整数根与有理根（含答案）

更新时间：2024-04-10 12:03:01 阅读量：综合文库文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

整数系数多项式的有理根推荐度：
相关推荐

www.czsx.com.cn

一元二次方程（四）整数根与有理根

A卷

1．已知k为整数，且关于x的二次方程(k2?1)x2?3(3k?1)x?18?0有两个不等的正整数根，则k = _________。

2．设一元二次方程x?3x?a?4?0的两根均为整数，且两根同号，则a = __________。 3．方程 (x- a ) (x – 8 ) – 1 = 0的两个整数根，则a = __________。 4．若p,q都是正整数，方程

2121px?qx?1993?0的两根都是质数，则2p + q = ________. 225．已知p,q为自然数，方程2px2?qx?1990?0两根都是质数，则p+q = ________。 6．若p是质数，且方程x2?px?444p?0的两根均为整数，则p = ______。

7．设方程x2?px?p?0的两根x1,x2均为正整数，若p + q = 28，则

(x1?1)(x2?1)=___________。

8．如果a为有理数，要使方程2x2?(a?1)x?(3a2?4a?b)?0的根总是有理数，则b的值应为____________。

9．设关于x的二次方程(a?1)x2?(a2?a?1)x?2a2?a?0当a______时，此方程至少有一个正整数解；当a_______时，此方程有两个正整数解；当a__________时，此方程有

两个负整数解。

10．对于整系数一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有有理根的充要条件是________；若a,b,c均为奇数，则方程_______________，若a,b为偶娄，c为奇数，则方程___________，若此方程有有理根p/q(p,q互质)，则p,q,a,c之间必有关系______________；若a>0且不是完全平方数，则方程有______。

B卷

一、填空题

1．若k是自然数，且关于x的二次方程(k?1)x?px?k?0有两个正整数根，则

22kkp?(pp?kk)?kk?p?2?kp?1?____________.

2．两个质数p,q恰是整系数方程x?99x?m?0的两根，则

2pq??________. qp3．若二次方程ax?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数根，则自然数a = ____. 4．若正整系数二次方程4x?mx?n?0有相异的两个有理根p,q，且p>q，又方程

- 1 -

22www.czsx.com.cn

x2?px?2q?0与方程x2?qx?2p?0有一公共根，则方程x2?px?2q?0的另一

根为___________。

5．设a,b,c为三角形ABC的三边，且满足:（1）a > b > c；（2）2b = a + c；（3）

a2?b2?c2?84, 则整数b = __________。

6．象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局，每局赢者得2分，输者得0分，平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是1980、1983、1989、1991，经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有_____名选手参加比赛。二、选择题

1．设p是质数，如果方程x2?px?580p?0的两根均为整则，则（） A．0 < p < 10; B．10 < p < 20; C．20 < p < 30; D．30 < p < 40.

2．设m，n为整数，则方程x?10mx?5n?3?0和方程x?10mx?5n?3?0必定（） A．至少有一个有整数根； B．均无整数根；C．仅有一个有整数根；D．均有整数根。 3．关于x的一元二次方程x?2mx?2n?1?0（m、n都是整数）如果有一个整数根?，则对它的另一根?所作的如下断言中正确的是（）

A．?不是整数；B．?一定是整数；C．?一定是奇数；D．?一定是偶数。 4．若方程x?mnx?m?n?0有整数根，且m、n为整数，则m?n的值有（） A．1个; B．3个; C．5个; D．无数个三、解答题

1．若x,y为正整数，使得x?y?x能被2xy整除，证明：x为完全平方数。

2．M为何整数时，9m?5m?26能分解成两个连续自然数之积。

2222222- 2 -

www.czsx.com.cn

3．已知方程x?bx?c?0及x?cx?b?0分别各有两个整数根且两根均同号，求证：b–1 ≤ c ≤ b + 1 .

答案 A卷

1．原方程化为[(k+1)x - 6][(k - 1)x – 3 ] = 0, ∴x12263,x2?,?k?2, k?1k?12．-2;

3．8; 4．1997 5．409

6．设x1,x2原方程的两根，则x1x2??444p, ∵p为质数，故x1x2中有一个是p的倍数，设x1=kp（k为整数），又x1?x2??p, ∴x2??(k?1)p,

∴x1x2?kp[?(k?1)p]??k(k?1)p??444p,即k(k?1).p?2?3?37, 当k=3时，p=37，∴p = 37。 7．29； 8．1；

9．原方程变形为[(a-1)x – (2a+1)](x-a)=0 当a=1时，原方程只有一个根x=a；当a≠1时，其二根为x1?a,x2?222a?1,因此， a?1（1）当a为任何正整数时，方程至少有一个正整数根，（2）要使方程二根均为正整数，由于

- 3 -

www.czsx.com.cn

x2?2a?1(2a?2)?33??2?, a?1a?1a?1所以，当a为正整数，只要3能被a-1整除，则x2是正整数，故只须取a=2或a=4即可，

当a=2时，方程有两个正整数根x1?2,x2?5; 当a=4时，方程有两个正整数根x1?4,x2?3; （3）当x1?a为负整数时，由a-1<0, 2a+1<0, ∴x2?2a?1?0,为正数， a?1∴无论a取何值，方程两根不会是负整数。 10．

?=b2?4ac?0是一个完全平方数；

无整数根，p/c且q/a；有共轭无数根?B卷

一、填空题

1．设α、β是方程(k?1)x2?px?k?0的两个正整数根，则???bb?, 2a2k1p?1?,????. k-1k?1k?1由于α、β是正整数，故αβ也是正数，从而k=2，则αβ=2且α+β=3=故p=3，

从而k(p?k)?kkppkk?2?pp

, p?1

?kp?1?26(33?22)?22?2?3?2?3?1?1993.

2．由韦达定理，p+q=99，由于p,q是质数，

故p,q中必有一个为2，要计算的代数式关于p,q是对移的，不妨设p=2，从而q=97，∴

qp9729413???? pq2971943．∵原方程至少有一个整数根，

故?=4(2a?1)?4a?4(a?3)?4(8a?1)为完全平方数，

2设8a?1?(2m?1)（m为自然数）则a?21m(m?1)代入原方程，得 2- 4 -

www.czsx.com.cn

1m(m?1)x2?2[m(m?1)?1]x?2m(m?1)?12?0解之得 244x1??2?,x2??2?

mm?1∵x1,x2中至少有一个整数，∴m | 4或（m+1）|4．又∵m为自然数，∴m=1，2，4或m+1=2，4。

∴m=1，2，3，4，从而a=1，3，6，10。 4．设公共根为a，则

2??a?pa?2q?0 ∴(p – q )a + 2 (p – q ) = 0 ?2??a?qa?2p?0∴(p – q )(a + 2) = 0

∵p < q, ∴p – q ≠0,即 a + 2 =0， ∴a = -2，代入到x?px?2q?0得

22?2p?2q?0,?p?q??2.

又∵4x?mx?n?0有相异二有理根p,q ∴p + q =?2m??2,∴m=8，而 4?=m2?16n?0,?82?16n?0,n?4,?n为正整数，且 ?=m2?16n?82?16n?16(4?n)

为完全平方数，所以 4 – n = 1，所以n = 3。

?p?q??2?由于? 3pq??4?3?1?p??p?????2?2或? ?13?q???q??(不合)?2?2??∴x?23x?1?0 2122设方程x?px?2q?0的另一根为β，则（-2）β=-1，∴β=.

5．由条件（2）、（3）可得

?a?c?2b??5b2?84 ?ac?2?- 5 -

www.czsx.com.cn

又∵a>c>0，∴a,c是关于x的二次方程

5b2?84x?2bx??0的两个不等正根，从而

22????4b2?2(5b2?84)?0?84?b2?28 解之得?2b?04?5b2?84??0?2∵b是整数，b>0，∴b2?25,即b=5. 6．设共有x名选手参加，依题意可得

x(x?1)?2?x(x?1) 2∵x是正整数，且大于1，所以x, x –1是两个连续的正整数。不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，

故得分总数只能是1980，则x(x-1)=1980，解之得x1?45,x2??44（舍去），故共有45名选手参赛。二、选择题

1．由已知得?=p2?4?(?580p)?p(p?4?580)为完全平方数，因为p是质数，故p /（p+4×580）, ∴p / 4×580，但4×580=2?5?29 （1）若p=2，则p(p+4×580)=2 ×11611非完全平方数，不合；（2）若p=5，则5(5+4×580)=5 ×465=5 ×93非完全平方数，不合；

（3）若p= 2q，则2q(2q+4×580)=2q(1+4×20)= 2q×81=2q×q为完全平方数，故应选C

2．对于两个方程来说，?=4[5(m?n)?3]，而5(5m?n)的个位数字只能是9或5，故5(5m?n)的个位数字只能是0或5。

故为5(5m?n)±3的个位数字只能是2，3，7，8之一，而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0，1，4，6，9之一， ∴当m,n为整数时，5(5m?n)±3均不是完全平方数，于是，这两个方程均无有理根，当然它们也均无整数根，故应选B

2222222222324- 6 -

www.czsx.com.cn

3．B

4．设方程有整数根x1,x2，则x1?x2=mn>0，x1x2=m+n>0，故这两个根均为正数。

又(x1?1)(x2?1)?(m?1)(n?1)?2其中(x1?1)(x2?1),m?1,n?1均非负，而2分为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0。分别可解得

??m?2或?m?3?m?2 ??n?3??n?2;??n?2?m?1?n?5,??m?5 ?n?1∴m·n的值仅有3个，故选B 三、解答题

1．∵x2?y2?x能被2xy整除，

则有x2?y2?x=2kxy（k为整数）整理成关于y的二次方程：

y2?2kxy?(x2?x)?0 （1）