高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-5指数与指数函

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高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-5指数

与指数函数课时作业理练习

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1.×0＋×－＝________.

解析 原式＝＝2.答案 2

2．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足

f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．

解析 ∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n. 答案 m>n

3．(2017·衡水中学模拟改编)若a＝x，b＝x2，c＝x，则当x>1时，a，

b，c的大小关系是________(从小到大)．

解析 当x>1时，01，c＝x<0，所以c

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4.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，给出下列结

论：

①a>1，b<0； ②a>1，b>0； ③00； ④0

其中判断正确的结论有________(填序号)．

解析 由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0

函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0. 答案 ④

5．(2017·南京、盐城一模)已知c＝则a，b，c的大小关系是

________．

解析 ∵y＝x在R上为减函数，>，∴b，∴a>c，∴b6．(2017·南京调研)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，如果以P(x1，

f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)＝________.

解析 ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，

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∴x1＋x2＝0. 又∵f(x)＝ax，

∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1. 答案 1

7．(2017·南通调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足

f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．

解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 答案 [2，＋∞)

8．(2017·安徽江南十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大

值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________． 解析

??ex，x≥1，

f(x)＝?

?e|x－2|，x<1.?

当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)， 当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e， 因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e. 答案 e 二、解答题

9．已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 解 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．

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对于定义域内任意x，有

f(－x)＝(－x)3

＝(－x)3 ＝(－x)3 ＝x3＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．

(2)由(1)知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0， 即＋>0，即>0，则ax>1. 又∵x>0，∴a>1. 因此a>1时，f(x)>0.

10．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0. 解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1， 所以f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋.

由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．

又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<

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－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．

因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1， 即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－， 故原不等式的解集为.

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．

解析 因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－x， 令f(x)＝x－x，

则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以f(x)>f(0)＝0－0＝－1，所以a>－1. 答案 (－1，＋∞)

12．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论：

①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0； ③2－a<2c；④2a＋2c<2.

其中一定成立的是________(填序号)． 解析

作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图中实线所示， ∵af(c)>f(b)，结合图象知a<0,0

∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，

又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2. 答案 ④

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13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且

a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________. 解析 依题意，f(1)＝，∴a＝， ∴f(x)＝x，x>0.当x<0时，－x>0. ∴g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x. 答案 －2x(x<0)

14．(2017·××市教育学会期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且

e为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；

(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f(x)＝ex－x， ∴f′(x)＝ex＋x，

∴f′(x)>0对任意x∈R都成立， ∴f(x)在R上是增函数．

又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．

(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，

?f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立， ?x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立， ?t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立， ?t2＋t≤(x2＋x)min＝－?t2＋t＋＝2≤0， 又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.

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∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jgk6.html