高中数学新同步北师大版必修1课时作业21 函数与方程

课时分层作业(二十一) 函数与方程

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()

A．(－2，－1)B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

B[因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线，又f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(－1)·f(0)＜0，故函数零点所在的一个区间是(－1,0)．故选B.]

2．函数f(x)＝(x－1)ln x

x－3

的零点有()

A．0个B．1个C．2个D．3个

B[由f(x)＝(x－1)ln x

x－3

＝0得x＝1，

∴f(x)＝(x－1)ln x

x－3

只有一个零点．]

3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a>1

C．a≤1 D．a≥1

B[由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.]

4．函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是()

A．(1,2) B．(2,3)

C．(3,4) D．(4,5)

B[∵f(x)＝log3x＋x－3，

∴f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，

f(2)＝log32＋2－3＝log32－1＜0，

f(3)＝log33＋3－3＝1>0，

f(4)＝log34＋4－3＝log34＋1＞0，

f(5)＝log35＋5－3＝log35＋2＞0，

∴函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点所在大致区间是(2,3)．故选B.]

5．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )

A ．在区间? ??

??1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间? ??

??1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间? ??

??1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间? ??

??1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 C [因为f ? ??

??1e ＝13e －ln 1e ＝13e ＋1＞0， f (1)＝13－ln 1＝13＞0，

f (e)＝e 3－ln e ＝e 3－1＜0.

故函数f (x )在? ??

??1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．] 二、填空题

6．函数f (x )＝x 2＋mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是________． 1 [由题意(－6)2－6m －6＝0，解得m ＝5，

由x 2＋5x －6＝0，解得x 1＝－6，x 2＝1.故另一个零点为1.]

7．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．

(1，＋∞) [函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图像(如图所示)，可知a ＞1时两函数图像有两个交点，0＜a ＜1时两函数图像有唯一交点，故a ＞1.

]

8．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.

2 [∵2＜a ＜3＜b ＜4，

当x ＝2时，

f (2)＝lo

g a 2＋2－b ＜0；

当x ＝3时，f (3)＝log a 3＋3－b ＞0，

∴f (x )的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2.]

三、解答题

9．求函数y ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2(a ∈R )的零点．

[解] 令y ＝0并化为：(ax －1)(x －2)＝0.

当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2；

当a ＝12时，则由? ??

??12x －1(x －2)＝0， 解得x 1＝x 2＝2，则其零点为x ＝2；

当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，

解得x ＝1a 或x ＝2，则其零点为x ＝1a 或x ＝2.

10．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．

[解] 令g (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.

依题意得??? m >0，f (4)<0或??? m <0，f (4)>0，

即??? m >0，26m ＋38<0或???

m <0，26m ＋38>0，

解得－1913

??－1913，0. [等级过关练]

1．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.? ??

??－14，0 B ．? ????0，14 C.? ????14，12 D ．? ????12，34 C [∵g (x )＝e x 在(－∞，＋∞)上是增函数，h (x )＝4x －3在(－∞，＋∞)上是

增函数，∴f (x )＝e x ＋4x －3在(－∞，＋∞)上是增函数．又f ? ????－14＝e －14－4＜0， f (0)＝e 0

＋4×0－3＝－2＜0，f ? ????14＝e 14－2＜0， f ? ????12＝e 12－1＞0，∴f ? ????14·f ? ??

??12＜0.] 2．函数f (x )＝???

x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0

零点的个数为( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 B [作出函数f (x )＝???

x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x ＞0的图像如图所示：

则f (x )的零点个数为2.]

3．函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋a －2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数a 的取值范围是________．

? ??

??－∞，23 [因为f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋a －2的函数图象为开口向上的抛物线，且有两个零点，一个大于1，另一个小于1，则f (1)＝12＋(2a －1)×1＋a －2<0，

解得a <23，故实数的a 的取值范围为???

a ??????a <23.] 4．已知函数f (x )＝??? x ，x ≤0，x 2－x ，x ＞0，

若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．

? ??

??－14，0 [令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m . 由题意函数f (x )与y ＝m 的图像有三个不同的交点．

由图可知．

故当－1

4＜m＜0时，两函数有三个不同的交点，

故函数的取值范围为－1

4＜m＜0.]

5．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.

(1)若a＞b＞c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；

(2)设x1，x2∈R，x1＜x2，且f(x1)≠f(x2)，若方程f(x)＝1

2[f(x1)＋f(x2)]有两个不

等实根，试证明必有一个实根属于区间(x1，x2)．[证明](1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.

又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0，

∴Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，

∴f(x)必有两个零点．

(2)令g(x)＝f(x)－1

2[f(x1)＋f(x2)]，

则g(x1)＝f(x1)－1

2[f(x1)＋f(x2)]

＝1

2[f(x1)－f(x2)]，

g(x2)＝f(x2)－1

2[f(x1)＋f(x2)]

＝1

2[f(x2)－f(x1)]．

∵g(x1)·g(x2)＝－1

4[f(x1)－f(x2)]

2，

且f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)＜0.

∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根.

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