2015年高考真题 - 理科数学（上海卷） Word版含解析

一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

1、设全集U?R．若集合???1,2,3,4?，??x2?x?3，则??eU?? ． 【答案】?1,4?

【解析】因为CUB?{x|x?3或x?2}，所以A?CUB?{4,1} 【考点定位】集合运算

??

2、若复数z满足3z?z?1?i，其中i为虚数单位，则z? ． 【答案】

11?i 42

3、若线性方程组的增广矩阵为?【答案】16

【解析】由题意得：c1?2x?3y?2?3?3?5?21,c2?0?x?y?5,c1?c2?21?5?16. 【考点定位】线性方程组的增广矩阵

?23c1??x?3、解为，则c1?c2? ． ??01c?2??y?5

4、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a? ． 【答案】4

5、抛物线y2?2px（p?0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p? ． 【答案】2

6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2?，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】

? 3?1【解析】由题意得：?rl:(h?2r)?2??l?2h?母线与轴的夹角为

23【考点定位】圆锥轴截面

x?1x?17、方程log29?5?log23?2?2的解为 ．

????【答案】2

【解析】设3x?1?t,(t?0)，则log2(t2?5)?log2(t?2)?2?t2?5?4(t?2)?0 ?t2?4t?3?0,t?5?t?3?3x?1?3?x?1?1?x?2

【考点定位】解指对数不等式

8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120

9、已知点?和Q的横坐标相同，?的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，?和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y??3x，则C2的渐近线方程为 ． 【答案】y??3x 2【解析】由题意得：C1：3x2?y2??,(??0)，设Q(x,y)，则P(x,2y)，所以3x2?4y2??，即C2的渐近线方程为y??【考点定位】双曲线渐近线

3x 2

10、设f?1?x?为f?x??2x?2?2，x??0,2?的反函数，则y?f?x??f?1?x?的最大值

x为 ． 【答案】4

1??211、在?1?x?2015?的展开式中，x项的系数为 （结果用数值表示）．

x??【答案】45

101?1?1??1【解析】因为?1?x?2015???(1?x)?2015??(1?x)10?C10(1?x)92015??，所

x?x?x??828?45. x，系数为C10以x2项只能在(1?x)10展开式中，即为C101010【考点定位】二项展开式

12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量?1和?2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则??1???2? （元）． 【答案】0.2

【解析】赌金的分布列为

?1 P 1 2 3 4 5 1 51 51 51 51 51所以E?1?(1?2?3?4?5)?3

5奖金的分布列为

?2 1.4 2.8 4.2 5.6

P 42? 2C5533? 2C51021? C52511? 2C5102311所以E?2?1.4?(?1??2??3??4)?2.8

510510??1???2?0.2

【考点定位】数学期望

13、已知函数f?x??sinx．若存在x1，x2，???，xm满足0?x1?x2?????xm?6?，且

?f?x1??f?x2??f?x2??f?x，则m3??????f?xn?1??f?xn??12（m?2，m??）

的最小值为 ． 【答案】8

【解析】因为f?x??sinx，所以f?xm??f?xn??f(x)max?f(x)min?2，因此要使得满足条件f?x1??f?x2??f?x2??f?x3??????f?xn?1??f?xn??12的m最小，须取

x1?0,x2??2,x3?3?5?7?9?11?,x4?,x5?,x6?,x7?,x8?6?,即m?8. 22222【考点定位】三角函数性质

1，D为边?C上的点，???D与??CD的面积分2????????别为2和4．过D作D????于?，DF??C于F，则D??DF? ．

14、在锐角三角形??C中，tan??【答案】?16 1515,cosA?21,AB?AC?sinA?2?4?AB?AC?125，又52【解析】由题意得：sinA?1132AB?DE?2,AC?DF?4?AB?DE?AC?DF?32?DE?DF?,因为DEAF四点共22125圆，因此D??DF?DE?DF?cos(??A)?????????32125

?(?25)??16 15

【考点定位】向量数量积，解三角形

二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

15、设z1，z2?C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1?z2是虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B

16、已知点?的坐标为43,1，将??绕坐标原点?逆时针旋转坐标为（ ） A．

???至??，则点?的纵3

11133353 B． C． D．

2222【答案】D

????????13??133313 i)??i，即点?的纵坐标为【解析】OB?OA?(cos?isin)?(43?i)?(?3322222【考点定位】复数几何意义

17、记方程①：x?a1x?1?0，方程②：x?a2x?2?0，方程③：x?a3x?4?0，其中a1，a2， a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无

222实根的是（ ）

A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 【答案】B

4a282【解析】当方程①有实根，且②无实根时，a?4,a?8，从而a?2??16,即方程③：

a14212223x2?a3x?4?0无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根

【考点定位】不等式性质

18、设?n?xn,yn?是直线2x?y?则极限limn??n?22（n??）与圆x?y?2在第一象限的交点，n?1yn?1?（ ） xn?11 C．1 D．2 2A．?1 B．?【答案】A

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19、（本题满分12分）如图，在长方体??CD??1?1C1D1中，??1?1，????D?2，

F分别是??、F、?C的中点．证明?1、并求直线CD1与平面?1C1F?C1、?、?四点共面，

所成的角的大小.

【答案】arcsin15 15

因此直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小为arcsin【考点定位】空间向量求线面角

15． 15

20、（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分

如图，?，?，C三地有直道相通，???5千米，?C?3千米，?C?4千米.现甲、乙两警员同时从?地出发匀速前往?地，经过t小时，他们之间的距离为f?t?（单位：千米）.甲的路线是??，速度为5千米/小时，乙的路线是?C?，速度为8千米/小时.乙到达?地后原地等待.设t?t1时乙到达C地. （1）求t1与f?t1?的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t1?t?1时，求f?t?的表达式，并判断f?t?在?t1,1?上得最大值是否超过3？说明理由.

37?225t?42t?18,?t??33?8841（2）f(t)??【答案】（1）t1?，f?t1??不超过3.

788?5?5t,?t?1?8?，

（2）甲到达?用时1小时；乙到达C用时当t1?37小时，从?到?总用时小时． 8837?t?时， 88f?t??当

?7?8t???5?5t??2?7?8t??5?5t??224?25t2?42t?18； 57?t?1时，f?t??5?5t. 8

37?225t?42t?18,?t???88所以f(t)??.

?5?5t,7?t?1?8?因为f?t?在?,?上的最大值是f????88??8??37??3?341?7?，f?t?在?,1?上的最大值是8?8?341?7?5?3?，不超过3. f???，所以f?t?在?,1?上的最大值是8?8?8?8?【考点定位】余弦定理

21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.

已知椭圆x?2y?1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于?、?和C、D，记得到的平行四边形??CD的面积为S.

（1）设??x1,y1?，C?x2,y2?，用?、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明

22S?2x1y1?x2y1；

（2）设l1与l2的斜率之积为?1，求面积S的值. 2【答案】（1）详见解析（2）S?2

?2k2?1?2kx1?x22k2?1由?1?，S?2x1y2?x2y1?2， ?x2?kx1??x1x2?222kkk1?2k?2k?1整理得S?2.

【考点定位】直线与椭圆位置关系

22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知数列?an?与?bn?满足an?1?an?2?bn?1?bn?，n??.

?（1）若bn?3n?5，且a1?1，求数列?an?的通项公式；

（2）设?an?的第n0项是最大项，即an0?an（n??），求证：数列?bn?的第n0项是最大

?项；

（3）设a1???0，bn??n（n??），求?的取值范围，使得?an?有最大值?与最小

?值m，且

????2,2?. m【答案】（1）an?6n?5（2）详见解析（3）???1?,0? 2??

因为an0?an，n??，所以2bn0?a1?2b1?2bn?a1?2b1，即bn0?bn. 故?bn?的第n0项是最大项.

?

n?1n解：（3）因为bn??n，所以an?1?an?2???，

??当n?2时，an??an?an?1???an?1?an?2???????a2?a1??a1

nn?1?2?n?1??n?2?????2?2???? ?2????????? ?2???. 当n?1时，a1??，符合上式. 所以an?2?n??. 因为??0，所以a2n?2?2nn?????，a2n?1?2?2n?1?????.

①当???1时，由指数函数的单调性知，?an?不存在最大、最小值； ②当???1时，?an?的最大值为3，最小值为?1，而

3???2,2?； ?1③当?1???0时，由指数函数的单调性知，?an?的最大值??a2?2?2??，最小值

m?a1??，由?2?2?2???1?2及?1???0，得????0.

2综上，?的取值范围是???1?,0?. 2??【考点定位】等差数列，数列单调性

23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

对于定义域为R的函数g?x?，若存在正常数?，使得cosg?x?是以?为周期的函数，则称g?x?为余弦周期函数，且称?为其余弦周期.已知f?x?是以?为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设f?x?单调递增，f?0??0，f????4?.

（1）验证h?x??x?sinx是以6?为周期的余弦周期函数； 3（2）设a?b．证明对任意c???f?a?,f?b???，存在x0??a,b?，使得f?x0??c； （3）证明：“u0为方程cosf?x??1在?0,??上得解”的充要条件是“u0??为方程，并证明对任意x??0,??都有f?x????f?x??f???. cosf?x??1在??,2??上有解”

【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析

（2）由于f?x?的值域为R，所以对任意c???f?a?,f?b???，c都是一个函数值，即有

x0?R，使得f?x0??c.

若x0?a，则由f?x?单调递增得到c?f?x0??f?a?，与c???f?a?,f?b???矛盾，所以

x0?a.同理可证x0?b.故存在x0??a,b?使得f?x0??c.

（3）若u0为cosf?x??1在?0,??上的解，则cosf?u0??1，且u0?????,2??，

cosf?u0????cosf?u0??1，即u0??为方程cosf?x??1在??,2??上的解.

同理，若u0??为方程cosf?x??1在??,2??上的解，则u0为该方程在?0,??上的解. 以下证明最后一部分结论.

由（2）所证知存在0?x0?x1?x2?x3?x4??，使得f?xi??i?，i?0，1，2，3，

4.

而cosf?x????cosf?x?，故f?x????f?x??4??f?x??f???. 类似地，当x??xi,xi?1?，i?1，2，3时，有f?x????f?x??f???. 结论成立.

【考点定位】新定义问题

质.

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