备战2012数学高考的压轴题3

1．（本小题满分14分） 已知f(x)=

2x?a(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.

x2?2（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=

1的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式xm2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和

灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

4?2ax?2x2?2(x2?ax?2)解：（Ⅰ）f＇(x)== ， 2222(x?2)(x?2)∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ① 设?(x)=x2－ax－2， 方法一：

?(1)=1－a－2≤0， ?(－1)=1+a－2≤0.

① ? ?－1≤a≤1，

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二： aa≥0， <0， 22①? 或 ?(－1)=1+a－2≤0 ?(1)=1－a－2≤0

? 0≤a≤1 或 －1≤a≤0 ? －1≤a≤1.

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}. （Ⅱ）由

2x?a1=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0 2x?2x∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根， x1+x2=a，

- 1 -

2∴ 从而|x1－x2|=(x1?x2)?4x1x2=a2?8.

x1x2=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=a2?8≤3.

要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立， 即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)， 方法一：

g(－1)=m2－m－2≥0， ② ?

g(1)=m2+m－2≥0，

?m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}. 方法二：

当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时，

m>0， m<0， ②? 或

g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0

? m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

2．（本小题满分12分）

如图，P是抛物线C：y=C交于另一点Q.

（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

12

x上一点，直线l过点P且与抛物线2 - 2 -

（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求

|ST||ST|?的取值范围. |SP||SQ|本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合

解题能力.满分12分.

解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0. 由y=

12

x， ① 2得y＇=x.

∴过点P的切线的斜率k切= x1， ∴直线l的斜率kl=－

11=-，

k切x1121x1=－ (x－x1)， 2x1∴直线l的方程为y－

方法一：

联立①②消去y，得x2+∵M是PQ的中点 x0=

∴

y0=

2x－x12－2=0. x1x1?x21=-，

2x1121x1－(x0－x1). 2x1消去x1，得y0=x02+

12x02+1(x0≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+方法二： 由y1=

12x02+1(x≠0).

x?x2121x1，y2=x22，x0=1， 22212121x1－x2=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)， 222得y1－y2=

- 3 -

则x0=

y1?y21=kl=-，

x1x1?x21， x0∴x1=－

将上式代入②并整理，得 y0=x02+

12x02+1(x0≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+

12x02+1(x≠0).

（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).

分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则

|ST||ST||OT||OT||b||b|??. ?????|SP||SQ||PP||QQ||y1||y2| y=

12

x 2由 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③ y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，

则

y1y2=b2.

方法一： ∴

|ST||ST|11??|b|(?)≥2|b||SP||SQ|y1y211=2|b|=2. 2by1y2∵y1、y2可取一切不相等的正数， ∴

|ST||ST|?的取值范围是（2，+?）. |SP||SQ|方法二：

y1?y22(k2?b)|ST||ST|?∴=|b|=|b|. 2|SP||SQ|y1y2b|ST||ST|2(k2?b)2(k2?b)2k2?当b>0时，=b==+2>2；

bb|SP||SQ|b2 - 4 -

2(k2?b)2(k2?b)|ST||ST|当b<0时，=－b=. ?2?b|SP||SQ|b又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0， 于是k2+2b>0，即k2>－2b. 所以

|ST||ST|2(?2b?b)?>=2.

?b|SP||SQ|2k2∵当b>0时，可取一切正数，

b∴

|ST||ST|?的取值范围是（2，+?）. |SP||SQ|方法三：

由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP， 即

y2?by1?b=. x2x1则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).

x2?于是b=

1212x1?x1?x2122=－x1x2. 2x2?x111|?x1x2||?x1x2|xx|ST||ST||b||b|22??∴==+=|2|+|1|≥2.

|SP||SQ||y1||y2|x1x22 12 1∵|x2|可取一切不等于1的正数， x1∴

|ST||ST|?的取值范围是（2，+?）. |SP||SQ|3．（本小题满分12分）

某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.

（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） ．．．

本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.

- 5 -

解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；

②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为

1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）

③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；

④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.

综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.

4．（本小题满分14分）

已知a?0,数列{an}满足a1?a,an?1?a?1,n?1,2,?. an（I）已知数列{an}极限存在且大于零，求A?liman（将A用a表示）；

n??（II）设bn?an?A,n?1,2,?,证明:bn?1??（III）若|bn|?bn;

A(bn?A)1对n?1,2,?都成立，求a的取值范围. n2本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.

解：（I）由liman存在,且A?liman(A?0),对an?1?a?n??n??1两边取极限得 an

1a?a2?4a?a2?4A?a?,解得A?.又A?0,?A?.

A22（II）由an?bn?A,an?1?a?

11得bn?1?A?a?. anbn?A?bn?1?a?A?

bn111?????.bn?AAbn?AA(bn?A)即bn?1bn??对n?1,2,?都成立A(bn?A)

- 6 -

（III）令|b1|?111,得|a?(a?a2?4)|?. 22211?|(a2?4?a)|?.22

3 ?a2?4?a?1,解得a?.231现证明当a?时,|bn|?n对n?1,2,?都成立.22（i）当n=1时结论成立（已验证）.

（ii）假设当n?k(k?1)时结论成立,即|bk|?

1,那么 2k

|bk?1|?|bk|11??k

|A(bk?A)|A|bk?A|21A|bk?A|?13,即证A|bk?A|?2对a?成立. 222a?4?a2 故只须证明

a?a2?4由于A??2

,3而当a?时,a2?4?a?1,?A?2.2

1?|bk?A|?A?|bk|?2?k?1,即A|bk?A|?2.23111故当a?时,|bk?1|??k?k?1.2222即n=k+1时结论成立.

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立. 故|bn|?

13对n?1,2,?都成立的a的取值范围为[,??).

22n5．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）

已知a?R，函数f(x)?x2|x?a|.

(Ⅰ)当a?2时，求使f(x)?x成立的x的集合； 2]上的最小值. (Ⅱ)求函数y?f(x)在区间[1，本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分.

解：（Ⅰ）由题意，f(x)?x2x?2.

当x?2时，f(x)?x2(2?x)?x，解得x?0或x?1；

- 7 -

当x?2时，f(x)?x2(x?2)?x，解得x?1?2. 11?2. 综上，所求解集为0，，??（Ⅱ）设此最小值为m.

2]上，f(x)?x3?ax2. ①当a?1时，在区间[1，因为

22)， f?(x)?3x2?2ax?3x(x?a)?0，x?(1，32]上是增函数，所以m?f(1)?1?a. 则f(x)在区间[1，2]上，f(x)?x2(x?a)?0，由f(a)?0知 ②当1?a?2时，在区间[1， m?f(a)?0.

2]上，f(x)?ax2?x3. ③当a?2时，在区间[1，2 f?(x)?2ax?3x2?3x(a?x).

32)内f?(x)?0，从而f(x)为区间[1，2]上的增函数， 若a?3，在区间(1，由此得 m?f(1)?a?1. 若2?a?3，则1?2a?2. 322 当1?x?a时，f?(x)?0，从而f(x)为区间[1，a]上的增函数；

3322 当a?x?2时，f?(x)?0，从而f(x)为区间[a，2]上的减函数.

33因此，当2?a?3时，m?f(1)?a?1或m?f(2)?4(a?2).

7当2?a?时，4(a?2)?a?1，故m?f(2)?4(a?2)；

37当?a?3时，a?1?4(a?2)，故m?f(1)?a?1. 3综上所述，所求函数的最小值 ?1?a，??0，? m??4(a?2)，???a?1，?当a?1时；当1?a?2时；7 当2?a?时；37当a?时．36．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）

a2?6，a3?11，且 设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，n?1，，，23?，

- 8 -

B为常数. 其中A，(Ⅰ)求A与B的值；

(Ⅱ)证明：数列?an?为等差数列；

(Ⅲ)证明：不等式5amn?aman?1对任何正整数m，n都成立.

本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得S1?a1?1，S2?a1?a2?7，S3?a1?a2?a3?18. 由(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，知 ???3S2?7S1?A?B，??2S?A?B??28，3?12S 即

2?2A?B，?2A?B??48， 解得 A??20，B??8. （Ⅱ）方法1

由（Ⅰ），得 (5n?8S)n?1?n(5?S2n)??n2?0， 8 ①

所以 (5n?3)Sn?2?(5n?7)Sn?1??20n?28. ② ②-①，得 (5n?3)Sn?2?(10n?1)Sn?1?(5n?2)Sn??20， ③ 所以 (5n?2)Sn?3?(10n?9)Sn?2?(5n?7)Sn?1??20. ④ ④-③，得 (5n?2)Sn?3?(15n?6)Sn?2?(15n?6)Sn?1?(5n?2)Sn?0. 因为 an?1?Sn?1?Sn，

所以 (5n?2)an?3?(10n?4)an?2?(5n?2)an?1?0. 又因为 5n?2?0，

所以 an?3?2an?2?an?1?0， 即 an?3?an?2?an?2?an?1，n?1. 所以数列?an?为等差数列. 方法2

由已知，得S1?a1?1，

又(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn??20n?8，且5n?8?0， 所以数列?Sn?是唯一确定的，因而数列?an?是唯一确定的. 设bn?5n?4，则数列?bn(5n?3)n?为等差数列，前n项和Tn?2.

于是 (5n?8T)(n?n?1?n(5?T2n)?n?(58)1)(n5?22?)n?(5nn(?53)22)??n?- 9 -

，20

8

由唯一性得 bn?an，即数列?an?为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an?1?5(n?1)?5n?4. 要证

5amn?aman?1，

只要证 5amn?1?aman?2aman.

因为 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16， 故只要证 5(5mn?4?)?1mn25?即只要证 20m?2n0?3?7m2?0n(?)?1a6man2，

a2man. 因为 2aman?am?an?5m?5n?8 ?5m?5n?8?(15m?15n?29)

?20m?20n?37，

所以命题得证.

7．（本小题满分14分）

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外

ab的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足

PT?TF2?0,|TF2|?0.

（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a? （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

2 使△F1MF2的面积S=b.若存在，求∠F1MF2

cx； a 的正切值；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y).

由P(x,y)在椭圆上，得

- 10 -

b22|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2xa

c?(a?x)2.a2222由x?a,知a?ccx??c?a?0，所以 |F1P|?a?x.………………………3分

aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,

则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.

cx. ac证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a?x?0.

a22由r1?r2?2a,r1?r2?4cx,得|F1P|?r1?a?

2由椭圆第二定义得|F1P|?c，即|F1P|?c|x?a|?|a?cx|.

acaaa2|x?|c

由x??a,知a?ccx??c?a?0，所以|F1P|?a?x.…………………………3分

aa（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).

当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，|OT|?1|F1Q|?a，所以有x2?y2?a2. 2222综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a.…………………………7分 解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. ?x?????设点Q的坐标为（x,y），则??y???x??c,2 y?.2

?x??2x?c,因此? ①

?y??2y.由|F1Q|?2a得(x??c)?y??4a. ②

- 11 -

222

将①代入②，可得x2?y2?a2.

综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.……………………7分

（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是

22?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④

2b2b. 所以，当a?时，存在点M，使S=b2； 由③得|y0|?a，由④得|y0|?cc2b当a?时，不存在满足条件的点M.………………………11分 c2b当a?时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)， c222222由MF1?MF2?x0?c?y0?a?c?b，

MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，

S?1|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得tan?F1MF2?2. 22解法二：C上存在点M（x0,y0）使S=b的充要条件是

22③ ?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.④ ?2

b2b4b2b222. 上式代入③得x0?a?2?(a?)(a?)?0. 由④得|y0|?cccc22b于是，当a?时，存在点M，使S=b；

c2当a?b时，不存在满足条件的点M.………………………11分

c

2y0y0b当a?时，记k1?kFM?， ,k?k?2FM12cx0?cx0?c由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以tan?FMF?|k1?k2|?2.…………14分

121?k1k28．（本小题满分12分）

函数y?f(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0. 设

x0?(0,??),y?kx?m是曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）得的切线方程，并设函数

- 12 -

g(x)?kx?m.

（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m； （Ⅱ）证明：当x0?(0,??)时,g(x)?f(x)；

3 （Ⅲ）若关于x的不等式x?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，

222 求b的取值范围及a与b所满足的关系.

本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

（Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0. 因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；

当x?x0时,h?(x)?0.所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的

最小值为0，因此h(x)?0,即g(x)?f(x).…………………………6分

（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).

另一方面，由于f(x)?3x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的结果可知，

2222212233的充要条件是：过点（0，b）与曲线33相切的直线的斜率大于a，该切线的方程ax?b?xy?x22为y?(2b)x?b.

于是ax?b?3x的充要条件是a?(2b).…………………………10分

223?1212

3综上，不等式x?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是

222

(2b)?12?a?2(1?b). ①

?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)- 13 -

?2(1?b). ②

12

有解、解不等式②得2?2?b?2?2. ③

44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x2?1?ax?b,即x2?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).………………………………………………………………8分

2333令?(x)?ax?b?x，于是ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是 22122

?(x)?0. 由??(x)?a?x?13?0得x?a?3.

?3?3?3当0?x?a时??(x)?0;当x?a时，??(x)?0，所以，当x?a时，?(x)取最小值.因

此?(x)?0成立的充要条件是?(a?3)?0，即a?(2b)

22?12.………………10分

综上，不等式x?1?ax?b?3x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是

2(2b)?12?a?2(1?b). ①

?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)有解、解不等式②得2?2?b?2?2.

44?2(1?b) ②

12因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

9（本小题满分12分）

已知数列?an?的首项a1?5,前n项和为Sn，且Sn?1?Sn?n?5(n?N*) （I）证明数列?an?1?是等比数列；

（II）令f(x)?a1x?a2x2???anxn，求函数f(x)在点x?1处的导数f?(1)并比较2f?(1)与

23n2?13n的大小.

解：由已知Sn?1?Sn?n?5(n?N*)可得n?2,Sn?2Sn?1?n?4两式相减得

Sn?1?Sn?2?Sn?Sn?1??1即an?1?2an?1从而an?1?1?2?an?1?当n?1时S2?2S1?1?5所以a2?a1?2a1?6又a1?5所以a2?11从而a2?1?2?a1?1?

故总有an?1?1?2(an?1)，n?N又a1?5,a1?1?0从而

- 14 -

*an?1?1?2即数列?an?1?是等比数列；

an?1

（II）由（I）知an?3?2n?1

因为f(x)?a1x?a2x2???anxn所以f?(x)?a1?2a2x???nanxn?1

2n从而f?(1)?a1?2a2???nan=?3?2?1??23?2?1???n(3?2?1) 2n=32?2?2???n?2-?1?2???n?=3?n?1??2????n?1?n(n?1)?6 22n2由上2f?(1)?23n?13n?12?n?1??2-122n?n?1= n212?n?1??2n?12?n?1?(2n?1)=12(n?1)???(2n?1)??①

????当n?1时，①式=0所以2f?(1)?23n?13n； 当n?2时，①式=-12?0所以2f?(1)?23n?13n 当n?3时，n?1?0

n01n?1n又2??1?1??Cn?Cn???Cn?Cn?2n?2?2n?1 n2???02?2n?1?023n?13n 2f(1)所以?n?1??即①从而?????n22ByNAMo?p?F?,0??2?

4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点?xp?p?,0?，且与直线x??相切，其中p?0.

2?2?x??p2（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.

解：（I）如图，设M为动圆圆心，?p?p?,0?为记为F，过点M作直线x??的垂线，垂足为N，

2?2?p的距离相等，由抛物线的定义知，点2由题意知：MF?MN即动点M到定点F与定直线x??p?p? M的轨迹为抛物线，其中F?,0?为焦点，x??为准线，所以轨迹方程为y2?2px(P?0)；

2?2?（II）如图，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意得x1?x2（否则?????）且x1,x2?0所以直线AB2y12y22的斜率存在，设其方程为y?kx?b，显然x1?，将y?kx?b与y?2px(P?0)联,x2?2p2p - 15 -

立消去x，得ky2?2py?2pb?0由韦达定理知y1?y2?（1）当??2p2pb,y1?y2?① kk?2时，即?????2时，tan??ta?n?所以

y1y2??1,x1x2?y1y2?0，x1x222pby12y222?4p所以由①知：所以b?2pk.因此直线AB的方程可表示为?yy?0yy?4p12122k4py?kx?2Pk，即k(x?2P)?y?0所以直线AB恒过定点??2p,0?

（2）当???2时，由?????，得tan??tan(???)=

tan??tan?=

1?tan?tan?2p2p2p(y1?y2)b??2pk， tan??将①式代入上式整理化简可得：，所以

tan?b?2pky1y2?4p2此时，直线AB的方程可表示为y?kx?2p2p???2pk即k(x?2p)??y???0 tan?tan???所以直线AB恒过定点??2p,所以由（1）（2）知，当????2p?? tan???2时，直线AB恒过定点??2p,0?，当???2时直线AB恒过定点

2p???2p,??.

tan???10．（本小题满分12分）

x2?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2已知椭圆C1的方程为4的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C2的方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交

点A和B满足OA?OB?6（其中O为原点），求k的取值范围.

22解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为x?y?1，则a2?4?1?3,再由a2?b2?c2得b2?1.

a2b2x2?y2?1. 故C2的方程为3x2?y2?1得(1?4k2)x2?82kx?4?0. （II）将y?kx?2代入4

- 16 -

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2?1)?0,

2即 k?1. ① 4x2将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0.

3由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

2??1?3k?0,?222???(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0. ?21即k2?且k2?1.3设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA?xB?62k?9,x?x?AB1?3k21?3k2

由OA?OB?6得xAxB?yAyB?6,而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2 ?(k2?1)??962k?2k??2 221?3k1?3k3k2?7?2.3k?13k2?715k2?13于是2?6,即?0.解此不等式得

3k?13k2?1k2?131或k2?. ③ 153由①、②、③得

1113?k2?或?k2?1. 4315故k的取值范围为(?1,?11．（本小题满分12分）

数列{an}满足a1?1且an?1?(1?13311313)?(?,?)?(,)?(,1) 1532231511)a?(n?1). n2nn?n2（Ⅰ）用数学归纳法证明：an?2(n?2)；

（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x对x?0成立,证明:an?e2(n?1)，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，a2?2?2，不等式成立.

- 17 -

（2）假设当n?k(k?2)时不等式成立，即ak?2(k?2),

那么ak?1?(1?11)ak?k?2. 这就是说，当n?k?1时不等式成立.

k(k?1)2根据（1）、（2）可知：ak?2对所有n?2成立. （Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有 an?1?(1?1111)a??(1??)an.(n?1) nn2?n2nn2?n2n两边取对数并利用已知不等式得 lnan?1?ln(1?11?)?lnan

n2?n2n?lnan?1111?.lna?lna?? 故 (n?1). n?1nn2?n2nn(n?1)2n上式从1到n?1求和可得

lnan?lna1?111111??????2???n?1 1?22?3(n?1)n2221n111111112?1??(?)???????1??1?n?2. 1223n?1n2n21?21?即lnan?2,故an?e2（Ⅱ）证法二：

由数学归纳法易证2?n(n?1)对n?2成立，故

n(n?1).

an?1?(1?1111)a??(1?a?nnn(n?1)n(n?1)n2?n2n(n?2),则bn?1?(1?1)bnn(n?1)(n?2).

令bn?an?1(n?2).

(?取对数并利用已知不等式得 lnbn?1?ln11n(n?1)1)?lnbn

n(n?1)?lnbn?(n?2).

111???? 1?22?3n(n?1)上式从2到n求和得 lnbn?1?lnb2??1?

11111???????1. 223n?1n- 18 -

因b2?a2?1?3.故lnbn?1?1?ln3,bn?1?e1?ln3?3e(n?2).

故an?1?3e?1?e2,n?2,又显然a1?e2,a2?e2,故an?e2对一切n?1成立. 12．（本小题满分12分）

已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0?1,an?1?（1）证明an?an?1?2,n?N; （2）求数列{an}的通项公式an. 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，a0?1,a1?1an,(4?an),n?N. 213a0(4?a0)?, 22 ∴a0?a1?2，命题正确. 2°假设n=k时有ak?1?ak?2. 则n?k?1时,ak?ak?1?11ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak) 221?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak)2

1?(ak?1?ak)(4?ak?1?ak).2而ak?1?ak?0.又ak?1?4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.

11ak(4?ak)?[4?(ak?2)2]?2. 22∴n?k?1时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有an?an?1?2. 方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时，a0?1,a1?13a0(4?a0)?,∴0?a0?a1?2； 22 2°假设n=k时有ak?1?ak?2成立，

1x(4?x)，f(x)在[0，2]上单调递增，所以由假设 2111有：f(ak?1)?f(ak)?f(2),即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2),

222 令f(x)?也即当n=k+1时 ak?ak?1?2成立，所以对一切n?N,有ak?ak?1?2

- 19 -

（2）下面来求数列的通项：an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],所以 222(an?1?2)??(an?2)2

1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,则bn??bn??(?b)???()b????()bn, ?1n?2n?122222212n?11n,即an?2?bn?2?()2?1 又bn=－1，所以bn??()22

14．（本小题满分14分）

如图，设抛物线C:y?x的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

2解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x0)和(x1,x12)((x1?x0)，

2∴切线AP的方程为：2x0x?y?x0?0;

2 切线BP的方程为：2x1x?y?x1?0; 解得P点的坐标为：xP?2x0?x1,yP?x0x1 2x0?x1?xP?xP，

32所以△APB的重心G的坐标为 xG?2y0?y1?yPx0?x12?x0x1(x0?x1)2?x0x14xP?ypyG????,

3333所以yp??3yG?4xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

21x?(?3y?4x2)?2?0,即y?(4x2?x?2).

3 （2）方法1：因为FA?(x0,x0?),FP?(由于P点在抛物线外，则|FP|?0.

214x0?x1112,x0x1?),FB?(x1,x1?). 244 - 20 -

x0?x11112?x0?(x0x1?)(x0?)x0x1?FP?FA44?4, ?2∴cos?AFP?1|FP||FA||FP|22|FP|x0?(x0?)24x0?x11112?x1?(x0x1?)(x1?)x0x1?FP?FB244?4, ?同理有cos?BFP?1|FP||FB||FP|22|FP|x1?(x1?)24∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当x1x0?0时,由于x1?x0,不妨设x0?0,则y0?0,所以P点坐标为(x1,0)，则P2点到直线AF的距离为：d1?2即(x1?)x?x1y?|x1|1;而直线BF的方程:y??24x12?x114x,

141x1?0. 4x1x1|x||(x12?)1?1|(x12?)1424?42?|x1| 所以P点到直线BF的距离为：d2?1221222x?(x1?)?(x1)144所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, ②当x1x0?0时，直线AF的方程：y??0004x0?0442x0?114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, 直线BF的方程：y??1114x1?044x12?所以P点到直线AF的距离为：

x?x11x?x111222|(x0?)(0)?x0x1?x0||0)(x0?)42424?|x0?x1|，同理可得到P点d1??1221222x?(x0?)?x0044到直线BF的距离d2?15．（本小题满分12分）

|x1?x0|，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2设A、B是椭圆3x?y??上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平

- 21 -

22

分线与椭圆相交于C、D两点.

（Ⅰ）确定?的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的?，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能

力.

（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为y?k(x?1)?3,代入3x2?y2??，整理得

(k2?3)x2?2k(k?3)x?(k?3)2???0. ①

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根， ∴??4[?(k?3)?3(k?3)]?0, ② 且x1?x2?

222k(k?3),由N（1，3）是线段AB的中点，得

k2?3x1?x2?1,2?k(k?3)?k2?3.

解得k=－1，代入②得，??12,即?的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为y?3??(x?1),即x?y?4?0. 解法2：设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

22??3x1?y1???(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0. ?22??3x2?y2?? 依题意，x1?x2,?kAB??3(x1?x2).

y1?y2∵N（1，3）是AB的中点， ∴x1?x2?2,y1?y2?6,从而kAB??1. 又由N（1，3）在椭圆内，∴??3?1?3?12, ∴?的取值范围是（12，+∞）.

直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.

（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，

2代入椭圆方程，整理得 4x?4x?4???0.

22又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为C(x0,y0),则x3,x4是方程③的两根，

- 22 -

∴x3?x4??1,且x0?11313(x3?x4)??,y0?x0?2?,即M(?,). 22222于是由弦长公式可得 |CD|?1?(?)?|x3?x4|?1k22(??3). ④

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得4x2?8x?16???0 ⑤

2同理可得 |AB|?1?k?|x1?x2|?2(??12). ⑥

∵当??12时，2(??3)?2(??12),?|AB|?|CD|

假设存在?>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.

13|???4||x0?y0?4|32d??22?. ⑦ 点M到直线AB的距离为

222于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

AB29??12??3CD2|????||. 22222|CD|

故当?>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.

2|MA|2?|MB|2?d2?| （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）

A、B、C、D共圆?△ACD为直角三角形，A为直角?|AN|2=|CN|·|DN|，

|AB|2|CD||CD|)?(?d)(?d). ⑧ 222??12, 由⑥式知，⑧式左边?2即 (由④和⑦知，⑧式右边?(2(??3)322(??3)32??39??12?)(?)???, 2222222∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,

∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为y?3?x?1，代入椭圆方程，整理得

4x2?4x?4???0. ③

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得

4x2?8x?16???0. ⑤

解③和⑤式可得 x1,2?2???12?1???3,x3,4?.

22- 23 -

不妨设A(1?1??12,3?1??12),C(?1???3,3???3),D(?1???3,3???3)

222222∴CA?(3???12???33???3???12,)

22DA?(3???12???33???3???12,)

22计算可得CA?DA?0，∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC⊥AD） 16．（本小题满分14分）

已知不等式

1111?????[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的23n2nan?1,n?2,3,4,?

n?an?1最大整数. 设数列{an}的各项为正，且满足a1?b(b?0),an? （Ⅰ）证明an?2b,n?3,4,5,?

2?b[log2n]（Ⅱ）猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n?N时，对任意b>0，都有an?本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当n?2时,0?an?1. 5nan?11n?an?111,????,

n?an?1annan?1an?1n即

111??, anan?1n于是有

111111111??,??,?,??. a2a12a3a23anan?1n11111??????. ana123n111??[log2n]. ana12所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵a1?b,?2?b[log2n]111??[log2n]?.anb22b- 24 -

an?2b.

2?b[log2n]

证法2：设f(n)?111????，首先利用数学归纳法证不等式 23nan?b,n?3,4,5,?.

1?f(n)b （i）当n=3时， 由 a3?3a233b???. 32?a13?a21?f(3)b?13??1a22a1知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak?b,

1?f(k)b则ak?1?(k?1)akk?1k?1??

1?f(k)b(k?1)?ak(k?1)?1(k?1)??1akbb1?(f(k)?1)bk?1?b,

1?f(k?1)b?(k?1)b?(k?1)?(k?1)f(k)b?b即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i）、（ii）知，an?b,n?3,4,5,?.

1?f(n)b又由已知不等式得 an?b11?[lo2gn]b2?2b,n?3,4,5,?.

2?b[lo2gn] （Ⅱ）有极限，且liman?0.

n?? （Ⅲ）∵

2b221?,令?,

2?b[log2n][log2n][log2n]510则有log2n?[log2n]?10,?n?2?1024,

1. 5故取N=1024，可使当n>N时，都有an?17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知

- 25 -

识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.

x2y2解：(Ⅰ)设椭圆方程为2?2?1?a?b?0?，半焦距为c，则

aba2MA1??a,A1F1?a?cc?a2?c?a?2?a?c???由题意,得?2a?4 ?a2?b2?c2???? a?2,b?3,c?1x2y2故椭圆方程为??1.43(Ⅱ)设P??4,y0?,y0?0

设直线PF1的斜率k1??y0y,直线PF2的斜率k2??035? 0??F1PF2??PF1M?? ?F1PF为锐角。?2,

2y2y0k?k15? tan?F1PF2?21?20??.1?k1k2y0?15215y01515.15当y0?15，即y0=?15时，tan?F1PF2取到最大值，此时?F1PF2最大，故?F1PF2的最大值为arctan

18．已知函数f?x?和g?x?的图象关于原点对称，且f?x??x2?2x． (Ⅰ)求函数g?x?的解析式； (Ⅱ)解不等式g?x??f?x??x?1；

(Ⅲ)若h?x??g?x???f?x??1在??1,1?上是增函数，求实数?的取值范围．

本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.

解：(Ⅰ)设函数y?f?x?的图象上任意一点Q?x0,y0?关于原点的对称点为P?x,y?，则

?x0?x?0,??x0??x,?2即 ???y0?y?0,?y0??y.??2

- 26 -

∵点Q?x0,y0?在函数y?f?x?的图象上

∴?y?x2?2x，即y??x2?2x, 故g?x???x2?2x (Ⅱ)由g?x??f?x??x?1， 可得2x2?x?1?0 当x?1时，2x?x?1?0，此时不等式无解.

2当x?1时，2x?x?1?0，解得?1?x?21. 2因此，原不等式的解集为??1,?.

2??1??（Ⅲ）h?x????1???x2?2?1???x?1

①当???1时，h?x??4x?1在??1,1?上是增函数， ? ???1

②当???1时，对称轴的方程为x?1??. 1??1??ⅰ）当???1时,??1,解得???1.

1??1??ⅱ）当???1时,??1,解得?1???0.

1??综上，??0.

19．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6

分.

对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg 规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且x?Dg g(x) 当x?Df且x∈Dg

(1) 若函数f(x)=

1,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式; x?1(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

x2 [解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)

x?1 1 x=1

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1x2 (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,

x?1x?1 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=则g(x)=f(x+α)= sin2(x+

? 4??)+cos2(x+)=cos2x-sin2x, 44?, 2于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+2sin2x, α=

g(x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x.

20．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6

分.

在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),┄,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记

A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ┄, AN为AN-1关于点PN的对称点. (1)求向量A0A2的坐标;

(2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期

函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式; (3)对任意偶数n,用n表示向量A0An的坐标.

[解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), ∴A0A2={2,4}. (2) ∵A0A2={2,4},

∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4, 若3< x2≤6,则0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).

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当1< x≤4时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x-1). ∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

(3)A0An =A0A2?A2A4???An?2An, 由于A2k?2A2k?2P2k?1P2k,得

A0Ann2(2n?1)4(2n?1)=2(P+{1,2})=2{,}={n,} 1P2?P3P4???Pn?1Pn)=2({1,2}+{1,2}+┄

2333

n-1

命题人.......................................................闫夏

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