数学变式训练

数学变式训练 激活学生思维

松江二中（集团）初级中学 刘艳杰

《上海市中小学数学课程标准》中指出：“数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和。数学课程及其教学，不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生理解数学的社会价值，领略数学文化的内涵，体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素养得到全面提高。”可见，培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。如何培养学生良好的数学思维呢?经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。

那么，什么是数学变式训练呢？所谓数学变式训练,即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式,以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化,使其条件或结论的形式或内容发生变化,而本质特征却不变.也就是所谓“万变不离其宗”.

变式训练是提高学生的发散思维能力,化归、迁移思维能力和思维灵活性的有效方法之一.数学教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条经验中,其中一条“组织好课堂层次序列,进行变式教学”,就强调了变式训练的重要性.运用变式训练可以提高数学题目的利用率,提高教学有效性,起到综合运用知识,有效培养学生综合思维能力,充分理解数学本质属性的作用.这同时也符合新课程标准的基本理念.下面结合课堂教学实践谈谈在数学教学中如何运用变式训练，激活数学思维。

一、 概念的变式训练

数学思维能力的发展离不开数学概念的形成，尤其是对概念的内涵和外延的理解。因而在概念形成过程中的训练主要是通过多方面呈现概念的外延和触及一些“貌似神离”的情况，以便突出概念的内涵，使学生能深刻、准确地理解掌握概念。

如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练， 例题：16的平方根是 。

此例题主要是让学生理解、掌握平方根的概念。但本节课还介绍了“正的平

方根，负的平方根这两个概念，学生在刚刚学习这几个概念时，往往区分不开，为了让学生加深对几个概念的理解，我在例题的基础上设置了变式1，

变式1：16的正的平方根是 。16的负的平方根是 。 通过这个变式1和例题的对比学生可以很清晰的理解几个概念的联系和区别，加深对概念的内化理解。

在平方根这节课的教学时，还介绍了平方根、正的平方根、负的平方根的符号表达式，但在应用时学生对符号式和文字表达理解不够深刻，往往到初三复习时还会出现理解错误，因此在变式1的基础上我又出示了变式2，

变式2：

16的正的平方根是 。

学生在解决变式2时出错率很高，他们把此题错误的理解成“求16的正的平方根，得到的答案多数为4”，这正是学生没有理解好符号与文字表达的关系的具体体现。在学生出错的基础上讲解，此题要经过两次运算，先算

16等于4，

再算4的正的平方根等于2。学生听完讲解恍然大悟，理解了自己出错的真正原因，加深了对符号表达和概念的理解。

接下来，为了锻炼学生对概念的灵活掌握和应用，培养学生逆向思维的能力我又设置了下面的变式，

变式3：已知a的平方根是?0.5，则a= 。

通过这个变式训练学生对平方根的概念掌握更加灵活，同时也培养了数学思维能力。

二、 公式、法则、定理等的变式训练

数学中的公式、法则、定理是数学知识中的重要内容，它们是解决数学问题的重要理论基础，必须让学生灵活，熟练的掌握。在教学中我们要善于利用变式训练引导学生掌握公式、法则、定理中的各要素之间的联系和本质规律，使学生能加深理解和灵活运用。

如在学习圆的切线的判定定理时，对定理“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的讲授我就采用了变式训练，以帮助学生多方位灵活理解和掌握。我给学生强调了定理中的关键要素：过半径外端、垂直 ，出示变式判断题，并给出图示说明，让学生理解正误的原因。

(1)经过半径外端的直线是圆的切线．(×)图1 (2)垂直于半径的直线是圆的切线． (×)图2

(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．(√)图3

通过上面的变式判断，学生很轻松的掌握了切线的判定定理，避免了机械背诵、生搬硬套，又从多方位理解了定理的实质，增加了思维的灵活性。还有如对完全平方公式“式训练：

计算：(1)

(3)

图1 图2 图3

?a?b?2?a2?2ab?b2”的新课讲授时我设置了如下的变? , (2)?3a?b?? , 22?x?2y?2??x?2y?? ,(4)??3a?b?? 。

2计算中的(1)、(2)是直接运用公式，熟练公式；(3)主要是让学生理解可以把“?x”看做公式中的“a”套入和的完全平方公式或者把“2y”看做公式中的“a” ，“x”看做公式中的“b”套入差的完全平方公式；(4)可以让学生把“?3a”看做公式中的“a” 套入差的完全平方公式或者先变形为“(?3a?b)2?(3a?b)2”再计算。通过这几个计算可以让学生灵活准确的

确定公式中的a和b并正确选择公式，正确计算。

这些训练由浅入深，实实在在的增强了学生对完全平方公式的内化理解，提高了对公式熟练应用的程度。

三、 题目形式的变式训练

题目形式的变式训练就是让学生同时练习那些在知识、方法上有关联，而在形式上又不同的题目组成的题组，使学生对一些基本知识、方法及重要的数学思想加深领会，达到触类旁通的境地。

1、 多题一解，培养学生触一通类的数学思维能力。

如在确定二次函数的解析式教学时，我设置了这样一组变式题目： 例题：已知二次函数的图像经过A??3,0?、B?1,0?、C?0,?3?三点，求这个二次函数的解析式。例题的教学采取学生议练，教师点拨、评讲相结合，着重引导学生解决如何设所求函数的解析式、怎样建立方程组。

从例题出发，组织变式训练，提高训练效率。 变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y??x?3的图像与x轴、y轴

的交点A、C，并且经过点B?1,0?，求这个二次函数的解析式。

变式2：已知抛物线经过两点B?1,0?、C?0,?3?。且对称轴是直线x??1，求这条抛物线的解析式。

变式3：已知一次函数的图像经过点?1,0?，且在y轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于A1,m、B???n,4?两点，又知二次函数的对称轴是直线

x?2，求这两个函数的解析式。

变式题的教学，先让学生议练，教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题进行点拨，在思路上为学生扫除障碍。

对变式1，先让学生比较它与例题的已知条件有什么不同？再思考怎样转化为例题求解，然后讨论怎样求A、C两点的坐标。对变式2，引导学生抓住“对称轴是直线x??1”利用对称性，求点A的坐标。对变式3，要善于应用“化整为零、各个击破”的思想方法把一个综合题分解为几个简单问题来解决，逐步引导学生把变式3分解为三个简单问题：①求一次函数的解析式；②求m、n的值并画出草图分析；③求二次函数的解析式（转化为变式2）。

这组题目最终都是通过设二次函数一般式，利用三点法建立方程组来求解。通过这组“多题一解”变式训练，既可巩固强化解题思想方法，又让学生通过多题一解，抓住本质，触一通类，培养学生的变通能力，发展智力，激活思维，收到举一反三，少而胜多的效果。

2、

一题多变，培养学生思维的深刻性。

如在平行四边行形的判定定理3的教学时，设置了这样一组变式题目：

例题：如图1，在平行四边形ABCD中，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由。（引导学生分析，完成此例题）

变式训练：

变式1:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为点E、F三等分对角线BD，其它条件不变，问上述结论成立吗？为什么？

变式2:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为BE=DF，其它条件不变，结论成立吗？为什么？

变式3:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为E、F为直线BD上两点且BE=DF，结论成立吗？为什么？

变式4:如图2：在平行四边形ABCD中，H、G、E、F分别为线段BO、DO、AO、CO的中点，问四边形EGFH是平行四边形吗？为什么？若结论成立，那么直线EG、FH有什么位置关系？

图1

图2

图3

变式5:如图3在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个点；G、H是对角线BD上的两点。已知AE=CF，DG=BH，上述结论仍旧成立吗？

这组题中，例题主要是利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这个判定来证明四边形AECF是平行四边形。变式1虽然E、F位置改变但引导学生抓住实质，利用等式性质仍能证出OA=OC,OE=OF,还可以利用例题的判定方法，学生能进一步熟练此判定。变式2把例题和变式1中点E、F所具有的特殊性规律变为一般性规律，让学生体会仍能利用例题的判定得出一样的结论，加深了学生对判定的理解，也培养了学生的由特殊到一般的归纳分析能力。变式3在变式2

的基础上进一步加深，由点E、F的位置在线段上变为在直线上，范围扩大，在例题图形基础上让学生自己画出满足条件的图形加以探究，发现此问题仍然可以利用例题的判定方法得出相同的结论。通过变式3的训练可以充分培养学生的探究能力，挖掘学生思维的深度、广度，加深对判定的灵活应用。变式4由例题中在一条对角线上的满足一定条件的两个点变为两条对角线上满足一定条件的四个点，学生有前面的例题作为铺垫，可以很容易解决此题，在解决此题中既多次巩固平行四边形的性质和判定定理又培养了学生思维的发散性。变式5在变式4的基础上题目增强了一般性，让学生体会从特殊到一般的过程。

可见，这组变式题“变”的过程中在逐步加深，让学生深刻理解平行四边形的判定定理的应用，同时极大地锻炼了学生的思维深度、广度，提高了数学解题能力和探究能力。

四、 解题方法的变式训练

解题方法的变式训练也就是我们常说的“一题多解”类训练。在教学中老师要善于设置“一题多解”类变式训练，引导学生能从不同的角度，不同的知识，不同的思想方法来思考解决同一个问题，使学生从单一的思维模式中解放出来,达到以创新方式来解答问题，培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。

如对2005年上海市中考第23题讲解时，我就有意识地训练学生一题多解。 题目：已知，如图，圆o是?ABC的外接圆，圆心o在这个三角形的高CD 上，E、F分别是边AC和BC的中点.求证：四边形CEDF是菱形.

本题大部分学生先用垂径定理证明出AD=BD,然后利用中垂线的性质和三角形的中位线定理证出四条边相等来判定四边形CEDF是菱形。此时，引导学生回忆菱形的判定还有哪些？思考这道题还可用其他判定吗？学生马上会想到这样 两种思路：

再证邻边相等

先证四边形CEDF是平行四边形

四边形CEDF

是菱形

再证对角线互相垂直

通过这三种不同角度的证法，使学生既熟练了菱形的判定方法，又加深了对 判定间的联系和区别的理解，开阔了学生的思路，激活了思维。

以上我介绍了几种基本的数学变式训练，其实数学变式训练不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习的需要，遵循学生的认知规律而设计，其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用----理解----形成技能----培养能力”的认知过程。因此，教学中数学变式训练设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的度，要有目的性，要起到引导、激发学生思维活动的作用。

由于我在教学过程中坚持经常性的使用变式训练，所带班级的学生的思维能力得到了很大提高，数学成绩一直在几个同类班级中遥遥领先。实践证明，数学变式训练是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式，它能有效地培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性和灵活性。因此，在数学教学中我们要善于利用变式训练，激活学生思维，提高课堂教学有效性!

参考文献：

1、《上海市中小学数学课程标准》 上海教育出版社 2004年 2、赵晓楚 周爱东 如何在数学课堂中实施变式教学 中小学教学研究 2007年第5期

3、徐勇彪 变式训练在初中数学中的应用与思考 新课程研究(教师教育) 4、冯克诚 《中学数学课堂教学方法》 内蒙古大学出版社

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