

1．设集合A?{x|x2?x?0}，B?{x|x?2?0}，则{x|(x2?x)(x?2)?0}?

A．eR(A?B) B．(eRA)?B C．A?(eRB) D．eR(A?B) 2．已知函数f(x)?log1[()2x?2?()x?2]，则满足f(x)?0的x的取值范围是

31313A．(??,0) B．(0,??) C．(??,?1) D．(?1,??)

3．下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是

x y 2 3 4 5 6 7 8 9 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99 A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 4．用二分法求方程x?1?3x的一个近似解时，已经确定有根区间为(0,1)，则下一步可确定这个根所在的区间为 ．

25．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x?0时，f(x)?x?2x，如果函数

2g(x)?f(x)?m恰有4个零点，则实数m的取值范围是 ．

6．函数f(x)?ax?loga(x?1)（a?0且a?1）在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值是 ．

7．已知函数f(x)?x2?bx?c，若f(1?x)?f(1?x)，且f(0)?3． （Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）试比较f(bm)与f(cm)（m?R）的大小．

8．集合A是由满足以下性质的函数f(x)组成的：对于任意x≥0，f(x)?[?2,4]且f(x)在

[0,??)上是增函数．

（Ⅰ）试判断f1(x)? x?2与f2(x)?4?6?()x（x≥0）是否属于集合A，并说明理由；

12（Ⅱ）对于（Ⅰ）中你认为属于集合A的函数f(x)，证明：对于任意的x≥0，都有． f(x)?f(x?2)?2f(x?1)

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参考答案

卷（I）

C A B C D B AC D D

11．[1,2]；12．2；13．[0,1]；14．

2241x?；15．；16．(0,1)； 33217．解： f(x)?(x?2)(x?a)?x?(2?a)x?2a，

（Ⅰ）函数f(x)图象的对称轴为x?22?a?1，则a?0； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 22（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?x?2x?(x?1)?1，

因为x?1?[0,3]，所以f(x)min?f(1)??1． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分

18．解：（Ⅰ）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y?kx（x?0），

由题知，当x?1时，y?0.125，则k?0.125，即y?0.125x， ┈┈┈┈┈┈2分

投资股票类风险型产品的收益满足函数：y?k?x（x?0），

由题知，当x?1时，y?0.5，则k?0.5，即y?0.5x， ┈┈┈┈┈┈┈4分

（Ⅱ）设投资债券类稳健型产品x万元（0?x?20），则投资股票类风险型产品20?x万元，

由题知总收益y?0.125x?0.520?x（0?x?20）， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分

令t?20?x（0?t?20），则x?20?t，

21151y?0.125(20?t2)?0.5t??t2?t???(t?2)2?3，

8228当t?2，即x?16时，ymax?3（万元） ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分

答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为

- 5 -

3万元． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分

19．解：（Ⅰ）由题知：??x?1?0， 解得：?1?x?1，所以函数f(x)的定义域为(?1,1)；

?1?x?0┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分

（Ⅱ）奇函数，

证明：因为函数f(x)的定义域为(?1,1)，所以对任意x?(?1,1)，

f(?x)?loga(?x?1)?loga(1?(?x))??[loga(x?1)?loga(1?x)]??f(x)

所以函数f(x)是奇函数； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分

?x?1?0?（Ⅲ）由题知：log1(x?1)?log1(1?x)，即有?1?x?0，解得：?1?x?0，

22?x?1?1?x? 所以不等式f(x)?0的解集为{x|?1?x?0}． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分

卷（II）

D C D 4．(0,)；5．?1?m?0；6．7．解：（Ⅰ）由已知，二次函数的对称轴x?又f(0)?c?3，

综上，b?2，c?3； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?x?2x?3，

所以，f(x)在区间(??,1)单调递减，在区间(1,??)单调递增.

mmmm当m?0时，3?2?1，所以f(2)?f(3).

121； 2b?1，解得b?2， 22mmmm当m?0时，3?2?1，所以f(2)?f(3).

mmmm当m?0时，3?2?1，所以f(2)?f(3) ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10

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分

8．解：（Ⅰ）f1(x)?A，f2(x)?A，理由如下： 由于f1(49)?5?4，f1(49)?[?2,4]，所以f1(x)?A.

x对于f2(x)?4?6?()（x≥0），

x因为y?()在[0,??)上是减函数，且其值域为(0,1]，

1212x所以f2(x)?4?6?()在区间[0,??)上是增函数. x所以f2(x)≥f(0)??2，且f2(x)?4?6?()?4，

1212所以对于任意x≥0，f(x)?[?2,4].

所以f2(x)?A ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分

x?2?4?（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x?2)?4?6?()1231x?()，2211f(x?1)?4?6?()x?1?4?3?()x，

22所以

1131312f(x?1)?[f(x)?f(x?2)]?2[4?3?()x]?[4?6?()x?4??()x]??()x?0，

222222所以对于任意的x≥0，都有f(x)?f(x?2)?2f(x?1). ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分

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