2011中考数学压轴题训练

中考数学压轴题汇编

1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

y与x的关系式 输入x 开始 （Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x－h)＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

【解】（1）当P=

122

输出y 结束 12时，这种变

时，y=x＋

12?100?x?,即y=

1212x?50。

∴y随着x的增大而增大，即P=

1时，满足条件（Ⅱ）……3分

又当x=20时，y=?100?50=100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～

2100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=

12时，这种变换满足要求；……6分

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=a?x?20??k,……8分

∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②

2

1?a?12?由①②解得?， ∴y??x?20??60。………14分 160160?k?60?2、（常州）已知A(?1，m)与B(2，m?33)是反比例函数y?kxy 图象上的两个点．

1 1 ?1 B （1）求k的值；

（2）若点C(?1，0)，则在反比例函数y?kx图象上是否存在点

C O ?1 x D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，

求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由(?1)?m?2?(m?33)，得m??23，因此k?23． ····· 2分

（2）如图1，作BE?x轴，E为垂足，则CE?3，BE?∠BCE?30．

?3，BC?23，因此

?由于点C与点A的横坐标相同，因此CA?x轴，从而∠ACB?120．

当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B， 故不符题意． ····························· 3分 当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D， 过点A，D分别作x轴，y轴的平行线，交于点F．

?由于∠DAF?30，设DF?m1(m1?0)，则AF?3m1，AD?2m1，

?23)，得点D(?1?由点A(?1，3m1，?23?m1)．

因此(?1?

3m1)?(?23?m1)?23，

解之得m1?73?3，因此点D?6，3（m1?0舍去）

?3??． ???此时AD? 143······ 5分 3，与y BC的长度不等，故四边形ADBC是梯形． yD B C O A D B E x F C O A H x 图1

图2

如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D． 由于AC?BC，因此∠CAB?30?，从而∠ACD?150?．作DH?x轴，H为垂足，

?则∠DCH?60，设CH?m2(m2?0)，则DH?3m2，CD?2m2

由点C(?1，0)，得点D(?1?m2，3m2)， 因此(?1?m2)?3m2?23．

23)． 解之得m2?2（m2??1舍去），因此点D(1，此时CD?4，与AB的长度不相等，故四边形ABDC是梯形． ········ 7分 如图3，当过点C作AB的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D时，

?同理可得，点D(?2，3)，四边形ABCD是梯形． ·············· 9分

综上所述，函数y?23x图象上存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边

???3?或D(1，10分 23)或D(?2，?3)． ······ ??3?y 形为梯形，点D的坐标为：D?6，

D B C O A x

图3 3、（福建龙岩）如图，抛物线y?ax2?5ax?4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC?BC．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴x???5a2a?52y C ………2分

A 1 B （2）A(?3，4) C(0，4)…………5分 0) B(5，160 1 x 把点A坐标代入y?ax?5ax?4中，解得a??1622………6分

?y??x?56x?4…………………………………………7分

（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．

A 设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M． 过点B作BQ?x轴于Q，易得BQ?4，AQ?8，

AN?5.5，BM?1 y Ｍ Ｎ 0 1 Ｋ P3 Ｑ P2 P1 x 52

① ··························································································································以

AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．

?AB?AQ?BQ?8?4?80 ················· 8分

22222在Rt△ANP1中，P1N?AP1?AN22?AB?AN22?80?(5.5)?21992

?5?P1?，??2?199? ························· 9分 ??2?②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．

在Rt△BMP2中，MP2?BP2?BM22?AB?BM22?80?254?295210分

?58?295?P2?，?22?? ························ 11分 ???③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．

画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C． 过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ．

?P3KCK?BQAQ?12．

13分 ?P3K?2.5 ?CK?5 于是OK?1 ··············· 14分 ?P3(2.5，?1) ··························· 注：第（3）小题中，只写出点P的坐标，无任何说明者不得分． 4、（福州）如图12，已知直线y?的横坐标为4．

（1）求k的值； （2）若双曲线y?kx(k?0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

kxy 12x与双曲线y?kx(k?0)交于A，B两点，且点A（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y?(k?0)于P，Q两

A 点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

解：(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .

∴ 点A的坐标为（ 4，2 ）. 18yxy?∵ 点A是直线 与双曲线 （k>0）的交点 , 2xO B x 图12

∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图12-1， ∵ 点C在双曲线上，

y = 8时，x = 1

∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON . S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 .

S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图12-2，

过点 C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F， ∵ 点C在双曲线y?8x上，当y = 8时，x = 1 .

∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点C、A都在双曲线y?8x上 ,

∴ S△COE = S△AOF = 4 。 ∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF . ∴ S△COA = S梯形CEFA . ∵ S1梯形CEFA = ×（2+8）×3 = 15 ,

2

∴ S△COA = 15 .

（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 , ∴ OP=OQ，OA=OB .

∴ 四边形APBQ是平行四边形 .

∴ S11△POA = S4平行四边形APBQ =

4×24 = 6 . 设点P的横坐标为m（m > 0且m?4）, 8得P ( m, ) . m

过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 . 若0＜m＜4，如图12-3， ∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF, ∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 . ∴

12(2?8m)?(4?m)?6.

解得m= 2，m= - 8(舍去) .

∴ P（2，4）. 若 m＞ 4，如图12-4， ∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE, ∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 . ∴

12(2?8m)?(m?4)?6，

解得m = 8，m = - 2 (舍去) . ∴ P（8，1）.

∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.

5、（甘肃陇南）如图，抛物线y?12x?mx?n2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是?3，点B的横坐标是1．

(1)求m、n的值； (2）求直线PC的解析式；

(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线

PC的位置关系，并说明理由．(参考数：2?1.41，3?1.73，5?2.24)

解： (1)由已知条件可知： 抛物线y?12x?mx?n2经过A(-3，0)、B(1，0)两点．

9?0??3m?n,??2∴ ? ……………………………………2

1?0??m?n.??2分

解得 m?1,n??322． ………………………3分

3232 (2) ∵y?12x?x?， ∴ P(-1，-2)，C(0,?)． …………………4分

设直线PC??2??k?b,?13的解析式是y?kx?b，则? 解得k?,b??． 322?b??.?21232∴ 直线PC的解析式是y12?x?． …………………………6分

说明：只要求对k?，b??32，不写最后一步，不扣分．

(3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．

设直线PC与x轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt△OCD中，∵ OC=，OD23232()?3?223?3，

∴ CD?5． …………8分

分

∵ OA=3，OD?3，∴AD=6． …………9

o

∵ ∠COD=∠AED=90，∠CDO公用，

∴ △COD∽△AED． ……………10分

33∴

OCAE65?CDAD， 即

2?2AE65． ∴ AE?655． …………………11分

∵ 5?2.688?2.5，

∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． …………12分

6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90?的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留?）．（3分）

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）

（3）当?O的半径R(R?0)为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）

解：（1）连接BC，由勾股定理求得：

A AB?AC?················ 1分 2

B ① ③ O E F ② C

S?n?R2360?12?················ 2分

（2）连接AO并延长，与弧BC和?O交于E，F， EF?AF?AE?2?2 ························ 1分

弧BC的长：l?n?R180?22? ······················ 2分

?2?r?22?

?圆锥的底面直径为：2r?22 ····················· 3分

?2?2?22，?不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． · 4分

（3）由勾股定理求得：AB?AC?2R

弧BC的长：l?n?R180?22····················· 1分 ?R

?2?r?22?R

?圆锥的底面直径为：2r?22···················· 2分 R

EF?AF?AE?2R?2R?(2?2)R

?2?2?22且R?0

?(2?2)R?22R ························· 3分

即无论半径R为何值，EF?2r ····················· 4分

?不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

7、（河南）如图，对称轴为直线x＝（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

72的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

yx=72B(0,4)FO

EA(6,0)x8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是(0,83)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设t(0?t?8)秒后，直线PQ交OB于点D.

（1）求∠AOB的度数及线段OA的长； （2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （3）当a?3,OD?线PQ的解析式；

（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角

形与?OAB相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与?OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明.

433时，求t的值及此时直

y B P C D Q A O x

9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，

A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，

得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、

PF重合．

(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB∴∠OPE=∠PBA．

∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分

POOEBAAPyCEOFBDP图1 AxCyDBEFOP图2 Ax＋∠ABP=90°，

∴

?．即

xy?34?x1．∴y=x(4?x)??3113x?243x(0＜x＜4)．

且当x=2时，y有最大值．…………………………………………………4分

3(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分

1?a?,?2?c?1,?3??2

设过此三点的抛物线为y=ax＋bx＋c，则?a?b?c?0,∴?b??,

2??16a?4b?c?3.??c?1.??y=x2?2132x?1．…………………………………………………………8分

(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分 直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)． 将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，

∴该直线为y=x＋1．……………………………………………………………10分

?y?x?1,?x?5,?由?得∴Q(5，6)． 123?y?x?x?1,y?6.??22?故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分

y x

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