限时规范检测（三十九） 合情推理与演绎推理

限时规范检测(三十九) 合情推理与演绎推理

(时间：45分钟 分值：69分)

一、选择题(共5个小题，每题5分)

1．推理“①矩形是平行四边形；②正方形是平行四边形；③正方形是矩形”中的小前提是( )

A．① B．② C．③ D．①和②

2．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，则a10＋b10＝( )

A．28 B．76 C．123 D．199

3．(2012·福州质检)将正奇数1,3,5,7，?排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

15 17 31

1 3 5 7 13 11 9

19 21 23 29 27 25 ??

A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 1

4．(2012·临沂模拟)已知x>0，由不等式x＋≥2

x

3xx414xx4

x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3 ··xx22x22x2a

＝3，?，我们可以得出推广结论：x＋n≥n＋1(n∈N*)，则a＝( )

x

A．2n B．n2 C．3n D．nn

x

5．方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝有唯一不动点，且x1＝1 000，

a?x＋2?xn＋1＝

1

(n∈N*)，则x2 013＝( ) 1?f??xn?

A．2006 B．2008 C．2012 D．2013 二、填空题(共2个小题，每题4分)

6．(2012·青岛模拟)在平面上，设ha、hb、hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形PaPbPc

内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把

hahbhc它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论______．

7．(2012·福州模拟)如图，一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为______________，第n行的第2个数为______________．

三、解答题(共3个小题，每题12分) 8．(2012·福建质检)阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②

由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，③ 令α＋β＝A，α－β＝B有α＝代入③得sin A＋sin B＝2sin

A＋BA－B

，β＝. 22

A＋BA－Bcos. 22

(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cos A－cos B＝－2sin

A＋BA－Bsin ； 22

(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，试判断△ABC的形状．

9．(2012·滨州模拟)设f(x)＝

1

，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然3x＋3

后归纳出一个一般结论，并给出证明．

10．已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，有an＋an＋1＋(－1)n1an·an＋1＝0.

＋

(1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)证明：当k∈N*时，≤a1＋a2＋?＋a2k<1.

2

答 案

限时规范检测(三十九)

1．解析：选C 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是结论；③是小前提． 2. 解析：选C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.

3. 解析：选D 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．

4. 解析：选D 再续写一个不等式 4xxx3333xxx33

x＋3＝＋＋＋3≥4 ···＝4， x333x333x3由此可得a＝nn.

x5. 解析：选A 由＝x，得ax2＋(2a－1)x＝0.

a?x＋2?

12x

因为f(x)有唯一不动点，所以2a－1＝0，即a＝，所以f(x)＝. 2x＋22xn＋111

所以xn＋1＝＝＝xn＋.

1?22f??x?n

1

即xn＋1－xn＝.

2

1

所以{xn}是首项为1 000，公差为的等差数列．

21

所以x2 013＝x1＋×2 012＝1 000＋1 006＝2 006.

2

6. 解析：设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是我们可以得到结论：

PaPbPcPd

＋＋＋＝1. hahbhchd

PaPbPcPd答案：＋＋＋＝1

hahbhchd

7．解析：每行的第一个数可构成数列1,3,5,7,9，?，是以1为首项，以2为公差的等差数列，故第n行第一个数为1＋2(n－1)＝2n－1.

从第2行起，每行的第2个数可构成数列3,6,11,18，?，

可得a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，?，an－an－1＝2n－3.(其中n为行数)，以上各式两边分别相加，可得

?n－2?[3＋?2n－3?]

an＝[3＋5＋7＋…＋(2n－3)]＋a2＝＋3＝n2－2n＋3.

2答案：2n－1 n2－2n＋3

8．解：(1)证明：因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin α sin β，②

①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β，③ 令α＋β＝A，α－β＝B有α＝

A＋BA－B

，β＝， 22A＋BA－B

sin . 22

代入③得cos A－cos B＝－2sin

(2)法一：由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化为 1－2sin2A－1＋2sin2 B＝1－1＋2sin2C， 所以sin2A＋sin2C＝sin2B.

设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理可得a2＋c2＝b2.

根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．

法二：利用(1)中的结论和二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化为－2sin(A＋B)sin(A－B)＝1－1＋2sin2 C，

因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π， 所以－sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2(A＋B)． 又因为0

π

又因为sin A≠0，所以cos B＝0.故∠B＝. 2所以△ABC为直角三角形．

1111

9解：f(0)＋f(1)＝0＋＝＋ 3＋33＋31＋33＋3＝

3－13－33＋＝. 263

同理f(－1)＋f(2)＝f(－2)＋f(3)＝

3. 3

3， 3

由此猜想：当x1＋x2＝1时， f(x1)＋f(x2)＝

3. 3

证明：设x1＋x2＝1，则 f(x1)＋f(x2)＝＝

11

＋

3x1＋33x2＋3

?3x1＋3?＋?3x2＋3?3x1＋3x2＋23

＝

?3x1＋3??3x2＋3?3x1＋x2＋3?3x1＋3x2?＋33x1＋3x2＋233x1＋3x2＋23

＝ 3?3x1＋3x2?＋2×33?3x1＋3x2＋23?3. 3

＝＝

故猜想成立．

1＋

10．解：(1)因为a1＝1，故由an＋an＋1＋(－1)n1an·an＋1＝0，易知an≠0，且n＋1?－1?an＋1

－

1

＝－1.

?－1?nan

1??11

所以数列??－1?na?是首项为＝－1，公差为－1的等差数列，从而＝－1

?－1?1a1?－1?nan?n?＋(n－1)×(－1)＝－n，

?－1?n1

所以an＝. n

－

(2)证明：设S2k＝a1＋a2＋a3＋?＋a2k，

1111111111?1－?≥， －＋?＋?则S2k＝1－＋－＋?＋－＝＋?234?2k－12k?22k－12k2?34?11?11??11?1???－－－S2k＝1－?23?＋?45?＋?＋2k－22k－1＋2k??<1. ???1

故≤a1＋a2＋?＋a2k<1.(k∈N*)． 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jgbf.html