通用版2019版高考数学一轮复习第7章不等式4第4讲基本不等式教案理

第4讲 基本不等式

(3)其中

1．基本不等式：ab≤

a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

a＋b称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2

2

2

2．几个重要的不等式

(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

?a＋b?(2)ab≤?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．?2??2

a2＋b2?a＋b?2(3)≥?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

2?2??

(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

3．利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

baab

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )

s241x

?a＋b?(2)ab≤?成立的条件是ab>0.( )?2??xyyx3

2(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )

(4)若a>0，则a＋的最小值是2a.( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

1a2

(教材习题改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )

B．77

A．80

D．82C．81

?x＋y??18?解析：选C.xy≤?＝??＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.??2??2?

若x<0，则x＋( )

221xA．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2

解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋1≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所－x

若x>1，则x＋解析：x＋

以x＋≤－2.

1x4的最小值为________．x－144＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.x－1x－14，即x＝3时等号成立．x－1

答案：5

当且仅当x－1＝

(教材习题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是

________．

解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，

?x＋y?所以S＝xy≤?＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．?2??

答案：25 m

2

2

利用基本不等式求最值(高频考点)

利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)求不含等式条件的函数最值； (2)求含有等式条件的函数最值； (3)已知不等式恒成立求参数范围．

[典例引领]

(1)函数f(x)＝

角度一 求不含等式条件的函数最值

x(x>0)的最大值为________．

x2＋3x＋11的最大值为________．4x－511x·＋3x＝，当且仅当x＝

(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋

54【解析】 (1)因为x>0，则f(x)＝

x1＝≤x2＋3x＋11x＋＋32x151x

则f(x)＝4x－2＋

时等号成立．

(2)因为x<，所以5－4x>0，

541?1?＝－?5－4x＋＋3≤－2＋3＝1.5－4x?4x－5??1，即x＝1时，等号成立．5－4x1的最大值为1.4x－515当且仅当5－4x＝

故f(x)＝4x－2＋

【答案】 (1) (2)1

角度二 求含有等式条件的函数最值

(1)(2017·高考山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为

________．

xyab(2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．

【解析】 (1)由题设可得＋＝1，因为a>0，b>0，

12ab所以

2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝2＋＋＋2≥4＋2

ab?ab?

?12?b4ab4a·＝ab??8?当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立?.??

故2a＋b的最小值为8.

(2)因为x>0，y>0，

b4aab

?x＋2y?所以8＝x＋2y＋x·2y≤(x＋2y)＋?，?2??

令x＋2y＝t，则

2

28≤t＋，即t＋4t－32≥0，

解得t≥4或t≤－8，

t24

即x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，

当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．

【答案】 (1)8 (2)4

角度三 已知不等式恒成立求参数范围

?1a?已知不等式(x＋y)?＋?≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

?xy?

________．

yax?1a?2

【解析】 (x＋y)?＋?＝1＋a＋＋≥1＋a＋2a＝(a＋1)(x，y，a>0)，

?xy?xy

当且仅当y＝ax时取等号，

??2

所以(x＋y)·?＋?的最小值为(a＋1)，

于是(a＋1)≥9恒成立．

所以a≥4.【答案】 4

2

1a?xy?利用基本不等式求最值的方法

(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；

②验证等号成立．

(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用

基本不等式求最值的条件．

(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”

或“常数1”的替换，构造不等式求解．

[通关练习]

1．(2018·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，

3)，则a＋b的最小值为________．

解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，

则＋＝1，

32ab??所以a＋b＝(a＋b)?＋?＝5＋＋

32?ab?3b2a≥5＋26.ab3b2a，ab当且仅当＝即a＝3＋6，b＝2＋6时等号成立．

答案：5＋26 2．(2017·高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1的最小值为________．ab14ab·＝4，

ab解析：因为ab＞0，所以

a4＋4b4＋124a4b4＋14a2b2＋11≥＝＝4ab＋≥2abababab

a2＝2b2，??a4＋4b4＋1当且仅当?时取等号，故的最小值是4.1abab＝?2?

答案：4

2x 3．当x∈R时，3－(k＋1)3＋2>0恒成立，则k的取值范围是________．

解析：由3－(k＋1)·3＋2>0，解得k＋1<3＋.

2xxxx23x?x因为3＋≥22?当且仅当3x＝，即x＝log32时，?

x23x23x 等号成立))，

23xx所以3＋的最小值为22.

2x又当x∈R时，3－(k＋1)3＋2>0恒成立，

所以当x∈R时，k＋1

??2?，?min即k＋1<22，即k<22－1.

答案：(－∞，22－1)

利用基本不等式解决实际问题

[典例引领]

某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本

1y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一

2

吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少

元才能使单位不亏损？

【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋

200≥2

yx1280 000－x180 000x·－200＝200，2x

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jh6h.html