江苏省如东县掘港高级中学2011-2012学年高一第二学期第

如东县掘港高级中学高一第二学期数学第四次调研考试

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．函数y?1?sin2x的最小正周期为 ．

2．已知向量a?(1?x,?1)，b?(1?x,3)，若a//b，则实数x的值为 ． 3．已知过点A(?2,m)和B(m,4)的直线与直线2x?y?1?0平行，则m的值为 ． 4．已知a?(1,?2)，b?(?2,3)，则|a?2b|? ．

5的直线方程是 ． 136．已知|a|?1，|b|?2，a?b??3，则向量a,b的夹角为 ．

5．在y轴上截距为?3,倾斜角的正玄值为7．圆心在直线2x?y?7?0上的圆C与y轴交于两点A(0,?4),B(0,?2),则圆C的方程为 ．

8．从原点向圆x2?y2?12y?27?0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ． 9．将函数y?sin(2x??3)的图象向右平移a(0?a??)个单位，得到图象的函数解析式．．

为y?sin2x，则a的值等于 ．

10．若圆(x?1)2?(y?1)2?R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值范围是 ．

312，cos(???)?， 则tan?tan?? ． 51341212．在△ABC中，sinA=，cosB=?，则cosC等于 ．

51311．若cos(???)??13．下面有五个命题：

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数y?3sin(2x?⑤函数y?sin(x?k?,k?Z|. 2??)的图象向右平移得到y?3sin2x的图象. 36?)在〔0，?〕上是减函数. 2其中真命题的序号是 （（写出所有真命题的编号））． 14．设集合

mA?{(x,y)|?(x?2)2?y2?m2,x,y?R},B?{(x,y)|2m?x?y?2m?1,x,y?R},

2若A?B??, 则实数m的取值范围是

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

215．已知a?(sin?,?2)，b?(1,cos?)，且a?b．（1）求cos??sin?cos?的值；

（2）若??(0,?2)，??(??2,0)，且cos(???)??10，求?的值． 1016、已知圆C与圆x2+y2－2x =0相外切，并且与直线x+3y=0相切于点Q(3，?3)， 求圆C的方程.

17.已知直线l经过点P(5,5),其斜率为k,k?R,l与圆x?（3）若OA?OB(O为坐标原点）求k的值。

2y2?25相交，交点分别为A,B.(1)AB?45,求k的值；（2）若AB?27,,求k的取值范围；π

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c＝2，C＝3．

（1）若△ABC的面积等于3，求a，b的值；（2）若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求角A的大小．

19．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=253米，为了便于居民平时休闲散步，

该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划， 要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示． （1）设∠BOE=?，试将?OEF的周长l表示成?的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？ 并求出最低总费用．

20．如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。 （Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；

（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。 C D M

PL E

F

AOB? A O B N

（第十九题图） （第二十题图）

如东县掘港高级中学高一第二学期第四次数学调研答题

卡

一、填空题： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 . 11. 12. 13. 14 . 二解答题： 15. 16. 班级 姓名 学号 17. 18. 19、 D C E

F ? A O B

20 MPLAOBN 如东县掘港高级中学高一第二学期数学第四次调研考试

参考答案与评分标准

一．填空题：

1．π 2．?2 3．?8 4．5 5．5x —12y—36=0；5x+12y+36=0

150(或6．

12．

5?π33π) 7．(x?2)2?(y?3)2?5；8． ； 9． ；10．1

15．解：解：（1）∵a?b，∴ab=0,即sin??2cos??0，从而tan??2．…………4分

cos2??sin?cos?1?tan?1?21????.……………7分 ∴cos??sin?cos?=

sin2??cos2?tan2??14?152(2) 由tan??2及??(0,)，得sin??又??(?π2255,cos??．………………………9分 55π,0)，∴????(0,π)， 22∴sin(???)?1?cos(???)?310, ……………………………………………10分 10sin??sin[??(???)]?sin?cos(???)?cos?sin(???)

?25105310251053102?(?)????(?)????.………………12分 5105105105102ππ,0)，∴???.．……………………………………………………………14分 24∵??(??b+3=3?16．.设圆C的圆心为(a，b )，则?a?3，…………7分

??(a?1)2+b2=1+|a+3b|??2则有a=4，b=0，r=2或a=0，b=?43，r=6，

∴圆C的方程为(x－4)2+y2=4或x2?(y?43)2?36.…………14分 17．解：（1）k?2或k?1．…………4分 2 （2）(0,)?(7,??)…………9分 （3）k?2?3或k?2?3…………14分

1

18．解：（1）由余弦定理及条件，得a2＋b2－ab＝4，2absinC＝3，即ab＝4．

?a2＋b2－ab＝4，

联立方程组?解得a＝2，b＝2．…………8分

? ab＝4．

1732ππ1

（2）由题意，得2＋sin(3－2A)＝2sin2A．即sin(2A－6)＝2．

2πππ7ππππ5π

因为A∈(0，3)，所以2A－6∈(－6，6)．所以2A－6＝6或2A－6＝6． ππ

则A＝6，或A＝2．…………16分

19.解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=?，∴OE=在Rt△AOF中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=?，∴OF=

25.…………2分 cos?25.……………………4分 sin?又∠EOF=90°，∴EF=?OE2?OF2?(25225225)?()=, cos?sin?cos?sin?∴l?OE?OF?EF?252525 ??cos?sin?cos?sin?25(sin??cos??1)． …………………………………………6分

cos?sin?π当点F在点D时，这时角?最小，求得此时?=；

6π当点E在C点时，这时角?最大，求得此时?=．

3ππ故此函数的定义域为[,].……………………………………………………………8分

63即l?(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求?OEF的周长l的最小值即可.

25(sin??cos??1)ππ，??[,]

cos?sin?63t2?1设sin??cos??t，则sin??cos??，

225(sin??cos??1)25(t?1)50∴l?……………………………………………12分 ?2?t?1cos?sin?t?123?13?15ππ7π?t?2，∴?t?1?2?1， 由，，得????22124121从而2?1??3?1，……………………………………………………………15分

t?1π当??，即BE=25时，lmin?25(2?1),

4由（1）得，l?所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为10000(2?1)元.…………16分 20．解：解：建立如图所示的直角坐标系，

⊙O的方程为x?y?4，直线L的方程为x?4。…………2分 （Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为(1,3)，

223(x?2)，lBP:y??3(x?2)。 3将x=4代入，得M(4,23),N(4,?23)。∴MN的中点坐标为（4，0），MN=43。

22∴以MN为直径的圆的方程为(x?4)?y?12。

∴lAP:y?同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是(x?4)?y?12。…………8分 （Ⅱ）设点P的坐标为(x0,y0)，∴x0?y0?4（y0?0），∴y0?4?x0。

222222y0y(x?2),lPB:y?0(x?2)， x0?2x0?26y0将x=4代入，得yM?，

x0?2∵lPA:y?4x0?42y06y02y06y02y0。∴M(4,。 ),N(4,)，MN=??x0?2x0?2x0?2x0?2x0?2y04(x0?1)MN的中点坐标为(4,?)。

y0yN?4(x0?4)216(x0?1)24??以MN为直径的圆O截x轴的线段长度为222y0y0y0/212?3x0 ?/434324?x0?y0?43为定值。 y0y0∴⊙O必过⊙O 内定点(4?23,0)。…………16分

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