北师大版高中数学选修3-1微积分练习 docx

高中数学学习材料

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微积分练习

1．17世纪中叶，数学史上发生了一件具有划时代意义的重大事件，那就是________的诞生．( )

A．函数 B．微积分 C．解析几何 D．极限思想 2．历史上第一篇系统的微积分文献是( ) A．牛顿的《自然哲学的数学原理》 B．牛顿的《流数法与无穷级数》 C．牛顿的《流数简论》

D．莱布尼茨的《一种求极大值极小值和切线的新方法》

3．微分学中的符号dx，dy等，积分符号∫的创立者是( ) A．莱布尼茨 B．阿基米德 C．高斯 D．牛顿 4．十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第________次数学危机．( ) A．一 B．二 C．三 D．四

5．设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )

A．成正比，比例系数为c B．成正比，比例系数为2c C．成反比，比例系数为c D．成反比，比例系数为2c

?x?1,?1?x?0,?6．函数f(x)＝??的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为( )

cosx,0?x???231A. B．1 C．2 D. 227．促使微积分产生的科学问题主要有______________，_____________，

______________，_______________四类问题．

8．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝____________；lim?x?0f(1??x)?f(1)＝________.(用数字作答)

?x

9．向高为8 m，底面边长为8 m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟则当水深为5 m时，水面上升的速度为________m/min. 10．利用定积分的几何意义计算：

83

m，3?4?xdx； ?(2)?sinxdx.

?(1)

?2?2211．结合史料，谈谈阿基米德对于微积分的创立起到了什么样的重要作用．

12．牛顿1666年写了《流数简论》之后，始终不渝地努力改进，完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文，这三篇论文的名称是什么？哪篇是牛顿最成熟的微积分著述？为什么？

13．为什么说在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉？

参考答案

1．答案：B 2．答案：C 3．答案：A 4．答案：B

5．答案：D 解析：∵V(t)＝

2

43

πR(t)， 3∴c＝V′(t)＝4πR(t)R′(t)． ∴R′(t)＝

c. 24?R(t)2

∵S(t)＝4πR(t)，

∴S′(t)＝8πR(t)R′(t)＝8πR(t)×

c2c＝.

4?R2(t)R(t)6．答案：A 解析：如图，根据定积分的几何意义可得所求的封闭图形的面积：

11×1×1＋?2cosxdx＝＋sinx0221?3＝?sin?sin0?. 222S＝

??20

7．答案：瞬时速度问题 切线问题 函数的最值问题 面积、体积、曲线长、重心和

引力的计算

8．答案：2 －2 解析：∵f(x)＝???2x?4,0?x?2,

x?2,2?x?6,?∴f(0)＝4，f(4)＝2，即f(f(0))＝2. 又根据导数几何意义可知lim9．答案：

?x?0f(1??x)?f(1)＝f′(1)＝－2.

?x8812 解析：设t分钟时，水深为h米，则由体积相等，得t?h?h， 7533213所以h＝2t，h′(t)＝?，

33t2128当h＝5时，t＝，

81258?所以v＝h′(t)|t＝(m/min)． 87510．解：(1)如图①，

?2?24?xdx等于图中阴影部分的面积，∴?22?24?x2dx＝

1?×22＝2π. 2

(2)如图②，∴

????sinxdx等于图中阴影部分的面积和，其中，在x轴下方的面积为负，

????sinxdx＝0.

11．答：在十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分．但微积分的原理，却可以追溯到古希腊人阿基米德所建立的确定面积和体积的方法．远在阿基米德那个时代(公元前二百多年)，没有解析几何，甚至连发达的字母符号也没有，可是几何学在古希腊已经达到了惊人的繁荣．直到今天，在初等的几何学中我们还很难再添加多少新的东西．正是在这种历史条件下，阿基米德率先推导出了球、圆锥的体积公式，以及抛物线的弓形面积公式，他所采用的无穷小量求和的方法已经接近于积分演算．后人在介绍阿基米德这种方法的时候，又用现代的符号和术语进行了加工．下面以阿基米德推导抛物线的弓形面积公式为例，介绍他采用的无穷小量求和的方法．设有一抛物线f(x)，求其与横轴x及直线x＝p(p＞0)所围的面积，即曲边三角形OPM(如下图阴影部分)的面积S.阿基米德是这样想的：设OP＝1，将OP分成n等份．曲边三角形OPM被分割成n个带状面积元，这些面积元可近似地看成矩形，各条“带子”的宽度是1/n，第k条带子的高是x＝

1?k?k处抛物线的纵坐标．所以第k条带子的面积是f??，各条矩形带子的面

n?n?n积和S是曲边三角形OPM的近似面积，当n→∞时就得到曲边三角形OPM的精确面积S.曲边

三角形OPM的面积求出后，再求抛物线弓形面积就十分容易了．正是这种分解为无穷多个无穷小量之和的方法，在两千年后发展成为积分学．阿基米德当时也曾预言：“我认为在现在或未来的研究者中，总会有人会利用这里所提出的方法获得我还不曾得到的其他定理．”果然如此，他的方法在另一种历史条件下获得了新的发展和新的形式，牛顿、莱布尼茨建立了更加一般的方法，并且给了一个恰当的名词：积分．

12．答：这三篇论文是(1)《运用无限多项方程的分析》，简称《分析学》；(2)《流数法与无穷级数》，简称《流数法》；(3)《曲线求积术》，简称《求积术》．

《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述．因为牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小量的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略．……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．”在此基础上定义了流数的概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比．确切地说，它们构成增量的最初比．”牛顿接着借助于几何解释

把流数理解为增量消逝时获得的最终比．所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导．牛顿在《曲线求积术》中还第一次引进了后来被普遍采用的流数记号．

13．答：牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人．他们都使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相关的问题归结为反切线(微分)运算．应该说，微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠牛顿与莱布尼茨的工作．在科学史上，重大的真理往往在条件成熟的一定时期由不同的探索者相互独立地发现，微积分的创立，情形也是如此．经过调查，特别是对莱布尼茨手稿的分析，证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明．就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨则先于牛顿．从而，就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的，故二者需共享荣誉．

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