教案1.5.1有理数的乘方(1)

1.5.1有理数的乘方（1）教 案 （ 武汉市第十一初级中学 杨剑文 ） 教学目标：

1.掌握乘方、幂、指数、底数等概念；

2.灵活运用有理数乘方的运算； 3.了解用计算器进行有理数的乘方运算．

教学重点：灵活运用有理数的乘方运算法则运算. 教学难点：

有理数乘方运算的符号法则．★插入知识点、重难点的微课Ⅰ 教学过程： 一、创设问题情境

珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8844.43米.如果把一张足够大的厚度为0．1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰.这是真的吗？ 通过这节课的学习,我们将会知道. 二、自主学习 ★课本链接

阅读教材P41—P42页内容,并填空.

⑴一般地，n个相同因数a相乘，即a·········a，记作 an ，读作 a的n 次方 ,求n个相同因数的 积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫做 幂 . 在

an中，a叫做 底数 ，n叫作指数 .当an看作a的n次方的结果时，也可读

作 a的n次幂 .

特别地,一个数也可以看作这数本身的一次方，如5就是5的一次，即5?51，指数为1通常 省略 不写.

⑵负数的奇次幂是 负 数，负数的偶次幂是 正 数；

正数的任何次幂都是 正 数，0的任何正整数次幂都是 0 ． 三、课堂探究（体现小组合作学习、师生互动）

探究一 有理数的乘方的意义

⑴边长为a的正方形的面积是a·a，棱长为a的正方体的体积是a·a·a． a·a简记作a2，读作a的平方（或二次方）． a·a·a简记作a3，读作a的立方（或三次方）．

⑵让我们再看一个例子，某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5个小时，这种细胞由1个分裂成210个．

- 1 -

1个细胞30分钟分裂成2个，1小时后分裂成2×2，1.5小时后分裂成2×2×2，?…，5小时后要分裂10次，分裂成

2?2????2?????2=1024（个） ????10个22??2?2?????2??????10个2 为了简便，可将记作210．

n

归纳： 一般地，几个相同的因数a相乘，记作an．即a=a ?a?a???a?????n个a 这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．

在an中，a叫底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．

探究二 有理数的乘方法则

⑴（－2）３的底数是___，指数是__，读作_______________，它表示____________，结果为______；

⑵（－2）４的底数是___，指数是__，读作________________，它表示__________，结果为________；

⑶2４的底数是____，指数是___，读作______________，它表示____________，结果为_____；

⑷0４的底数是_____，指数是_____，读作__________，它表示__________，结果为__________；

解：⑴（－2）３的底数是－2，指数是3，读作－2的3次方或－2的3次幂，它表示（－2）×（－2）×（－2），结果为﹣8；

⑵（－2）４的底数是－2，指数是4，读作－2的4次方或－2的4次幂，它表示（－2）×（－2）×（－2）×（－2），结果为１6；

⑶2４的底数是2，指数是4，读作2的4次方或2的4次幂，它表示2×2×2×2，结果为１6；

⑷0４的底数是0，指数是4，读作0的4次方或0的4次幂，它表示0×0×0×0，结果为0；

- 2 -

归纳：根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律为： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0. 四、综合应用探究: 例1计算：

3?2?⑴ (﹣4)3；⑵ (﹣2)4；⑶ ??? ；⑷（－1）11；

?3?解：⑴ (﹣4)3=(﹣4)×(﹣4) ×(﹣4)=﹣64； ⑵ (﹣2)4=(﹣2)×(﹣2) ×(﹣2) ×(﹣2)=16；

8?2??2??2??2?⑶ ???=???×???×???=?；

27?3??3??3??3?113 ⑷（－1）＝－1

例2计算：

（1）－3； （2）3×2； （3）（３×2）； （4）8÷（－2）；

2

3

3

3

解：（1）－32＝－（3×3）＝－9； （2）3×23＝3×8＝24

（3）（3×2）3＝63＝216； （4）（4）8÷（－2）3＝8÷（－8）＝－1

例3 ⑴若a?2015??b?1?=0，求ba=_________；

2 ⑵若?a?2015?3??b?1?3=0，求?a?b?=_________．

1分析：⑴∵两个非负数的和为0,∴这两个数都为0,可以 归纳成x?y?0一类型;

⑵∵两个数的立方和为0,∴这两个数都为0或这两个数的和为0,可以归 纳成a3?b3?0一类型.

解：⑴∵a?2015≥0，?b?1?≥0，∴a－2015=0，b+1=0,

2∴a=2015，b=－1∴ba=－1

⑵∵?a?2015?3??b?1?3=0,当a－2015=0，b+1=0时,

- 3 -

∴a=2015，b=－1∴?a?b?=2014;

1当∴a-2015+b+1=0时,∴a+b=2014, ∴?a?b?=2014.∴?a?b?=2014.

11★插入典型例题微课Ⅱ

五、课堂练习（以教材为主）

1.将教材例2中的算式 （-8）5和（-3）6用计算器进行计算．

解:由于不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同,所以此题仅作了解,具体参见计算器的使用说明.

2.练习：珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8844.43米.如果把一张足够大的厚度为0．1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰.这是真的吗？

解：∵0.1毫米×230=0.1毫米×1073741824 =107374.1824米

∴ 能超过珠穆朗玛峰的高度.

3．练习：⑴ 若(a－2)2＋|b－3|＝0，求ab、(－a)b的值；

3 ⑵若(a－2)３＋?b?3?＝0，求(a＋b)２的值． 解：⑴ab=8，(－a)b=-8；⑵(a＋b)２=25． 4．教材P42-43T1-3 六、小结提高

1.一般地，几个相同的因数a相乘，记作an．即a?a???a???a=an ???n个a 这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．

在an中，a叫底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．

2．根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律为： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0. 七、布置作业

练习：教材P47-48T1，7,11,12 八、教学反思 九、课后练习

（一）填空题（共24分）

- 4 -

★1（8分）.⑴(－2)3的底数是 ，指数是

，它表示 ；

； ；

解：(－2)3的底数是－2，指数是3，它表示3个－2相乘；

⑵－23的底数是 ，指数是 ，它表示 解：－23的底数是2，指数是3，它表示3个2相乘的相反数；

2 ⑶()3的底数是 ，指数是 ，它表示

3222解：()3的底数是，指数是3，它表示3个相乘；

33323⑷表示 3 ．

232?2?2解：表示2的3次方与3的商，即．

33★2（8分）.计算：??3? =_____，??2? =_____，﹣52=___，03=____； 解：﹣27，16，﹣25, 0.

★3（8分）.⑴若a2?25,b3?8，则a﹣

911= 或?5； 22b34 ⑵若?a?2015?2??b?1?2=0，求ba=－1；

（二）选择题（共24分）

★4（8分）．下列各组数：① ﹣52和(﹣5)2；② (﹣3)3和﹣33；③﹣(﹣0.3)5和0.35；

④0100和0200；⑤ (﹣1)3和﹣(﹣1)2；相等的共有（ C ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 ★5（8分）．下列运算错误的是（ C ）

1?1?A．﹣62=﹣36 B．???=

416??2C．(﹣1)1000＋(﹢1)999=0 D．(﹣4)3=64

★6（8分）．（2015·武汉四调·9改）计算机利用的是二进制数，它共有两个数

码0、1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n数的和，依次写出1或0即可，如19（+）=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（二）为二进制下的5位数，则十进制数2015是二进制下的（B ）

A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数

111010

提示：∵2=2048，2=1024，∴最高位应是1×2，故共有10+1=11位数．故选B．【点评】此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数．

（三）解答题（52分）

- 5 -

★7（10分）.计算.⑴ ﹣(﹣0.3)2 ⑵ (﹣6)×(﹣3)3 ⑶ (﹣4)2÷(﹣1)5

3

⑷(﹣2)×32 解：⑴ ﹣(﹣0.3)2=﹣0.09； ⑵ (﹣6)×(﹣3)3=﹣6×(﹣27)=162； ⑶ (﹣4)2÷(﹣1)5=16÷(﹣1)=﹣16； ⑷ (﹣2)3×32=﹣8×9=﹣72；

8（10分）.⑴已知 a?5，b?8，且a?b，求a2?b2的值；

解：∵|a|=5，∴a=±5，∵|b|=8，a＞b，∴b=﹣8；当a=±5，b=﹣8时，a2﹣b2=25﹣64=﹣39；

⑵若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，n在有理

a?b2012)?m2?(cd)2013?n(a?b?c?d)的数王国里既不是正数也不是负数，求(m值；

解：∵a、b互为相反数，∴a?b?0 ，∵c、d互为倒数，∴cd=1，∵m的绝对值是3，∴m=±3，∵n在有理数王国里既不是正数也不是负数，∴n=0， ∴

a?b2012()?m2?(cd)2013?n(a?b?c?d)=m0()2012?m2?12013?0?(a?b?c?d)=m2?1， m当m=±3时，原式=9﹣1=8； 9（15分）.你能比较20142015 和20152014 的大小吗？为了解决这个问题，可先把它一般化，即比较 nn?1和 ?n?1?的大小(n为正整数)，然后，从分析n=1、n=2、

nn=3、??这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论；

⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在横线上填入“＞”、“=”或“＜”)：

①12___ 21； ④45___54

②

2 23___3；

③34__43；

⑤56__65， ??

n⑵观察分析⑴中的结论，猜想 nn?1和 ?n?1?的大小关系； ⑶根据上面的归纳猜想得到的结论，可以判断：

20142015 ____20152014．

解：⑴依次填写：＜、＜、＞、＞、＞；

⑵当n＜3时， nn?1＜?n?1? ；当n≥3时，nn?1＞?n?1? ；

nn⑶ ＞

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★微课讲解Ⅲ

10（17分）.阅读理解题：我们把从1开始到n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有

?1??1?1???2??1?2??233， ??S1?13?12??S?1?2?1?2?2???2?2???22

?3??1?3??2，?? S3?13?23?33??1?2?3????2??2观察上面式子的规律，完成下面各题：

①猜想Sn=____________；(用n表示)

②依规律，直接写出13?23?33???103的值=______； ③依规律，求23?43?63???203的值； ④依规律，求113?123?133???403的值； 解:①Sn?13?23?33???n3??1?2?3???n?②S10?13?23?33???103??1?2?3???10?=552=3025

333③2?4?6???203=8S10=8×3025=24200

?40?1?40??3333④11?12?13???40=S40－S10=??－3025

2??22?n?1?n?????

2??222?10?1?10?????2??

=672400－3025=669375；

★微课讲解Ⅳ

参考答案（所有答案附在题后，以红色字体区分，解答题过程完整，★号题为必做题）

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