湖南师大附中2011-2012学年高一下学期第一次月考数学试题

湖南师大附中

2011—2012学年度下学期第一次月考

高一数学试题

时 量：120分钟 满 分：150 分（必考I部分100分，必考II部分50分） 命题：湖南师大附中高一数学备课组

必考I部分

一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的 A.频率就是概率

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D.概率是随机的，在试验前不能确定

2．对总数为N的一批零件用简单随机抽样方法抽取一个容量为30 的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为

A．100 B．120 C．150 D． 200

3. 右边的程序运行后输出的结果是 S=1 A. 16 B. 32 i =1 C. 64 D. 128 DO S=2*S i = i+1 LOOP UNTIL i ? 6

PRINT S END 4. 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则至少一次正面朝上的概率为 A.

3112 B. C. D. 42435. 从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是 A. 5,10,15,20,25 B. 3,13,23,33,43

C. 3,6,12,24,48 D. 8,16,24,32,40

654326. 用秦九韶算法计算多项式f(x)?3x?5x?6x?79x?8x?35x?12在x??4

时的值时,v2的值为 A. －57 B. -22 C. 34 D. 74

7. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的事件是

A.至少一个黑球与都是黑球 B.至少一个黑球与至少一个红球 C.至少一个黑球与都是红球 D.恰有一个黑球与恰有两个黑球

8. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元） 销售额y（万元） 4 49 2 26 3 39 5 54 ?为9．??a??bx?中的b根据上表可得回归方程y4，据此模型预报广告费用为6万元时销

售额为

A．63．6万元

B．65．5万元

C．67．7万元

D．72．0万元

二、填空题：本大题共６个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上. 9. 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的 中位数分别是__________、___________. 甲 乙

8 2 9

9 1 3 4 5

2 5 4 8 2 6

7 8 5 5 3 5

6 6 7

[来源学科网ZXXK]10. 将二进制数110011（2）化为五进制数，结果为___________(5).

11. 已知一个样本数据：1，3，2，5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是______.

12. 读程序，该程序表示的函数是_________.

13. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为______.

14. 利用随机模拟方法计算如右图中阴影部分（y?1和y?x所围成的部分）的面积S时，若向矩形ABCD内随机撒1000粒豆子，落在阴影区域内的有698粒，由此可得S的近似值 为 .

2INPUT x IF x<1 THEN y = x+1 ELSE y = –x+1 END IF PRINT y END 11，两人下成和棋的概率为，则乙不输的概率为32y 1 D C A O B x

三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本题满分10分）

从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）按照区间 [ 100 , 110），[ 110 , 120），[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150] 进行分组，得到频率分布直方图（如图）.

（Ⅰ）求直方图中a的值；

（Ⅱ）若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，求从身高在[140 ，150]内的学生中应选取的人数； （Ⅲ）这100名学生的平均身高约为多少厘米?

16.（本题满分10分）

下面有两个关于―袋子中装有红、白两种颜色的相同小球，从袋中无放回地取球‖的游戏规则，这两个游戏规则公平吗？为什么？

游 戏 1 2个红球和2个白球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜

游 戏 2 3个红球和1个白球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 17.（本小题满分12分）

如图是一个计算n(n?N?)个数2,345,,,234,n?1的和的程序框图，请完成该图n的程序框：

（I）请在图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；

（II）根据程序框图写出程序.

18.（本小题满分12分）

设函数f(x)?x2?2ax?b2?4．

（Ⅰ）若a是从－2、－1、0、1、2五个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求函数f(x)无零点的概率；

（Ⅱ）若a是从区间[－2,2]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求函数f(x)无零点的概率.

开 始 输入n i = 1 S = 0 i = i+1 （2） （1） 否 输出S 结 束 是 必考II部分

19．(本小题满分12分)

已知f(x)?log2(1?x)?log2(1?x). （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；

（Ⅱ）判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明；

（Ⅲ）求f(2)的值. 2

20．(本小题满分12分)

sin(已知f(x)?5??x)2?sin(x??)?cos(??x).

cos(x?)2（Ⅰ）当tan(??x)??2时，求f(x)的值；

（Ⅱ）指出f(x)的最大值与最小值，并分别写出使f(x)取得最大值、最小值的自变量

?x的集合.

21．(本小题满分13分)

如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC. （Ⅰ）证明：平面SBC⊥平面SAB； （Ⅱ）求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.

S

A

B

22．(本小题满分13分)

已知圆C的圆心在直线y??2x上，并且与直线x?y?1相切于点A（2，－1）.

C

（Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）从圆C外一点M引圆C的切线MN，N为切点，且MN＝MO（O为坐标原点），求MN的最小值.

参考答案

一、选择题题号 答案 二、填空题

9. 45；46 10. 201 11.

1 Ｃ 2 B 3 Ｃ A4 [来源:学科网ZXXK]5 B 6 Ｃ 7 D 8 Ｂ 2

?x?1，x?1，212. y?? 13. 14. 1.396

3??x?1，x?1.三、解答题

15.解：（Ⅰ）由直方图可知，第三个小矩形的面积为

[来源学科网Z|X|X|K]1?(0.005?0.035?0.02?0.01)?10?0.3 ……2分 所以　a?0.3?10?0.03 ……３分

（Ⅱ）身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150] 三组内的学生人数比为３：２：１，用分层抽样的方法选取18人参加活动，从身高在[140 ，150]内的学生中应选取的人 数为：18?1?3. ……6分

3?2?1（Ⅲ）这100名学生的平均身高约为：

105?0.05?115?0.35?125?0.3?135?0.2?145?0.1?124.5（厘米） ……10分

16.解：游戏１：从2个红球和2个白球中，取1个球，再取1个球，基本事件共有12个.

―取出的两个球同色‖包含的基本事件有４个. ……３分

所以Ｐ（甲胜）＝

121，Ｐ（乙胜）＝１－＝. 333因此规则是不公平的. ……５分

游戏２：从３个红球和１个白球中，取1个球，再取1个球，基本事件共有12个.

―取出的两个球同色‖包含的基本事件有６个. ……８分 所以Ｐ（甲胜）＝

111，Ｐ（乙胜）＝１－＝. 222因此规则是公平的. ……10分

17. （I）(1)处应填写：i?n? …………………………………………3分

(2)处应填写：s?s?（II）程序：

i?1 …………………………………………6分 i

[来源学科网]

18.解：

INPUT n i =1 s=0

WHILE i<=n s=s+(i+1)/i i = i+1 WEND PRINT s END

………………………………………………8分

………………………………………………11分 ………………………………………………12分

函数f(x)?x2?2ax?b2?4无零点?方程x?2ax?b?4?0无实根?a?b?4记事件A为函数(x)?x2?2ax?b2?4无零点.

2222 ………………2分

（Ⅰ）基本事件共有15个：（－2，0），（－2，1），（－2，2），（－1，0），（－1，1），（－1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）. ………………4分 事件A包含6个基本事件. …………5分 所以P（A）＝

62?. …………6分155[来源学+科+网Z+X+X+K] b （Ⅱ）如图，试验的全部结果所构成的区域为

?，…………8分 ???(a,b)|?2?a?2，　0?b?2　事件A所构成的区域为

2 A?(a,b)|a2?b2?4,且(a,b)???，…………10分 即图中的阴影部分. 所以P(A)??-2 O 2 a SA2????. …………12分 S?8419. 解：（Ⅰ）由??1?x?0， ……………………2分

?1?x?0 ???x??1 ??1?x?1 ……………………3分

?x?1∴函数f(x)的定义域为?x|?1?x?1?. ……………………4分 （Ⅱ）函数f(x)的定义域为?x|?1?x?1?， ∵ f(?x)?log2[1?(?x)]?log2[1?(?x)]

?log2(1?x)?log2(1?x)?f(x) ……………………8分

∴ 函数f(x)?log2(1?x)?log2(1?x)是偶函数. ……………………9分 （Ⅲ）

222)?log2(1?)?log2(1?)22222?log2[(1?)(1?)]221 ?log2(1?)21?log22??1f(……………………12分

20.解： （Ⅰ）

5??x)cosx2f(x)??sin(x??)?cos(??x)??(?sinx)?(?cosx)?cos2x

?sinxcos(x?)2sin(……………………3分

由tan(??x)??2，得tanx??2. ……………………4分

所以f(x)?cosx?

2（Ⅱ）因为f(x)?cosx，所以f(x)的最大值为1，最小值为0.

211? . ……………………6分

1?tan2x5……………………8分

当f(x)?1时，cosx??1，此时x?k?,k?Z.

所以使f(x)取得最大值的自变量x的集合为?x|x?k?,k?Z?.

……………………10分

当f(x)?0时，cosx?0，此时x?k???2,k?Z.

所以使f(x)取得最小值的自变量x的集合为?x|x?k??????,k?Z?. 2?……………………12分

21. 解：（Ⅰ）平面SBC⊥平面SAB.理由如下：

因为∠SAB＝∠SAC＝90°， 所以SA⊥AB，SA⊥AC， 所以SA⊥底面ABC. ………………………………2分 又BC在平面ABC内，所以SA⊥BC. 又AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB. ………………………………4分 因为BC在平面SBC内，所以平面SBC⊥平面SAB. ………6分 （Ⅱ）作AD⊥SB，垂足为D.

S 由（Ⅰ）知平面SBC⊥平面SAB，

则有AD⊥平面SBC. …………8分 E 作AE⊥SC，垂足为E，连结DE， 则∠AED为二面角A－SC－B的平面角. ………10分

D

设SA＝AB＝2，则SB＝BC ＝22，AD＝2， A AC＝23，SC＝4，可求得AE＝3.

C

B

Rt?ADE中，sin?AED＝AD26 ＝＝，AE336.……13分 3所以二面角A－SC－B的平面角的正弦值为

22.解：（1）与直线x?y?1相切于点A（2，－1）的圆的圆心在经过点A且与直线x?y?1 垂直的直线上，该直线的方程是x?y?3. …………2分 又所求圆的圆心在直线y??2x上，解方程组

??x?y?3?0

?2x?y?0得x＝1，y＝－2.

所以圆心C的坐标是（1，－2）. …………4分

22因为|AC|＝(2?1)?(?1?2)?2， …………5分

2所以所求圆的方程为(x?1)?(y?2)?2.

…………6分

2222（2）设M（x，y），则MO＝x?y，MN＝(x?1)?(y?2)?2，

2由MN＝MO，得2x?4y?3?0， …………8分

2222MN＝MO＝x?y＝(2y?)?y?325y2?6y?939?5(y?)2?. 4520…………11分

当y??3333535时，MN＝.因此，MN的最小值为.此时点M的坐标为(,?). 51051010…………13分

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