鱼与渔――也谈数学教学中的例题教学-最新教育文档

鱼与渔――也谈数学教学中的例题教学

老子说过“授人以鱼，不如授人以渔，授人以鱼只救一时之及，授人以渔则可解一生之需”.这句话同样适用于我们的数学教学，讲解一道例题，如果学生仅仅掌握了这一道题，只能说得到了一条鱼，而通过掌握这道题就通一类题，那无疑把“渔”学会了，才真正达到了学习的最高境界，当然，要达到这个境界，离不开教师的引导和设计.所以如何通过例题教学把“渔”教给学生是我们要重点关注的问题. 一、重视规律的总结

柏拉图说过：“哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质，因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径.”这句话不仅表达了数学学习的重要性，同时揭示了数学学习的本质：抓规律.在数学教学中，其实有很多问题都有规律性，如果抓住了其中的规律或者本质的东西，那么无论题目怎么变，总能透过现象看本质.

如我在进行“游戏的公平与不公平”这一课教学中，其中有一个抢数字游戏是这样的：两个人玩抢30的游戏，游戏规则如下：第一个人先说1或1，2，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，接着往下说一个或两个数，这样，两个人轮流反复，每人每次说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30谁就获胜.相信每一个教学的老师都能

引导学生从后往前逆推得出这是一个不公平的游戏，后报数的人每次报到3的倍数就一定能获胜，课进行到这，相信很多老师都觉得达到了这一题的效果可以结束这一题了，但是学生学会了什么，仅仅是判断出这是一个不公平的游戏吗？如果把游戏规则变一下，要抢的数字变一下，学生依然能够自己分析得出其中的规律，找出正确的方法吗？所以课上到这儿学生得到的东西仅仅是一条鱼，远远没有达到会“渔”的效果.要把这个问题讲清，那么显然还需要把要抢的数字变一下，再把规则变一下，多次练习，让学生自己发现其中蕴含的规律，才真正把这一题讲清讲透.如果能够引导学生概括出抢数字游戏的小窍门即“要抢的某个数a，如果每次最多允许报b个数，而a÷（b+1）=c……d，其中a，b，c，d都为正整数，那么，只要先抢到d，然后（b+1）个（b+1）个往上加，就一定能赢”，那么，相信同学们玩任何抢数字类的游戏都可以所向披靡了.通过这个游戏的教学，相信同学们不仅拿到了鱼，更学会了渔，同时学习数学的兴趣也得到了极大的提高.

二、重视规律的应用

相信在数学例题的教学中，很多教师都有这样一个感慨：明明这些知识点都讲过好几遍了，怎么题目稍微变一下学生又不会了.为什么学了知识不会用，这到底是哪里出现问题了呢，仅仅是学生的思维能力弱造成的吗？本人认为，这个问题是因为在知识和应用之间缺少了一座桥梁导致了这种情况的发生，桥梁是什

么，桥梁就是规律的应用.在例题教学中，不能仅仅围绕这个例题讲解，更应该点出本题应用的规律，让同学们透过现象看到本质，自然就能理解题意，从而实现知识的正迁移. 如“饮马问题”这一规律的应用.

如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营.请问：怎样走才能使总的路程最短？

这就是著名的“将军饮马问题”.抽象为数学问题如图1，就是在直线上找一点C使CA+CB长最短.

这个问题的解决如图2所示，作A的对称点A′，连结A′和B，A′B和直线的交点就是将军饮马的最佳地点C，所用原理是两点之间，线段最短.

实际上，在很多图形问题中，求在一直线上找一动点使得它到直线同侧两定点的距离和最短就是饮马问题的应用. 比如：已知：如图3，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8，M在BC上，且BM=2，N是AC上一动点，则BN+MN的最小值为多少？ 在讲评该题时，我将AB和BC边擦去，又将图形转过一定角度问同学们对图形还熟悉吗？这时就听见许多同学恍然大悟的声音“哦”，发现其中藏着饮马问题的基本图形，接下来的讲解就可以顺理成章交给已经发现规律的同学们了.解题方法为：过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B′，使OB′=OB，连结MB′，交AC于N，此时MB′=MN+NB′=MN+BN为最小值.

又比如：如图5，E是正方形ABCD边BC上一点，CE=2，BE=6，P是对角线BD上的一动点，则CP+PE的最小值是多少？ 同样，在黑板上将BD，CP与PE用不同颜色的粉笔着重描出，学生马上发现其中藏着饮马问题的基本图形，解题方法为：在图形上找C点的关于BD的对称点即为A点，连接AE交BD于Q点则当P点位于Q点的位置时，PE+PC=AE为最短值.

只要大家善于观察，就会发现这个题还体现在很多题中，所以重视规律的应用，是我们要关注的本质问题. 三、重视问题的设计

为了使学生能真正通过一道题掌握一类题，题目的设计很重要，目前比较恰当的就是注重变式教学，层层深入，不仅让不同层次的学生都能学到东西，更加能拓展学生的思维，激发学生的学习兴趣.

如：长方体的中，AB=1 cm，BC=3 cm，BF=6 cm， 问题1：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？

问题2：如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点E，那么所用细线最短需要多长？

问题3：如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕两圈到达点E，那么所用细线最短需要多长？

问题4：如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕n圈

到达点B，那么所用细线最短需要多长？

这道题涉及的方法是“化体为面”.同学们做到该题时，很容易想到在表面上的问题要将立体图形展开成平面图形解决.但做到问题3时，很多同学就受问题2的影响，以为之间是2倍关系，实际上，问题还是出在规律没有透彻的掌握上，如果真正掌握住最本质的规律，绕一圈就相当于一个侧面展开图，绕2圈相当于两个侧面展开图，那么，这道题就能迎刃而解了.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6，根据勾股定理可知所用细线最短需要 实际上，这道题的内容非常丰富，包含的知识点和方法也很多，而且从形式上到内容上还可以想出很多的变式，如原题可以把a说成是被墨迹污染的数，让同学们求出被污染的数，虽然还是同一题，但问的方式不一样，会给人耳目一新的感觉，可以把变式1中解互为相反数改为解相同，解互为倒数，或者两个解相差2等，同时复习了相反数，倒数等的相关知识；在完成变式2后，同学们会发现整体思想的应用.完成这道题后，相信同学们对相关题型也有了进一步的了解，并可以发现，原来很多相关知识点可以通过一道题呈现出来，通一题就通了好几题啊！相信从这一道题中得到的就不只是一条鱼，而是“渔”了.

关于例题教学，可以说的有很多，但我想万变不离其宗，我们总是要通过例题，教给学生不仅仅是知识，还有学数学的本领，达到从“鱼”到“渔”的升华.

美国数学家克莱因赞叹：音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改变物质生活，但数学能给予以上的一切.这句话是多么的振奋人心，荡气回肠啊！数学教学能给予学生“以上一切”，这是多大的动力，多大的功劳啊！为了这个目标的实现，让我们所有的数学老师都在数学教学的道路上孜孜不懈，奋力拼搏吧！

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