北师大版初中数学九（上）一元二次方程分节练习含应用题和解方程

北师大版 初中数学九年级（上）

第二章一元一次方程 分节练习 第1节 认识一元一次方程

1、【基础题】下列方程中，一元二次方程共有（ ）．

222①3x?x?20 ②2x?3xy?4?0 ③x?1x?4 ④x2?1⑤x2??3?0 x3A． 2个 B．3个 C．4个 D． 5个

1.1、【基础题】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为 （ ）

22 A. ax2＋bx＋c＝0 B. x2－2＝（x＋3 C. x＋－5＝0 D. x2－）1＝0

3x1.2、【基础题】若方程 mx2＋3x－4＝3x2 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_________.

22（3x＋2）＝4（x－3）2、【基础题】把方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和

常数项.

3、【综合Ⅰ】根据题意，列出一元二次方程：

（1）已知直角三角形三边长为连续整数，求它的三边长；

（2）一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 苗圃的长和宽各是多少？

（3）有一面积为54 m2的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个正方形，这个正方形的

边长是多少？

第2节 用配方法求解一元二次方程

4、【基础题】用配方法解下列方程：

212x＋25＝0； （2）x2＋4x＝10； （3） x2－6x＝11； （4） x2－2x－4＝0 （1）x＋

4.1、【基础题】用配方法解下列方程：

21＝0； （2） 5x2－18＝9x； （3） 4x2－3x＝52； （4）5x2＝4－2x. （1） 6x－7x＋

5、【综合Ⅱ】列方程解决问题：

（1）体操方阵有8行12列，后又增加了69人，使得方阵增加的行、列数相同，

你知道增加了多少行或多少列吗？

（2）印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？

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（3）如左下图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的

一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 m2，道路的宽应为多少？

（4）如右上图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm. 动点P从点A出发，以3 cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2 cm/s的速度向点D运动，何时点P和点Q之间的距离是10 cm？

第3节 用公式法求解一元二次方程

6、【基础题】用公式法求下列一元二次方程的解：

18＝0； （2）4x2＋1＝4x. （1）x2－7x－1＝0. （3）x2－5x＋4＝0； （4）2x2＋4x＋6.1、【基础题】用公式法解下列方程：

1＝0； （1） 2x2－9x＋8＝0； （2） 9x2＋6x＋221＝0. （3） 16x＋8x＝3； （4）2x－4x－6.2、【基础题】运用公式法解下列方程:

21＝0； (2) x2＋6x＋9＝7； (1) 5x＋2x－2 （3） 5x＋2＝3x； （4） (x－2)(3x－5)＝1.

26.3、【基础题】用公式法解方程 6x－8＝5x 时，a、b、c的值分别是 （ ）

A. 5、6、－8 B. 5、－6、－8 C. 5、－6、8 D. 6、5、－8

226.4、【综合Ⅱ】定义新运算“★”：对于任意实数a、b，都有a★b＝a－3a＋b，如3★5＝3－3?3＋5.

若x★2＝6，则实数x的值是______. 7、【基础题】不解方程，判断下列方程的根的情况：

2（x－1）＋3＝0； （3）4（y2＋0.09 （1）2x＋5＝7x； （2）4x）＝2.4y.

7.1、【综合Ⅲ】已知关于

x 的方程 mx2－（m＋2）x＋2＝0 （m?0）.

m 的值.

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（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数

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8、【综合Ⅱ】列方程解决问题

（1）一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.

（2）长方体木箱的高是8 dm，长比宽多5 dm，体积是528 dm3，求这个木箱的长和宽. （3）圆柱的高为15 cm，全面积（也称表面积）是200? cm2，那么圆柱底面半径是多少？

（4）在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风

景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？

（5）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25 m），另三边用木栏围成，木栏长40 m.

请问，鸡场的面积能达到180 m2吗？能达到200 m2吗？能达到210 m2吗？

（6）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何.” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？ （注：“尺”、“寸”、“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸.） （7）如图，由点P（14，1）、A（a，0）、B（0，a）（a是正数）确定的△PAB的面积是18，求a的值.

第4节 用因式分解法求解一元二次方程

9、【基础题】用因式分解法解下列方程

（x＋2）（x－4）＝0； （4）x（x－2）＝x－2. （1）x2＝3x； （2）5x2＝4x； （3）

9.1、【综合Ⅰ】用分解因式法解下列方程：

21＝0； （2） 3x(x－ （1）9x＋6x＋1)＝2－2x；

（3）(2x＋3)＝4(2x＋3)； （4）2(x－3)＝x－9.

9.2、【综合Ⅰ】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程(x－5)(x－7)＝0的根，则该三角形的周长为______. 9.3、【综合Ⅱ】解下列方程：

22（x2－x）＝3（x2＋x）（x－2）＝（2x＋3） （1）5； （2）； （3）(x－2)(x－3)＝12；

222）； （5）2y＋4y＝y＋2. （4）2x＋6＝（x＋3

10、【综合Ⅰ】列方程解决问题：

（1）一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.

（2）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，

2另一边减少了2 m，剩余空地面积为12 m，求原正方形空地的边长.

22

* 第5节 一元二次方程的根与系数的关系

11、【基础题】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：

22 （1）x＋7x＋6＝0； （2）2x－3x－2＝0.

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1，则另一个根是______. 11.1、【综合Ⅰ】一元二次方程x2＋kx－3＝0的一个根是 x＝

11.2、【综合Ⅲ】 设 x1 和 x2 是一元二次方程 x2－3x－1＝0的两个实数根，

则

1122＋＝______，x1＋x2＝______. x1x2第6节 应用一元二次方程

12、【综合Ⅱ】 列方程解决问题（面积和体积问题）：

（1）一块长方形草地的长和宽分别为20 m和15 m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积

为246 m2，求小路的宽度.

（2）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如左下图所示，它的长为8 m，宽为5 m. 如果地毯中央长方形图案的

面积为18 m2，那么花边有多宽？

（3）、如右上图所示，在宽为20 m，长为32 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成

大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m2，道路应为多宽？

（4）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积

3是400 cm，求原铁皮的边长.

12.1、【综合Ⅱ】 列方程解决问题：

2（1）有一条长为16 m的绳子，你能否用它围出一个面积为15 m的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？

（2）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. 要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? 两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

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（3）如左下图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为0.78 m2，上口比渠底宽0.6 m，渠深比渠底少0.4 m，

求渠深.

（4）如右上图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半？ 13、【综合Ⅱ】列方程解决问题（利润问题） ★★★ （1）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少

库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2） 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元. 市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

（3）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进

货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（4）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量. 试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵. 如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？

13.1、【综合Ⅱ】列方程解决问题（利润问题）：

（1）某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元。 在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件

降价1元，则每天可多售5件。 如果每天要赢利1600元，每件应降价多少元？

（2）某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元. 为了

尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，通过调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张. 摊主想要平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？

（3）一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元 / 吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元. 那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利122000元？ 14、【综合Ⅱ】 列方程解决问题（增长/减少率问题）：

（1）某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司缴税的年平均增长率为多少？

（2）某种电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______. （3）某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题

意列方程应为_______________________.

（4）某商场今年1月份销售额为100万元，2月份销售额下降了10%，该商场马上采取措施，改进经营管理，使月

销售额大幅上升，4月份的销售额达到129.6万元，求3、4月份月销售额的平均增长率.

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14.1、【综合Ⅱ】 列方程解决问题（增长/减少率问题）：

（1）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两

个月营业额的月均增长率.

（2）某市2011年年底自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市国土面积的百分比）仅为4.85%，经过两年的

努力，该市2013年年底自然保护区覆盖率达到8%，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率（结果精确到0.1%）. 15、【综合Ⅰ】列方程解决问题（数字问题）：

（1）两个数的差等于4，积等于45，求这两个数.

（2）有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给乔治，

那么乔治得到多少钱？ （3）若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( )

A. 11 B. 15 C. -15 D .±15

（4）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？

15.1、【综合Ⅱ】 列方程解决问题（数字问题）

（1）一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把这两个数字位置调换，所得的两位数与原两位数的乘积等

于765，则原两位数是_______

（2）有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的2倍多5，求这个两位数. 16、【综合Ⅱ】列方程解决问题（距离问题）：

（1）一个直角三角形的斜边长7 cm，一条直角边比另一条直角边长1 cm，求两条直角边的长度.

（2）一个搭在墙边的梯子的长度是13 m，梯子顶端靠在墙面上并且与地面的垂直距离是12 m，那么梯子顶端下

滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ （3）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与

乙会，问甲乙各行几何.” 大意是说：已知甲乙二人同时从同一地点出发. 甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇. 那么相遇时，甲、乙各走了多远.

（4）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm. 动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度

是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，请问几秒后P、Q两点相距25 cm.

17、【综合Ⅲ】 列方程解决问题（其他问题）：

（1）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是

多少人？

（2）王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到

期后取出2750元，则年利率为（ ）．

A．5% B．20% C．15% D．10%

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九（上）第二章一元一次方程 【分节练习答案】 第1节答案

1、【答案】 选B 1.1、【答案】 选D 1.2、【答案】 m?3

2、【答案】 一般形式：5x2＋36x－32＝0，二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是－32. 3、【答案】 （1）设最短边是x，则其他两边是（x＋1）和（x＋2），根据题意可列方程为

22 x2＋（x＋； 1）＝（x＋2）（2）设宽是x m，则长是(x＋2) m，根据题意可列方程

x(x＋2)＝120

（3）设这个正方形的边长是x m，根据题意可列方程

(x＋5)(x＋2)＝54

第2节答案

4、【答案】

（1）－6?11； （2） －2?14； （3） 3?25； （4） 1?5 4.1、【答案】

1，x2＝； （2）x1＝3，x2＝－ （1）x1＝5、【答案】

16613－1?21； （3）x1＝4，x2＝－； （4）x＝ 545（1）解：设增加的行、列数都是x，根据题意可列方程 (8＋x)(12＋x)＝69＋8?12 解得x1＝3，x2＝－23（舍去）； 答：增加的行数、列数都是3. （2）解：设共有x只猴子，根据题意可列方程 x－（12x）＝12 816，x2＝48； 答：共有16只或48只猴子. 解得x1＝（3）解：设道路的宽应为x m，根据题意可列方程 (35－x)(26－x)＝850

1，x2＝60（舍去） 解得x1＝； 答：道路的宽应为1米.

（4）过P作PE⊥DC于点E，

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北师大版 初中数学九年级（上） 第3节答案

6、【答案】（1）x1＝9，x2＝－2； （2）x1＝x2＝. （3）x1＝4，x2＝1； （4）x1＝12－2－2－2＋2，x2＝.

226.1、【答案】（1） x＝1139?172?6 ； （2） x1＝x2＝－； （3） x1＝，x2＝－； （4）x＝.

344426.2【答案】 (1) x1=

?1?6?1?6； (2). x1=－3+7,x2=－3－7； ,x2?55111?13 ； （4）x＝. 36（3）x1＝2，x2＝－6.3、【答案】 选C 6.4、【答案】 实数x的值是－1或4

7、【答案】 （1）两个不相等的实数根； （2）没有实数根； （3）有两个相等的实数根.

2?0，所以方程总有两个实数根； 7.1、【答案】 （1）b2－4ac＝（m－2）1，x2＝ （2）由求根公式得： x1＝2，所以m＝1或2. m8、【答案】 （1）解：设这三边分别是x、x＋2、x＋4，根据题意可列方程 x2＋(x＋2)2＝(x＋4)2 解得x1＝6，x2＝－2（舍去）； 答：三边长是6、8、10. （2）解：设这个木箱的宽是x dm，则长为（x＋5）dm，根据题意可列方程 8x(x＋5)＝528

11（舍去）解得x1＝6，x2＝－； 答：这个木箱的宽是6 dm，长是11 dm.

（3）解：设圆柱的底面圆半径为r cm， ∴S圆柱表＝2?·15＋2?r＝200? r·

25，r2＝－20（舍去）∴r1＝， 答：圆柱的底面半径为5 cm.

（4）解：设金色纸边的宽是x cm，根据题意可列方程 (90＋2x)(40＋2x)?72%＝90?40

70（舍去） 解得x1＝5，x2＝－； 答：金色纸边的宽应该是5 cm.

（5）

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（6）

（7）a＝3或12.

第4节答案

41，x2＝2； ； （3）x1＝－2，x2＝4； （4）x1＝512311，x2＝－； （3）x1＝－，x2＝； （4）x1＝3，x2＝9. 9.1、【答案】（1）x1＝x2＝－ ；（2）x1＝33229、【答案】（1）x1＝0，x2＝3； （2）x1＝0，x2＝9.2、【答案】 周长是12.

1，x2＝6； 9.3、【答案】 （1）x1＝0，x2＝4； （2）x1＝－，x2＝－5； （3）x1＝－12131； （5）x1＝，x2＝－2. （4）x1＝－3，x2＝－10、【答案】（1）解：设这个数是x，根据题意可列方程 2x2＝7x 解得 x1＝0，x2＝（2）

77； 答：这个数是0或. 22

* 第5节答案

x2＝6 ； （2）x1＋x2＝，x1·x2＝－1. 11、【答案】 （1）x1＋x2＝－7，x1·

11.1、【答案】 另一个根是－3. 11.2、【答案】

321122＋＝－3，x1＋x2＝11. x1x2第9页

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第6节答案

12、【答案】 （1）

（2）解：设花边的宽为x m，根据题意可列方程 (8－2x)(5－2x)＝18 解得x1＝； 答：花边的宽是1米。 1，x2＝5.5（舍去）（3）解：设道路宽为x m，根据题意可列方程 (32-2x)(20-x)=570

2

整理得 x-36x+35=0； x1=1， x2=35（舍去）； 答：道路应宽1 m. （4）解：设原铁皮的边长是x cm，根据题意可列方程 4(x－8)2＝400

18，x2＝－2（舍去）解得x1＝； 答：原铁皮的边长是18 cm.

12.1、【答案】

（1）解：设矩形的长是x m，则矩形的宽为(8－x) m，根据题意可列方程 x(8－x)＝15 解得x1＝3，x2＝5； 答：长是5 m，宽是3 m. （2） 解：（一）设剪成两段后其中一段为x cm，则另一段为（20－x）cm.

?x??20?x?则根据题意，得??+? ?＝17，解得x1＝16，x2＝4；当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，

44????答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

（二）不能. 理由是：不妨设剪成两段后其中一段为y cm，则另一段为（20－y）cm.则由题意

22?y?得???4?（3）

2?20?y?22+??＝12，整理，得y－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)＝－4＜0，所以此方程无解. ?4?2

（4）解：设经过x秒，根据题意可得

111(8－x)(6－x)＝??8?6 22212（舍去）解得x1＝2，x2＝； 答：经过2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半.

13、【答案】（1）解：设每件衬衫应降价x元。 根据题意可得： (40-x)(20+2x)=1200

x2-30x+200=0；x1=10(舍去)，x2=20； 答：每件衬衫降价20元. （2）解：设每台冰箱降价x元，根据题意可列方程 (2900－2500－x)(8＋4?x)＝5000 50150，2900－150＝2750， 答：每台冰箱的定价应为2750元. 解得x1＝x2＝

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