飞行器自动控制导论 - 第三章飞行器的运动方程

第三章飞行器的运动方程 3.1 刚体动力学方程的推导 1.刚体飞行器运动的假设

1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；

2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标； 3）忽略地面曲率，视地面为平面； 4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；

5）假设机体坐标系的x?o?z平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积Ixy?Izy?0 2.旋转坐标系中向量的导数

设活动坐标系Oxbybzb具有角速度?（见图3.1-1）。向量?在此坐标系中的分量为p,q,r，即

?????pi?qj?rk ??? （3.1-1）

??其中i、j?、k是xb、yb、zb轴的单位向量。

?i

xb

?j

O

?k

yb

zb

??

图3.1-1

设有一个可变的向量a(t)，它在此坐标系中的分量为ax,ay,az，即

???? a?axi?ayj?azk （3.1-2）

?由上式求向量a(t)对时间t的导数：

??da??????dadaxdazdidjdky?i?j?k?ax?ay?azdtdtdtdtdtdtdt? （3.1-3）

从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度?旋转时，刚体上任何一点P的速度为

?drdt?其中r是从

?????r （3.1-4）

O点到P点的向径。

的向径，于是可得：

?现在，把单位向量i看作是活动坐标系中一点P

?didt?????i （3.1-5）

同理可得：

?djdt?dkdt????j （3.1-6） ?????k ? （3.1-7）

将式（3.1-5）、（3.1-6）及（3.1-7）代入式（3.1-3）中，可得：

?da????dax?day?daz??i?j?k???(axi?ayj?azk) （3.1-8） dtdtdtdt或写为：

?dadt??a?t??????a （3.1-9）

dax?day?daz??i?j?k 其中?tdtdtdt??a?a???da者所看到的向量a的变化率。而则称为“绝对导数”，相当于站在固定坐标系

dt????a中的观察者所看到的向量a的变化率。例如，若a是某点的向径，则代表该

?t?da?t称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察

点的相对速度（相对于动坐标系），而

dt则代表该点的绝对速度。

3.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器质心动力学方程

由牛顿第二定律得：

??d?F?(mV)|i

dt （3.1-10）

式中：F——外力

m——物体的质量 ?V——物体的速度

|i?——表示相对于惯性坐标系

在图3.1-2中，考察飞机上的一个质量元?m。

O ?r xb

?Vc yb zb

图3.1-2 飞机上的质量元 列出牛顿第二定律方程

??dV?F??m （3.1-11）

dt?式中：?F——作用在质量元上的外力

?V——质量元相对惯性坐标系的速度

作用在飞机上总的外力是这些微元的和，即

????F?F

（3.1-12）

质量元的速度为

???drV?Vc?dt （3.1-13）

?式中：Vc——飞机的质心的速度；

?drdt——微元相对于质心的速度。

将式（3.1-13）代入式（3.1-11），两边求和得：

????ddr ??F?F??(Vc?)?mdtdt （3.1-14）

假设飞机的质量是常数，式（3.1-14）可改写为

???dVcddrF?m???m （3.1-15）

dtdtdt或

?2??dVcdF?m?2?r?m （3.1-16）

dtdt由于r是从质心度量，所以和式?r?m?0。式（3.1-16）简化为

??dVc （3.1-17） F?mdt??这个方程把作用在飞机上的外力和飞机质心的运动联系起来。

由式（3.1-9）得

??dVc??F?m|B?m(??Vc)

dt （3.1-18）

???F,V,?用机体坐标系上的分量表示为

????F?Fxi?Fyj?Fzk （3.1-19）

?????pi?qj?rk ?（3.1-20）

????Vc?ui?vj?wk （3.1-21）

则有：

??qw?rv)?Fx?m(u???ru?pw)? Fy?m(v???pv?qu)?Fz?m(w（3.1-22）

这就是在机体坐标系（活动坐标系）下刚体飞行器质心动力学方程。 4.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器绕质心转动的力矩方程。

由牛顿第二定律得：

?d??M?H|idt （3.1-23）

?

式中： M——外力矩

?H|i——物体的动量矩（角动量） ——表示相对于惯性坐标系

用类似方法。对于质量微元?m，力矩方程可以写为

??dd???M??H?(r?V)?mdtdt??????drV?Vc??Vc???rdt （3.1-24）

质量微元的速度可以用质心的速度和质量元相对于质心的速度表达，即

（3.1-25）

总的动量矩可以写作

????????H???H??(r?V)?m??[r?(Vc???r)]?m???????(r?Vc)?m??r?(??r)?m （3.1-26）

?速度Vc对于求和来说是常数，可以拿到求和符号的外面，即

??????H??r?m?Vc??[r?(??r)]?m （3.1-27）

式（3.1-27）中的第一项为0，因为?r?m?0，前面已经解释过。 设

????r?xi?yj?zk

?（3.1-28）

将式（3.1-20）和（3.1-28）代入（3.1-27），得

??22H?[p?(y?z)?m?q?xy?m?r?xz?m]i?22?[?p?xy?m?q?(x?z)?m?r?yz?m]j

?22?[?p?xz?m?q?yz?m?r?(x?y)?m]k （3.1-29）

如果定义

Ix??(y?z)?m，Ixy??xy?m，Iy??(x?z)?m

22Ixz??xzdm，Iz??(x?y)?m，Iyz??yz?m

2222（3.1-30）

（3.1-31）

则有

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