北师大版初一数学(上)讲义--字母表示数

第三章：字母表示数

知识梳理

一、字母表示什么

字母可以表示任何数。

1、用字母表示数的运算律和公式法则

1加法交换律 加法结合律○

2乘法交换律 ○

乘法分配律 2、用字母表示计算公式

1长方形的周长面积 （a、b分别为长、宽） ○

2正方形的周长，面积a表示边长） ○

3长方体的体积，表面积a、b、c分别为长、宽、高） ○

4正方体的体积,表面积a表示棱长） ○

5圆的周长面积（r为半径） ○

6三角形的面积（a表示底边长，h表示底边上的高） ○

3、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。

用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。 4、注意书写格式的规范

(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“·”，但通常省略不写；

数字与数字相乘必须写乘号；

(2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面； (3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；

(4) 除法运算写成分数形式 ，分数线具 “÷ ”号和“括号”的双重作用。 (5) 在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加

括号后再写单位。

二、代数式

1、代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。

如： n-2 、 0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac （单独一个数或一个字母也是代数式）【注意】列代数式时，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用·表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。

2、单项式：表示数与字母的积的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。

【注意】①书写时，系数是1的时候可省略；② 是数字，不是字母。

3、多项式：几个单项式的和叫多项式，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。 每个单项式称为项。 4、单项式多项式统称为整式。 【典型例题】

【例1】列代数式表示（注意规范书写）

1、某商品售价为a元，打八折后又降价20元，则现价为_____元

2、橘子每千克a元，买10kg以上可享受九折优惠，则买20千克应付_________元钱. 3、如图，图1需4根火柴，图2需____根火柴，图3需____根火柴， 图n需____根火柴。

（图1） （图2） （图n） 4、温度由t℃下降3℃后是_____________℃.

5、飞机每小时飞行a千米，火车每小时行驶b千米，飞机的速度是火车速度的_______倍. 6、无论a取什么数，下列算式中有意义的是（ ） A.

1

a 1

B.

1 a

1

C. a 1

2

D.

1

2a 1

7、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的3倍还多2，那么全班同学数为（ ）

3a 2 A. a·

B. a(3a 2) C. a 3a 2

D. 3a(a 2)

【例2】填空

x2y① 的系数为_______，次数为_______；

3

②3a 2b2的次数为______ ；ab2的系数是； ③ x2的系数是

1

④ x2的系数是

2

⑤代数式5x y x2 x 1有 项，第二项的系数是 ，第三项的系数是 ，第 四项的系数是

【例3 】下列不是代数式的是（ ）

s

A . 0 B . C . x 1 D . x 0.1y2

t

【例4】用代数式表示

①一个两位数的个位是a，十位是b，用代数式表示这个两位数。(思考三位数或更多位数的数怎么表示？）

②全体奇数、偶数。

③被5除余1的数。

【例5】用语言描述以下代数式的意义 ① 3a 2b；②

【例6】将下列语句转换为代数式

①a除以b与c之和的商加上b与c之积的和 ②a减去a与b的商的差与c的平方的积

aa ba；③；④(a b)c ；

bca ba b

三、合并同类项

1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 【注意】

①两个相同:字母相同；相同字母的指数相同. ②两个无关:与系数无关;与字母顺序无关. 如：100a和200a，240b和60b，-2ab和10ba 2、合并同类项法则

（1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出是同类项的项；

（2）合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变. （3）不同种的同类项间，用“+”号连接

（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄。

例如：合并同类项3x2y和5x2y，字母x、y及x、y的指数都不变，只要将它们的系数3和5相加，即3x2y+5x2y=（3+5）x2y=8x2y． 3、合并同类项的步骤 （1）准确的找出同类项；

（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起； （3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； （4）写出合并后的结果. 4、注意

（1）不是同类项不能合并；

（2） 求代数式的值时,如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算. 【典型例题】

【例1】判断下列各组中的两个项是不是同类项：

25

（1）a2b和 a2b （2）2m2np和 pm2n (3) 0和 1

37

【例2】下列各组中：

1111

①5x2y与xy；② 5x2y与yx2；③5ax2与yx2；④83与x3；⑤ x2与 x2；⑥3x2

2555

与x；⑦3x2与2，同类项有（填序号）

1111

【例3】如果xky与-x2y是同类项，则k=______，xky+（-x2y）=________．

3333

【例4】直接写出下列各式的结果：

11

xy+xy=_______； （2）7a2b+2a2b=________； 22

11

（3）-x-3x+2x=_______； （4）x2y-x2y-x2y=_______；

23

（1）-

（5）3xy2-7xy2=________． 【例5】合并下列多项式中的同类项．

（1） 4x2y-8xy2+7-4x2y+10xy2-4； （2）a2-2ab+b2+a2+2ab+b2．

（3）3x2 5x 6x2 1 （4）6xy2 2x2 4x2y 5yx2 x2

1

【例6】若x 0,y 0，xy2 axy2 0，则a 2

四、去括号法则 1、去括号法则

①括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各项的符号都不改变。 ②括号前是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项的符号都要改变。 2、去括号法则中乘法分配律的应用：若括号前有因式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括号时符号的变化规律。

3、多重括号的化简原则：（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号； 【典型例题】

【例1】一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字2倍少3，这个两位数是 【例2】去括号，合并同类项

（1）－3（2s－5）+6s (2)3x－[5x－（x－4）]

（3）6a2－4ab－4(2a2+ ab) （4） 3(2x2 xy) 4(x2 xy 6)

（5） (x y) (x y) （6）2(m n) 3(m x) 2x

1

2

12

（7）2x2 3x 1 (5 3x x2) （8）(2a2

11

3a) 4(a a2 ) 22

111

（9）a (5a 3b) 2( a 2b) （10）m2n nm2 mn2 n2m

326

五、代数式求值——先化简，再求值 代数式求值：

1）用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式 的值。

2）求代数式的值时应注意以下问题: ①严格按求值的步骤和格式去做．

②一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若有多个字母， 代入时要注意 对应关系，千万不能混淆．

③在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变； ④字母取负数代入时要添括号。

⑤有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号。 【典型例题】

1(x y)222

【例1】当x=，y=-3时，求下列代数式的值:（1）3x-2y+1； （2）

3xy 1

【例2】当x 2时，求代数式5x (4x 1)的值

【例3】已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，求代数式 (2m 2n 3ab)2的值

【例4】化简，求值：

11312

①x 2(x y2) ( x y2),其中x 2,y 23233

12

②9ab 6b2 3(ab b2) 1，其中(a )4 99|b 1| 0

23

课后针对训练（一）

1、甲乙两地相距x千米，某人原计划t小时到达，后因故提前1小时到达，则他每小时应比原计划多走 千米；

2(a b)2

2、代数式3xy 2 x的次数是 的系数是5

2

2

3、当x - y=2时，代数式（x - y）2+2（x - y）+5的值是_______． 4. 已知4 y 2 — 2y + 5=9时，则代数式2 y 2 — y + 1等于_______． 5.已知│a-1│+(2a-b) 2=0,那么3ab–15b 2-6ab+15a-2b 2等于_______．

1x2 4xy22

6、当x=3，y=时，求下列代数式的值:（1）2x-4xy+4y； （2） 2

22xy y11

7、小明读一本共m页的书，第一天读了该书的，第二天读了剩下的．

35

（1）用代数式表示小明两天共读了多少页．（2）求当m=120时，小明两天读的页数． 8、当x= -1,y= -2时，求2x2 -5xy+2y2 -x2-xy-2y2-3x2的值。

1

9、.去括号 (a2b 2ab2 3) 1 2( 3a2 4ab )

3

10、 a 2b 3c的相反数是（ ）

A. a 2b 3c B. a 2b 3c C. a 2b 3c D. a 2b 3c 11、化简2a－5(a＋1)的结果是 （ ） A．－3a＋5 B．3a－5 C．－3a－5 D．－3a－1 12．求下列多项式的值:（1）

221211a-8a-+6a-a2+，其中a=； 32342

（2）、3xy+2xy-7xy-

13、先化简，再求值。

2222

3122

xy+2+4xy，其中x=2，y=． 24

（1）（5a2－3b2）＋(a2－b2)－(5a2－2b2) 其中a=－1，b＝1

（2）9a－[－6a＋2（a－a）] 其中a=－2

14、（1）已知一个多项式与a2－2a+1的和是a2 +a－1，求这个多项式。

（2）已知A=2x2＋y2+2z,B=x2－y2 +z ,求2A－B

3

2

3

2

3

2

课后针对训练（二）

1．将如图两个框中的同类项用线段连起来: 2．当m=________时，-x3b2m与

13

xb是同类项． 4

3．如果5akb与-4a2b是同类项， 那么5akb+（-4a2b）=_______．

第1题

4、下列各组中两项相互为同类项的是（ ）

22

xy与-xy2; B．0.5a2b与0.5a2c; 3

1

C． 3b与3abc; D．-0.1m2n与m2n

2

A．

5、下列说法正确的是（ ）

A．字母相同的项是同类项 B．只有系数不同的项，才是同类项

C．-1与0.1是同类项 D．-x2y与xy2是同类项 6、合并下列各式中的同类项:

（1）-4xy-8xy+2xy-3xy； （2）3x-1-2x-5+3x-x；

（3）-0.8a2b-6ab-1.2a2b+5ab+a2b； （4）5yx-3x2y-7xy2+6xy-12xy+7xy2+8x2y．

（5）2（x - y）2—3（x - y）+5（x - y）2 + 3（x - y）

7、先化简，再求值

2

2

2

2

2

2

2(a2b ab2) 2(a2b 1) 2ab2 2，其中,a 2,b 2

8、已知（a－2）2＋+1＝0，求5ab2－[2a2b－（4ab2－2a2b）]的值。

课后针对训练（三）

1、代数式

1

xy的系数是________________. 2

2、 2ab 的系数为

3、化简：2y2 6y 3y2 5y=_____________ 4、下列各题中，去括号正确的是（ ）

A. 2a2 (3a 2b c) 2a2 3a 2b c B. 3a (5b 2c 1) 3a 5b 2c 1

C. a ( 3x 2y 1) a 3x 2y 1 D. (a 2b) (c 2) a 2b c 2 5、 a 2b 3c的相反数是（ ） A. a 2b 3c

B. a 2b 3c

C. a 2b 3c

D. a 2b 3c

6、计算：5(2x 7y) 3(4x 10y)

7、计算 22 3 1 1

3

4

5

1

8、计算16 ( 22) ( ) ( 2)2

4

9、长方形的一边长为3a 2b，另一边比它大a b，求这个长方形的周长。

能力提升

能力提升1：用字母表示数

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能力提升2：图形关系的代数表示

有些数量关系表现为图形中的数量关系，如果能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相结合，抽象与直观相结合，对培养数学能力是非常重要的。

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能力提升3：由代数式展开的推理

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能力提升4：求代数式的值

用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧． 【例1】 求下列代数式的值： （1）5ab 4

2

132113

ab 2ab a3b2 2ab a2b 5，其中a 1,b 2； 2424

2

2

2

2

（2）3xy {xyz (2xyz xz) 4xz [3xy (4xyz 5xz 3xyz)]}，其中x 1,y 2,z 3. 分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、

法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．

=0-4a3b2-a2b-5

=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5 =-16+2-5=-19．

(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2z[3x2y-(xyz-5x2z)] =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)

=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z

=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3) =12+6=18．

说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化． 【例2】已知a b 1，求a 3ab b的值．

分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．

解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简 a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3

=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1．

说明 这是用代入消元法消去a化简求值的． 解法2 因为a-b=-1，所以

原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab =-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab =-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 =-(-1)2=-1．

说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以 原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1．

说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3． 解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1， 即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1， 所以 a3-b3-3ab(-1)=-1， 即 a3-b3+3ab=-1．

说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值． 解法 5

a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab =(a-b)3+3ab(a-b)+3ab =(-1)3+3ab(-1)+3ab =-1．

说明 这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：

(a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ； a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

3

3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jh7j.html