江苏省泰州市姜堰区2015-2016学年高二数学上学期期中试卷 理（含解析）

2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）

1．设命题P：?x∈R，x2＞1，则?P为__________．

2．若圆M的方程为x2+y2=4，则圆M的参数方程为__________．

3．已知抛物线y=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为__________．

4．已知（2，0）是双曲线x2﹣

5．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的__________条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．

6．已知双曲线过点__________．

7．在极坐标系中，点（2，

8．若焦点在x轴上过点 9．若椭圆

10．若P（m，n）为椭圆

2

=1（b＞0）的一个焦点，则b=__________．

且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是

）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为__________．

的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为__________．

的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则m=__________．

（θ为参数）上的点，则m+n的取值范围是__________．

11．已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x

﹣4y=0，若点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是__________．

12．已知椭圆

的左右焦点分别为F1，F2，C上一点P满足

，则△PF1F2

的内切圆面积为__________．

13．如图平面直角坐标系xOy中，椭圆

，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆

=__________．

A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则

14．已知f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3），g（x）=2﹣4．若同时满足条件： ①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0； ②?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0， 则m的取值范围是__________．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（14分）已知a∈R，命题p：“?x∈，x﹣a≥0”，命题q：“?x∈R，x+2ax+2﹣a=0”． （Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

16．（14分）已知直线l经过点（4，0），且倾斜角为极点．

，圆M以

为圆心，过

2

2

x

（Ⅰ）求l与M的极坐标方程； （Ⅱ）判断l与M的位置关系．

17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程

（φ为参数），直线l

的参数方程（t为参数）．

（I）求C与l的方程；

（Ⅱ）求过C的右焦点，且平行l的直线方程．

18．（16分）设椭圆E的方程为

+

=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），

点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；

（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．

19．（16分）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为

，点M在

椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=（Ⅰ）求直线FM的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程；

截得的线段的长为c，|FM|=．

（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于围．

，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范

20．（16分）已知直线l为函数y=x+b的图象，曲线C为二次函数y=（x﹣1）+2的图象，直线l与曲线C交于不同两点A，B （Ⅰ）当b=7时，求弦AB的长； （Ⅱ）求线段AB中点的轨迹方程；

2

（Ⅲ）试利用抛物线的定义证明：曲线C为抛物线．

2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）

1．设命题P：?x∈R，x2＞1，则?P为?x∈R，x2≤1． 【考点】命题的否定．

【专题】计算题；规律型；简易逻辑．

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：设命题P：?x∈R，x＞1，则?P为：?x∈R，x≤1

2

2

故答案为：?x∈R，x≤1；

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

2．若圆M的方程为x2+y2=4，则圆M的参数方程为【考点】圆的参数方程．

【专题】对应思想；坐标系和参数方程． 【分析】根据平方关系可求得出圆M的参数方程． 【解答】解：由cosα+sinα=1得， 圆M：x+y=4的参数方程可为故答案为：

．

2

2

2

2

2

．

，

【点评】本题考查利用平方关系求出圆的参数方程，属于基础题．

3．已知抛物线y=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为2． 【考点】抛物线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，

2

代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标． 【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x

∴焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1 设所求点坐标为M（x，y） 作MQ⊥l于Q

根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离 即x+1=3，解之得x=2， 代入抛物线方程求得y=±4 故点M坐标为：（2，y） 即点M到y轴的距离为2 故答案为：2．

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．

4．已知（2，0）是双曲线x﹣【考点】双曲线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得双曲线x﹣方程，即可得到b的值． 【解答】解：双曲线x2﹣

=1（b＞0）的焦点为（

，0），（﹣

，0），

2

2

=1（b＞0）的一个焦点，则b=．

=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的

由题意可得解得b=

．

．

=2，

故答案为：

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．

5．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的必要不充分条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．

【分析】由q?p，反之不成立．即可判断出结论． 【解答】解：∵p：x＜3，q：﹣1＜x＜3， 由q?p，反之不成立．

∴p是q成立的必要不充分条件； 故答案为：必要不充分．

【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．已知双曲线过点

【考点】双曲线的标准方程．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点方程．

【解答】解：设双曲线方程为y﹣x=λ， 代入点∴λ=﹣1，

∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1． 故答案为：x2﹣y2=1．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．

，可得3﹣

=λ，

2

2

且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．

，求出λ，即可求出双曲线的标准

7．在极坐标系中，点（2，

）到直线ρ（cosθ+

sinθ）=6的距离为1．

【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】坐标系和参数方程．

【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出． 【解答】解：点P（2，直线ρ（cosθ+

）化为P

． ．

=1．

sinθ）=6化为

∴点P到直线的距离d=故答案为：1．

【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．若焦点在x轴上过点【考点】椭圆的简单性质．

【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设椭圆方程为

+

=1（a＞b＞0），由题意可得a2﹣b2=1，代入点

，解方

的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为

+

=1．

程可得a，b的值，进而得到椭圆方程． 【解答】解：设椭圆方程为

2

2

+=1（a＞b＞0），

由题意可得c=1，即有a﹣b=1， 又椭圆过点解方程可得a=2，b=则椭圆方程为

+

，即有， =1．

+

=1，

故答案为：

+=1．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用方程的思想，考查运算能力，属于基础题． 9．若椭圆

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由等轴双曲线的离心率为

，即有椭圆的离心率为

，讨论椭圆的焦点的位置，结

的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则m=1或2．

合离心率公式，解方程可得m的值． 【解答】解：等轴双曲线的离心率为即有椭圆的离心率为

，

2

2

2

2

2

，

若椭圆的焦点在x轴上，则a=2，b=m，c=2﹣m， 即有e=

2

==，解得m=1；

2

2

2

2

2

若椭圆的焦点在y轴上，则b=2，a=m，c=m﹣2， 即有e2=

=

=，解得m=2．

综上可得m=1或2． 故答案为：1或2．

【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要考查离心率的运用，以及椭圆的焦点的确定，考查运算能力，属于基础题和易错题．

10．若P（m，n）为椭圆【考点】椭圆的参数方程．

【专题】函数思想；参数法；三角函数的图像与性质；坐标系和参数方程． 【分析】由题意和三角函数可得m+n=【解答】解：∵P（m，n）为椭圆∴m+n=

cosθ+sinθ=2（

cosθ+sinθ=2sin（θ+

），由三角函数的值域可得．

（θ为参数）上的点，则m+n的取值范围是．

（θ为参数）上的点，

），

cosθ+sinθ）=2sin（θ+

由三角函数的知识可得m+n的取值范围为：

故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的参数方程，涉及三角函数的值域，属基础题．

11．已知椭圆

的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x

﹣4y=0，若点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（0，【考点】椭圆的简单性质．

]．

【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得椭圆的短轴的一个端点，运用点到直线的距离公式解不等式可得1≤b＜2，运用离心率公式，以及不等式的性质，即可得到所求范围． 【解答】解：椭圆

的短轴的一个端点为M（0，b），

点M到直线l的距离不小于，即为即有1≤b＜2，又a=2，c=

，

≥，

则e==∈（0，]．

故答案为：（0，]．

【点评】本题考查椭圆的离心率的范围，考查点到直线的距离公式的运用，以及不等式的解法和性质，属于中档题．

12．已知椭圆

的内切圆面积为4π． 【考点】椭圆的简单性质．

【专题】转化思想；数形结合法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】根据椭圆的方程，算出a=5且焦距|F1F2|=2c=10．设|PF1|=m，|PF2|=n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|?|PF2|=48，结合直角三角

的左右焦点分别为F1，F2，C上一点P满足

，则△PF1F2

形的面积公式，可得△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=24，再由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|），求得r，即可得到所求内切圆的面积． 【解答】解：∵椭圆

，

∴a2=49，b2=24，可得c2=a2﹣b2=25，即a=7，c=5， 设|PF1|=m，|PF2|=n，则有m+n=2a=14，m2+n2=（2c）2=100， 可得2mn=96，即mn=48， ∴|PF1|?|PF2|=48，

∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，

∴△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=×48=24，

由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=r?（2a+2c）=12r（r为内切圆的半径）， 由12r=24，解得r=2，则所求内切圆的面积为4π． 故答案为：4π．

【点评】本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．

13．如图平面直角坐标系xOy中，椭圆

，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆

=．

A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】数形结合；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】连结A2P，可得△OPA2是边长为a的正三角形，由此算出PA1、PO的方程，联解求出点P的横坐标m=﹣1．由A2P与圆A1相切得到A2P⊥PA1，从而得到直线A2P的方程，将PA2的方程与椭圆方程联解算出Q点横坐标s=．由

=

，把前面算出的横坐标代入即可求

得的值．

【解答】解：连结PO、PA1，可得△POA1是边长为2的等边三角形， ∴∠PA1O=∠POA1=60°，可得直线PA1的斜率k1=tan60°=直线PO的斜率k2=tan120°=﹣因此直线PA1的方程为y=

，

x， ，

（x+2），直线PO的方程为y=﹣

设P（m，n），联解PO、PA1的方程可得m=﹣1． ∵圆A1与直线PA2相切于P点，

∴PA2⊥PA1，可得∠PA2O=90°﹣∠PA1O=30°， 直线PA2的斜率k=tan150°=﹣代入椭圆

，因此直线PA2的方程为y=﹣

2

（x﹣2），

，消去y，得x﹣x+=0，解之得x=2或x=．

∵直线PA2交椭圆于A2（2，0）与Q点，∴设Q（s，t），可得s=．

由此可得====．

故答案为：．

【点评】本题给出与椭圆相关的直线与圆相切的问题，求线段的比值．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．

14．已知f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3），g（x）=2﹣4．若同时满足条件： ①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0； ②?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0， 则m的取值范围是（﹣5，﹣）． 【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】综合题；探究型；分类讨论；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．

【分析】由①可推得f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由②可得： ?x∈（﹣∞，﹣4），使（x﹣3m）（x+m+3）＜0成立，只要使﹣4比3m，﹣m﹣3中较小的一个大即可，分类讨论可得m的范围，综合可得答案． 【解答】解：∵g（x）=2﹣4，当x≥2时，g（x）≥0， 又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0

∴f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3）＜0在x≥2时恒成立，

∴二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（2，0）的左侧，

x

x

即，解得﹣5＜m＜0；

又∵?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0． 而此时有g（x）=2x﹣4＜0．

∴?x∈（﹣∞，﹣4），使f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3）＞0成立， 由于m＜0，∴?x∈（﹣∞，﹣4），使（x﹣3m）（x+m+3）＜0成立， 故只要使﹣4比3m，﹣m﹣3中较小的一个大即可，

当m∈（﹣，0）时，3m＞﹣m﹣3，只要﹣4＞﹣m﹣3，解得m＞1与m∈（﹣，0）的交集为空集；

当m=﹣时，两根为﹣2；﹣2＞﹣4，不符合；

当m∈（﹣5，﹣）时，3m＜﹣m﹣3，∴只要﹣4＞3m，解得m＜﹣， 综上可得m的取值范围是：（﹣5，﹣）． 故答案为：（﹣5，﹣）．

【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，指数函数的单调性及特殊点，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面，是中档题也是易错题．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（14分）已知a∈R，命题p：“?x∈，x﹣a≥0”，命题q：“?x∈R，x+2ax+2﹣a=0”． （Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 【考点】复合命题的真假．

【专题】计算题；函数思想；综合法；简易逻辑．

【分析】（I）由命题p为真命题，问题转化为求出x2min，从而求出a的范围；

（ II）由命题“p∧q”为假命题，得到p为假命题或q为假命题，通过讨论p，q的真假，从而求出a的范围．

【解答】解：（I）由命题p为真命题，a≤xmin，a≤1；

（ II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题， p为假命题时，由（I）a＞1；

q为假命题时△=4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1， 综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．

【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．

16．（14分）已知直线l经过点（4，0），且倾斜角为极点．

（Ⅰ）求l与M的极坐标方程； （Ⅱ）判断l与M的位置关系． 【考点】简单曲线的极坐标方程．

【专题】计算题；方程思想；数形结合法；坐标系和参数方程．

【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，分别在两直角三角形中求得l与M的极坐标方程； （Ⅱ）化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆M的圆心，由点到直线距离公式判断l与M的位置关系．

【解答】解：（Ⅰ）如图，

，圆M以

为圆心，过

22

2

设l上任一点P（ρ，θ），在△OAP中，由正弦定理（cosθ+sinθ）=4；

设圆M上任一点Q（ρ，θ），连接OM延长交圆于B，在直角三角形OBQ中

，即ρ=2cosθ+2sinθ；

（Ⅱ）把l与M的极坐标方程化为直角坐标方程，l：x+y=4， M：x2+y2﹣2x﹣2y=0， ∵圆心M（1，1）到l的距离d=

=r，∴l与M相切．

，即ρ

【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．

17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程

（φ为参数），直线l

的参数方程（t为参数）．

（I）求C与l的方程；

（Ⅱ）求过C的右焦点，且平行l的直线方程． 【考点】椭圆的参数方程．

【专题】计算题；方程思想；参数法；坐标系和参数方程． 【分析】（I）消去参数φ可得椭圆方程为

；

（II）同理可得直线l的方程为x﹣2y+2=0，斜率为，由（I）可得椭圆C的右焦点为（4，0），可得点斜式方程，化为一般式即可． 【解答】解：（I）∵椭圆C的参数方程∴cosφ=，sinφ=，∵cos2φ+sin2φ=1，

（φ为参数），

∴（）2+（）2=1，即；

（II）同理消去参数t可得直线l的方程为：x﹣2y+2=0，l的斜率为， 由（I）可得椭圆C的右焦点为（4，0）， ∴所求直线方程为y=（x﹣4），即x﹣2y﹣4=0．

【点评】本题考查椭圆的参数方程，涉及直线的方程的求解，属基础题．

18．（16分）设椭圆E的方程为

+

=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），

点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；

（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即

，可得

．利

用，可得．

（II）由（I）可得直线AB的方程为：线AB的对称点为S可．

=1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直

，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即

【解答】解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，

∵A（a，0），B（0，b），∴∵

，∴

，a=

b．

=．

∴=．

（II）由（I）可得直线AB的方程为：设点N关于直线AB的对称点为S

=1，N

，线段NS的中点T

．

，

又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，

∴a=3．

．

∴椭圆E的方程为：

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

19．（16分）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为

，点M在

椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=（Ⅰ）求直线FM的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程；

截得的线段的长为c，|FM|=．

（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于围．

，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过离心率为

，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），

利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；

（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；

（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为∴2a=3b，∴a=3c，b=2c，

设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c）， ∵直线FM被圆x+y=

2

2

2

2

2

2

2

2

，∴==，

截得的线段的长为c，

∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，

∴d2+=，即（）2+=，

解得k=，即直线FM的斜率为；

（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），

联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c， ∵点M在第一象限，∴M（c，∵|FM|=

，∴

2

2

2

2

c），

=

，

解得c=1，∴a=3c=3，b=2c=2， 即椭圆的方程为

+

=1；

（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t， ∵F（﹣1，0），∴t=

，即y=t（x+1）（x≠﹣1），

联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，

又∵直线FP的斜率大于，

∴＞，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，

设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），

联立方程组，消去y并整理，得m=

2

﹣．

①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，

∴m=，∴m∈（，）；

②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0， ∴m=﹣

，∴m∈（﹣∞，﹣

）；

综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．

【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．

20．（16分）已知直线l为函数y=x+b的图象，曲线C为二次函数y=（x﹣1）+2的图象，直线l与曲线C交于不同两点A，B （Ⅰ）当b=7时，求弦AB的长； （Ⅱ）求线段AB中点的轨迹方程；

（Ⅲ）试利用抛物线的定义证明：曲线C为抛物线． 【考点】轨迹方程．

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）当b=7时，直线y=x+7代入y=（x﹣1）2+2，求出A，B的坐标，即可求弦AB的长；

（Ⅱ）把y=x+b代入y=（x﹣1）2+2，利用韦达定理，即可求线段AB中点的轨迹方程； （Ⅲ）证明：曲线C上的任一点M到点（1，）与到直线y=的距离相等，即可确定曲线C为抛物线．

2

【解答】解：（I）把直线y=x+7代入y=（x﹣1）2+2，得即 A（﹣1，6），B（4，11），所以|AB|=5

；?

或，

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y） 把y=x+b代入y=（x﹣1）+2，得x﹣3x+3﹣b=0? 由韦达定理x1+x2=3，△=3﹣4（3﹣b）＞0，b＞

22

2

所以，，?

所以线段AB中点的轨迹方程；?

（III）可以证明曲线C上的任一点M到点（1，）与到直线y=的距离相等． 或设曲线C上的任一点M（x，y）到点（1，m）的距离等于到直线y=n的距离，? 即

整理得（1﹣2m）y+m2﹣2=﹣2ny+n2， 所以

，解得m=，n=； ?（14分）

，又y=（x﹣1）2+2，

所以曲线C上的任一点M到点（1，）与到直线y=的距离相等． 所以曲线C是抛物线．?（16分）

【点评】本题考查抛物线的定义，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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