高二期末数学复习题，附答案 - 图文

1.（本小题满分13分） 已知

f(x)?ax?b?2?2a(a?0)的图像在点(1,f(1))处的切线与直线y?2x?1平行. x（1）求a，b满足的关系式； （2）若

f(x)?2lnx在[1,+?)上恒成立，求a的取值范围；

11111nn?????ln((2n2n??1)1?)?(n??)N） （n∈352n?1222n2n??11*

（3）证明：1?

2.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

12PD。

（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ （II）求二面角Q-BP-C的余弦值。

3.（12分）已知复数z1满足(z1?2)(1?i)?1?i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，z1?z2是实数，求z2。 4.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； （II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

5.(12分) 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a, F是BE的中点，

求证：(1) FD∥平面ABC; (2) AF⊥平面EDB.

6.(本小题满分13分)

已知函数f(x)?(Ⅰ)求k的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)设g(x)?xf?(x)，其中f?(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e.

?2lnx?k(k为常数，e=2.71828?是自然对数的底数)，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. ex7.（本小题满分12分） 已知函数（1）求

f(x)满足满足f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?12x； 2f(x)的解析式及单调区间；

（2）若

f(x)?12x?ax?b，求(a?1)b的最大值. 2

8.（18）（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形

ABCD是等腰梯形，

AB∥

CD，

?DAB?60?,FC?平面

ABCD,AE?BD,CB?CD?CF.

（Ⅰ）求证：BD

?平面AED；

（Ⅱ）求二面角F?BD?C的余弦值.

9.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式. （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 (1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

10.（本小题满分12分）

1

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点

2(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

C1 A1

B1

B

D

C A

11.（本小题满分12分）

（1）如图，证明命题“a是平面?内的一条直线，b是?外的一条直线（b不垂直于?），c是直线b在?上的投影，若a则a?b，

?c”为真。

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

12.设

f(x)?x??ax??bx??的导数f'(x)满足f'(?)??a,f'(?)??b，其中常数a,b?R．

y?f(x)在点(?,f(?))处的切线方程；

（Ⅰ）求曲线

（Ⅱ） 设g(x)?

f'(x)e?x，求函数g(x)的极值．

13.（14分）已知ABCD?A1BC11D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是

（1）设

AC11和B1D1的交点。

。

AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为?，二面角A?B1D1?A1的大小为??2tan?；

求证：tan?（2）若点C到平面

ABDAB1D1的距离为

43，求正四棱柱

ABCD?A1BC11D1的高。

CA1B1O1C1D1

14.已知函数(I)讨论

f(x)?lnx?ax2?2(a?x)

f(x)的单调性；

（II）设a＞0，证明：当0＜x＜（III）若函数

111时，f(?x)?f(?x)； aaa0

y?f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x，证明：f?(x0)?0。

15.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱

ABC?A1B1C1中，AC?BC?1AA1， D是棱AA1的中点，DC1?BD2

（1）证明：DC1（2）求二面角

?BC

A1?BD?C1的大小.

16.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用?表示红队队员获胜的总盘数，求?的分布列和数学期望E?. 17.（本小题满分13分）

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； 用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记??X?Y，求随机变量?的分布列与数学期望E?.

18.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

19.如图，在四棱锥A-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点.

（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面SAC； （3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，

试判断点E在SC上的位置，并说明理由.

20.（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?底面ABCD，E是PC的中点。 求证：（1）PA∥平面BDE （4分）

（2）平面PAC?平面BDE（6分）

21.如图，在梯形

ABCD中，AB//CD，AD?DC?CB?1,?ABC?60?，四边形ACFE为矩形，平面ACFE?平

面

ABCD，CF?1.

?平面ACFE；

（1）求证：BC（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；

（3）若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为?(??90?)，试求cos?的取值范围.

22.已知ABCD?A1BC11D1是底面边长为1的正四棱柱，高求⑴直线

AA1?2，

ADAC1与平面AA1B1B所成角的大小；

BC⑵二面角B?AC1?D的大小；⑶四面体

ABDC1的体积

A1B1C1D123.（本小题共14分）

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. (I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

24.(本小题满分12分)

如图，几何体E?ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB?CD,EC?BD. (Ⅰ)求证：BE?DE；

(Ⅱ)若∠BCD?120?，M为线段AE的中点， 求证：DM∥平面BEC.

M、N分别是AB、PC的中点． 25.如图，PA?矩形ABCD所在的平面，P（1）求证：MN//平面PAD；

DNC（2）求证：MN

?CD；

AMB

26.某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，

90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

频率

组距0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

75 80 85 90 95 100 分数

(1)分别求第3，4，5组的频率；

(2) 若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，

(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； (ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有

27.设函数

?名学生被考官D面试，求?的分布列和数学期望.

f(x)?ax3?3(2a?1)x2?6x(a?R) 2 （1）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(?1,f(?1))处的切线方程； ?1时，求f(x)的极大值和极小值； 3f(x)在区间(??,?3)上是增函数，求实数a的取值范围。

（2）当a （3）若函数

28.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数?的分布列与期望

29.已知函数

??x3?x2?bx?c,x?1f(x)??的图象经过原点，且在x??1处的切线斜率为?5。 2??x?ax?3,x?1（Ⅰ）求b,c的值； （Ⅱ）求函数在区间

??1,2?上的最大值。

30.已知a>0,函数f(x)?ln(2?x)?ax.

⑴设曲线y?f(x)在点（1，f(1))处的切线为l,若l截圆(x?1)⑵求函数f(x)的单调区间；

2?y2?2的弦长为2，求a；

⑶求函数f(x)在[0,1]上的最小值.

31.甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用

分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：

分组

分组

频数

（Ⅰ）计算x，y的值。

（Ⅱ）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估

计两个学校数学成绩的优秀率；

（Ⅲ）由以上统计数据填写右面2×2列联表，并判断

32.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）

33.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于

表示开始第4次发球时乙的得分，求

的期望.

是否有97．5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。 乙校：

分组 频数 分组 频数 [70,80） 1 [110,120） 10 [80,90） 2 [120,130） 10 [90,100） 9 [130,140） [100,110） 8 [140,150] 3 15 [110,120） [120,130） [130,140） 3 [140,150] 1 甲校：

频数 2 3 10 15 [70,80） [80,90） [90,100） [100,110） x y 优秀 非优秀 总计 甲校 乙校 总计 nad－bc2

附：K＝ ；

a＋bc＋da＋cb＋d2

P（k2>k0） K 0．10 2．706 0．025 5．024 0．010 6．635 13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1） 求成绩大于等于18秒且小于等于19秒的学生人数；

（2） 在成绩大于等于17秒且小于等于19秒的两组学生中任意选取两名同学，求两人在同一组的概率。 34.（本题满分16分）已知函数（1）若函数（2）当af(x)?1?x?lnx(a?0) axf(x)在[1,??)上为增函数，求实数a的取值范围

1?1时，求f(x)在[,2]上的最大值和最小值

21111（3）当a?1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn??????恒成立.

234n35.（本小题满分12分）

设函数f(x)= e－ax－2 (Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k的最大值

x36.已知函数

f(x)?lnx?a(a?R)． x?1（Ⅰ）当a?9时，如果函数g(x)?f(x)?k仅有一个零点，求实数k的取值范围； 2 （Ⅱ）当a?2时，试比较f(x)与1的大小；1111*ln(n?1)??????(n?N)． （Ⅲ）求证：

3572n?1

37.已知函数

f(x)?lnx?13x??1． 44x（Ⅰ）求函数

f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设g(x)取值范围．

??x2?2bx?4，若对任意x1?(0,2)，x2??1,2?，不等式f(x1)?g(x2) 恒成立，求实数b的

38.（本小题满分13分）

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结

果如下：

从第一个顾客开始办理业务时计时。

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率； （2）

39.已知函数 （1）当a

X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求

X的分布列及数学期望。

f(x)?(a?3b?9)ln(x?3)?12x?(b?3)x. 2?0且a?1，f?(1)?0时，试用含a的式子表示b，并讨论f(x)的单调区间；

（2）若

f?(x)有零点，f?(3)?f(x)的表达式；

1，且对函数定义域内一切满足|x|?2的实数x有f?(x)?0. 6①求

②当x?(?3,2)时，求函数

40.已知函数

y?f(x)的图象与函数y?f?(x)的图象的交点坐标.

f(x)?14x?x3?x2?a(0?x?6). 4(1)求函数的单调区间及最值； (2)a为何值时，方程

41.已知a?R，函数（Ⅰ）当af(x)?0有三个不同的实根.

f(x)?(?x2?ax)e?x.（x?R，e为自然对数的底数）

??2时，求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）若函数（Ⅲ）函数

f(x)在(?1,1)内单调递减，求a的取值范围；

f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由.

42.已知函数

（Ⅰ）求

f(x)?alnx?(x?1)2?ax（常数a?R）.

f(x)的单调区间；

?0.如果对于f(x)的图象上两点P，存在x0?(x1,x2)，使得f(x)1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))(x1?x2)（Ⅱ）设a的图象在x

?x0处的切线m∥P1P2，求证：x0?x1?x22

.

43.19．（本小题满分14分）已知函数

（Ⅰ）当t（Ⅱ）当tf(x)?4x3?3tx2?6tx?t?1,x?R，其中t?R．

?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； ?0时，求f(x)的单调区间；

f(x)在区间(0,1)内均存在零点．

（Ⅲ）证明：对任意的t?(0,??),

44.设函数

(1)求

f(x)?lnx?ax(a?R) f(x)的单调区间；

1?1且b?0，函数g(x)?bx3?bx，若对于任意的x1?(1,2)总存在x2?(1,2)使f(x1)?g(x2)，求实数

3(2)若ab的取值范围．

45.已知函数（1）求函数

f?x??xe?x?x?R?f?x?．

的单调区间和极值；

的图象与函数

（2）已知函数(3）如果

y?g?x?y?f?x?的图象关于直线x?1对称．证明当x?1时，f?x??g?x?;

x1?x2，且f?x1??f?x2?，证明x1?x2?2．

1f(x)?alnx?x2?(1?a)x(a?R).

2（1）当0?a?1时，求函数f(x)的单调区间；

（2）已知命题P：f(x)?0对定义域内的任意x恒成立，若命题P成立的充要条件是{a|a?t}，求实数t的值。

46.（本题满分13分）已知函数

9.

10.

11.

12.解：（I）因令xf(x)?x3?ax2?bx?1,故f?(x)?3x2?2ax?b.

?1,得f?(1)?3?2a?b,

f?(1)?2a,因此3?2a?b?2a,解得b??3. ?2,得f?(2)?12?4a?b,由已知f?(2)??b,

由已知又令x3??b,解得a??.

23253因此f(x)?x?x?3x?1,从而f(1)??

223又因为f?(1)?2?(?)??3,故曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

25y?(?)??3(x?1),即6x?2y?1?0.

2因此12?4a?b （II）由（I）知g(x)从而有g?(x)令g?(x)?(3x2?3x?3)e?x，

?(?3x2?9x)e?x.

?0,得?3x2?9x?0,解得x1?0,x2?3.

当x?(??,0)时,g?(x)当x?(0,3)时,g?(x)?0,故g(x)在(??,0)上为减函数；

?0,故g(x)在（0，3）上为增函数；

当x?(3,??)时，g?(x)从而函数g(x)在x1

?0,故g(x)在(3,??)上为减函数；

?0处取得极小值g(0)??3,在x2?3处取得极大值g(3)?15e?3.

13.解：设正四棱柱的高为h。

ABCDA1B1⑴ 连∴ ∵

D1O1C1

AO1，AA1?底面A1B1C1D1于A1，

AB1与底面A1B1C1D1所成的角为?AB1A1，即?AB1A1?? AB1?AD1，O1为B1D1中点，∴AO1?B1D1，又AO11?B1D1，

A?B1D1?A1的平面角，即?AO1A1??

∴ ?AO1A1是二面角∴ tan??AA1AA1?h，tan???2h?2tan?。

AOA1B111AzDC⑵ 建立如图空间直角坐标系，有

A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0),C(1,1,h)

B??????????????AB1?(1,0,?h),AD1?(0,1,?h),AC?(1,1,0)

设平面

AB1D1的一个法向量为n?(x,y,z)，

B1x?A1O1C1D1y??????????????n?AB1?n?AB1?0∵ ??，取z?1得n?(h,h,1) ??????????????n?AD1?n?AD1?0???????|n?AC|h?h?04?∴ 点C到平面AB1D1的距离为d???，则h?2。 |n|h2?h2?13

14. （I） （i）若af(x)的定义域为(0,??), f?(x)?1(2x?1)(ax?1)?2ax?(2?a)??. xx?0,则f?(x)?0,所以f(x)在(0,??)单调增加.

1, a11且当x?(0,)时,f?(x)?0,当x?时,f?(x)?0.

aa11所以f(x)在(0,)单调增加，在(,??)单调减少. ??????4分

aa11 （II）设函数g(x)?f(?x)?f(?x),则

aa （ii）若a?0,则由f?(x)?0得x?g(x)?ln(1?ax)?ln(1?ax)?2ax,aa2a3x2

g?(x)???2a?.221?ax1?ax1?ax1?x?时,g?(x)?0,而g(0)?0,所以g(x)?0.

a111故当0?x?时，f(?x)?f(?x). ??????8分

aaa当0（III）由（I）可得，当a故a?0时,函数y?f(x)的图像与x轴至多有一个交点，

11?0，从而f(x)的最大值为f(),且f()?0.

aa1?x2. 不妨设A(x1,0),B(x2,0),0?x1?x2,则0?x1?a211由（II）得f(?x1)?f(??x1)?f(x1)?0.

aaa从而x2?x?x212?x1,于是x0?1?. a2a由（I）知，

f?(x0)?0. ??????12分

15.（1）在Rt?DAC中， 得：?ADCAD?AC

?45?

同理：?A1DC1 得：DC1 （2）DC1?45???CDC1?90?

?DC,DC1?BD?DC1?面BCD?DC1?BC

?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1?BC?AC

?BD于点H，连接C1O,C1H

O，过点O作OH 取A1B1的中点

AC11?B1C1?C1O?A1B1，面A1B1C1?面A1BD?C1O?面A1BD

?BD?C1H?BD 得：点H与点D重合

OH 且?C1DO是二面角A1?BD?C1的平面角

2a?，C1D?2a?2C1O??C1DO?30 2 设AC?a，则C1O? 既二面角A1

?BD?C1的大小为30?

16.解：（I）设甲胜A的事件为D，

乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，

??????则D,E,F分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。

因为P(D)?0.6,P(E)?0.5,P(F)?0.5, 由对立事件的概率公式知

??????P(D)?0.4,P(E)?0.5,P(F)?0.5,

红队至少两人获胜的事件有：

??????DEF,DEF,DEF,DEF.

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为

??????P?P(DEF)?P(DEF)?P(DEF)?P(DEF)?0.6?0.5?0.5?0.6?0.5?0.5?0.4?0.5?0.5?0.6?0.5?0.5 ?0.55. （II）由题意知?可能的取值为0，1，2，3。

??????????又由（I）知DEF,DEF,DEF是两两互斥事件，

且各盘比赛的结果相互独立，

??????因此P(??0)?P(DEF)?0.4?0.5?0.5?0.1, ????????????P(??1)?P(DEF)?P(DEF)?P(DEF)

?0.4?0.5?0.5?0.4?0.5?0.5?0.6?0.5?0.5

?0.35P(??3)?P(DEF)?0.6?0.5?0.5?0.15.

由对立事件的概率公式得

P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?0.4,

所以?的分布列为：

即lnx22(x2?x1) ?x1x1?x2x1?x22得证?????????..???15分

?x0

?

43.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算

能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当t

?1时，f(x)?4x3?3x2?6x,f(0)?0,f?(x)?12x2?6x?6

f?(0)??6.所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y??6x.

（Ⅱ）解：

因为ttf?(x)?12x2?6tx?6t2，令f?(x)?0，解得x??t或x?.

2?0，以下分两种情况讨论：

t （1）若t?0,则??t,当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表：

2x t????,?? 2??+ ?t??,?t? ?2?- ??t,??? + f?(x) f(x)

所以，

t???t?f(x)的单调递增区间是???,?,??t,???;f(x)的单调递减区间是?,?t?。

2???2?

（2）若t?0,则?t?t，当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： 2x ???,t? + t???t,?? ?2?- ?t?,???? ?2?+ f?(x) f(x)

所以，

t??t??f(x)的单调递增区间是???,?t?,?,???;f(x)的单调递减区间是??t,?.

?2??2? （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t?t??t??0时，f(x)在?0,?内的单调递减，在?,???内单调递增，以下分两种情况讨论：

?2??2? （1）当

t?1,即t?2时，f(x)在（0，1）内单调递减， 2

f(0)?t?1?0,f(1)??6t2?4t?3??6?4?4?2?3?0.

所以对任意t?[2,??),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。

（2）当

0?t?1即,0t??时2，f(x)在

?t??0,?内单调递减，在

?t??,1?内单调递增，若

2?2?t?(0,1],f??1??2????74t3?t?1??74t3?0.

f(1)??6t2?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0.

所以

f(x)在??t?2,1???内存在零点。

若t?(1,2),f??t??2????774t3??t?1???4t3?1?0.

f(0)?t?1?0

所以

f(x)在??t??0,2??内存在零点。

所以，对任意t?(0,2),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t?(0,??),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。

44.

?2?g'(x)?bx2?b?b(x?1)(x?1)

①当b?0时，g(x)在（1,2）是减函数 g(x)?(2b3,?2b3) ?2b3?ln2?2 即 b?32ln2?3 ②当b?0时， g(x)在（1,2）是增函数 g(x)?(?2b3,2b3) 为满足A?B ??2b3?ln2?2 ?b??332(ln2?2)?3?2ln2 综上所述b的范围(??,332ln2?3]?[3?2ln2,??)

45.（1）

f??x???1?x?e?x．令

f??x???1?x?e?x?0，则x?1．

当x变化时，

f??x?,f?x?的变化情况如下表：

x ???,1? 1 ?1,??? f??x?? ? 0 f?x?增 极大值 减 所以

f?x?在区间

???,1?内是增函数，在区间?1,???内是减函数．

f?x??f?1??1函数

在x?1处取得极大值f?1．且

e． (4分)

（2）因为函数

y?g?x?的图象与函数

y?f?x?的图象关于直线x?1对称，

又2b3?0??1 所以

g?x??f?2?x?，于是

g?x???2?x?ex?2．

记

F?x??f?x??g?x?，则

F?x??xe?x??x?2?ex?2，

F??x???x?1??e2x?2?1?e?x，

2x?2?xe?1?0e?0，所以F??x??0， x?12x?2?0当时，，从而，又

于是函数因为

F?x?在区间

?1,???上是增函数．

，所以，当xF?1??e?1?e?1?0?1时，F?x??F?1??0．因此f?x??g?x?．（9分）

（3） ① 若 ②若

?x1?1??x2?1??0，由（1）及f?x1??f?x2?,得x1?x2,与x1?x2矛盾；

?x1?1??x2?1??0，由由（1）及f?x1??f?x2?,得x1?x2,与x1?x2矛盾；

?x1?1??x2?1??0．不妨设x1?1,x2?1．

，所以

根据①，②可得由（2）可知因为

f?x2??g?x2??f?2?x2?f?x1??f?x2??g?x2??f?2?x2?．

f?x????,1?内是增函数， x2?1，所以2?x2?1，又x1?1，由（1）

，在区间

所以

x1?2?x2，即x1?x2?2． （14分）

46.解：

ax2??1?a?x?a?x?1??x?a?f??x???x??1?a???

xxxa?1时，f??x?、f?x?的变化情况如下表：

a 0 极大值 （Ⅰ）当0?x ?0，a? + 单调递增 ?a,1? - 单调递减 1 ?1，??? + 单调递增 f??x? f?x? 所以函数

0 极小值 f?x?的单调递增区间是?0,a?,?1,???，单调递减区间是?a,1???????6分

（Ⅱ）由于函数

1f?1????a，显然a?0时，f?1??0，此时f?x??0对定义域内的任意x不是恒成立的，当a?0时，易得

211f?x?在区间?0，???的极小值、也是最小值即是f?1????a，此时只要f?1??0即可，解得a??，?实数a的

22取值范围是?-?，-??1?. ?2???11?.故t??.????????13分

22??-?P成立的充要条件为?-?，略

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