武汉大学数学与统计学院2007

线性代数!!!!!

武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期

《线性代数B》 （A卷，工54）

学院 专业 学号 姓名

注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律

无效。大学期末考试试题http://www.77cn.com.cn 一、（10分） 计算下列行列式；

1. 2. 若

;

都是四维列向量，且四阶行列式

求四阶行列式

.

二、（10分）若有不全为零的数

使

成立，则

线性相关，也线性相关.试讨论该结论是否正确？

三、（12分）设3阶方阵，试求：

（为正整数）及其特征值

1、的特征值和特征向量； 2、和特征向量。

四、（15分）当为何值时，方程组

穷多解？在有解时，求出方程组的解.

有唯一解、无解、有无

线性代数!!!!!

五、（15分）

设二次型

二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为1、的值； 2、用正交变换将二次型变换与正交矩阵.

六（18

分）在四维实向量构成的线性空间

其中

化为标准形，并写出所用的正交

中,已知：

；

。

1、 求

使2、

求由基

3、

设线性变换为：矩阵C. 七（20分） 1. 设阶方阵2. 设

的伴随矩阵为

证明：若

，

则，

；

，证明：

为

的基；

的过渡矩阵

；

下的变换

,求在基

为阶矩阵，且满足

。

武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期

《线性代数B》 （工54，A卷答案）

一、1、从第2行开始，每一行乘以（-1）加到上一行，然后从第1列开始，

每列加到后1列，得

线性代数!!!!!

2、由行列式的性质，可得

.

二、

由题设能断定向量组

一定别线性相关.例如取

线性相关，但其部分向量组不

则当

时，有

却分别线性无关.

从而

线性相关，

但其部分向量组

三、1、

。

当

时，解线性方程组

，由

，故

的特征值为

，可得基础解系

的全部特征向量为

当故对应于

（

）；

，可得基础解系

(

，故对应于

时，解，

不全为零）；

，

的全部特征向量为

2、令

从而

，则有，即有，

线性代数!!!!!

。

的

特征值为。且特征值对应的特征向量相同。

的特征值对应的特征向量与

相应

四、解: 对方程组的增广矩阵施以初等行变换：

（1）当（2）当

且时，

时，

由于

从而方程组有惟一解.

方程组无解.

（3）当无穷多组解.

时，有可见故方程组有

又由此可得与原方程组同解的方程组为

与原方程组的导出组同解的方程组为：

令

得其特解

由此可得基础解系为

于是，原方程组的全部解为常数.

其中是任意

线性代数!!!!!

五、1、次型有

的矩阵为设的特征值为由题设，

解得

2

、矩阵的特征值对于对于

由于

由此得

的特征多项式

解方程组

得其基础解系

得基础解系

得

解齐次线性方程组

已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将单位化，

令矩阵

下，有

则为正交矩阵.在正交变换

且二次型的标准形为

六、解：1、

；

线性代数!!!!!

2、设

,, 则

设

，

, 则

。

,求在基

下的变换矩阵C=P。

3由

七、1、下分两种情况证明：

（1）若（2）若下证

得到

此时显然有此时因

有

因而

用反证法证之.若则为可逆矩阵，存在，由

即

这与2、证: 因为

，

由

为可逆矩阵，可得：

，

。

矛盾，故再由（1）与（2）知，若

，

则

，所以，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jfji.html