《数学史》练习测试题库

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（难易程度比率：A——高难度15%，B——中等难度50%，C——容易35%） 第1章 引论 第1课时

1． 怎样理解数学史的研究对象？（C）

2．数学史的研究内容主要有哪些？试举几例加以说明。（B）

第2课时

1．如何认识数学史分期的意义？（B） 2．数学史分期的依据主要有哪两类？（C）

第3课时

1、著名的古埃及纸草书有几份？它的内容有何特征？（C）

第4课时

1、巴比伦泥板是什么？它在数学史上的地位如何？（B）

第5课时

1、古希腊数学学派简介。（C）

2、古希腊三圣贤：欧几里得、阿波罗尼、 阿基米德。（B） 3、神秘的丢番图。（B）

第6课时

1．什麽是印度数学？它在数学史上地位如何？（C） 2．什麽是阿拉伯数学？它在数学史上地位如何？（C） 3．简述文艺复兴时期的欧洲数学发展的主要特征。（B） 4．文艺复兴时期的欧洲数学家选介。（B）

第7课时

1．简述十七世纪数学发展的主要特征。（B） 2．简述十八世纪数学发展的主要特征。（C）

第8课时

1、简述十九世纪数学发展的主要特征。（B）

2、二十世纪数学发展有哪些主要的发展趋势？（A）

第9课时

1、中国传统数学的特征是什麽？（B） 2、名词解释：筹算、《九章算术》、《算经十书》（C） 3、中国传统数学的产生发展经历了哪几个阶段？（C） 4、中国传统数学的典型成就选介。（B） 第10课时

1．中学数学课堂上的数学史实例。（B）

2．论述数学史的教育功能。（A）

第2章 数与数的科学：数与量——对应与相等 第11课时

1、试论数（shǔ）与量（liáng）在数概念形成过程中的作用。（B） 2、古埃及、巴比伦、玛雅、中国古代如何表示整数458？（C） 3、解释名词：进位制、位值制。（C）

4、在十进位值制中，2、4、5、6、8的任意倍数的个位数与1、3、7、9的任意倍数的个位数有何不同的规律？在七进位值制、十二进位值制中研究类似的问题。（B）

第12课时

1、希尔伯特旅店有无穷张床位，已客满，现又新来可数无穷位客人，请你安排他们全部都住进这个旅店。（B）

2、把 [0，1]×[0，1] 正方形与 [0，1] 线段上的点建立一一对应，验证连续统的势不再增大。（A）

第13课时

1、数论发展简史给我们的启示。（A） 2、著名的数论问题评介。（B）

3、求 b 为偶数，而且 c? 100 的素毕氏三数组 (a,b,c)；c? 100 的毕氏三数组有多少组？为什么？（B）

第14课时

1．针对“已知一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。”丢番图的解法，研究丢番图不定方程解法的合理性。（C）

2．针对“求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍然是一个平方数。”丢番图的解法，研究丢番图不定方程解法的合理性。（B）

第15课时

1、用“大衍求一术”求解：

N ? 1 (mod7) ? 2 (mod8) ? 3 (mod9) （C）

第3章 几何学：第5公设——公理化方法 第16课时

1．欧几里得的生平、著作和影响。（C） 2．《几何原本》中公理，公设有哪些内容？如何评价它们。（C）

第17课时

1．试证：第5公设 ? Playfair公理 。（B）

2．萨凯利四角形、兰伯特四角形有哪些结论？它们对非欧几里得几何的创立产生有何影响？（B） 第18课时

1．非欧几里得几何学的创立在数学史上有何意义？（B）

第19课时

1．希尔伯特在《几何基础》中给出欧几里得几何学怎样的公理体系？（C） 2．考虑以下公设集，其中蜜蜂，蜂群为原始术语： P1：每一个蜂群是一群蜜蜂；

P2：任何两个不同的蜂群有且仅有一个蜜蜂共有； P3：每一个蜜蜂属于且仅属于两个蜂群； P4：正好存在四个蜂群。

1）证明这组公设是绝对相容的； 2）证明 P2，P3，P4 独立；

3）从给定的公设集推出以下定理：

T1：正好存在 6 个蜜蜂； T2：每一个蜂群正好有三个蜜蜂； T3：对于每一个蜜蜂正好存在 1 个别的蜜蜂与它不在同样的蜂群中。（A）

第4章 代数学：具体——抽象 第20课时

1．如何理解巴比伦与古埃及数学中的代数学思想方法？（C） 2．什么是古希腊的“几何代数法”？（C） 3．用古希腊的“几何代数法”求解：“把已知线段分成两段，使得以它们为边的矩形面积等于给定的正方形的面积。”（B）

4．丢番图的代数成就研究。（A）

第21课时

1．分别以 x?6x?55,2x2?21?10x 为例说明阿尔-花拉子模求解一元二次方

程的方法及其几何证明的大意。（B）

第22课时 1．以 x 3 + 9 x = 20 为例说明泰塔格利亚、卡丹求解一元三次方程的方法的大意 。（B）

第23课时

1．费拉里解四次方程的思路如何？（B）

2．韦达的“类的筹算术” 与“数的筹算术” 有何本质区别？试举例说明。（B） 3．关于“类”的进一步研究。（A）

第24课时

1．论述伽罗瓦研究方程有无根式解问题的主要思路。（C）

第25课时

1．诺特从事抽象代数研究工作经历了哪三个阶段。（C） 第5章 几何学的两个发展方向：分离——统一

第26课时

1、笛卡儿、费马创立解析几何的目的、方法有何不同？（C）

2、查阅资料，写一篇介绍―业余数学家之王‖的短文。（B）

第27课时

1、解析几何的创立在数学史上有何意义？（B）

第28课时

1、对于射影几何中的投射、截影方法的创立，有哪些数学家作出了贡献？（C）

第29课时

1、开普勒与帕斯卡关于几何图形之间的连续变换的思想浅析。（C） 2、彭色列创立射影几何的基本思想是什么？（B）

3、施陶特如何用“投代数”建立没有度量意义的坐标轴？（B）

第30课时

1．代数的几何学家用代数方法也在研究射影几何有哪些较为突出的工作？（C）

第31课时

1．射影几何公理化的进程如何？（C）

2、射影几何的发展有什么规律可循？（A）

第32课时

1．关于圆锥曲线的最初发现有哪几种观点？（C）

2．研究阿波罗尼的亏曲线、超曲线和齐曲线的统一表达形式。（B）

第6章 微积分：无穷小——分析学 第33课时

1．试用几何直观的方法证明正方形的对角线与其边长不可公度。（A）

第34课时

1．根据阿基米德公理：如果我们有两个同类量，那么总能找到较小者的若干倍，使之大于较大者。

试证明：如果从任何量中减去不小于其一半的量，从余下的量中再减去不小于其一半的量，如此类推，那么最后余下的量将小于任何事先给定的同类量。（A）

第35课时

1．举例说明古代东、西方数学中对极限概念的不同认识。（B） 2．分析、研究穷竭法原理与极限思想在微积分发展过程中的作用。（B）

第36课时

1、试设计一个多面体，使它能作为比照对象，根据不可分量原理，用以求半径为 R 的球的体积。（B）

2、举例说明不可分量原理成功与失败的原因。（A） 第37课时

1．试用费马的方法求 y?x之下，从 0 到

pq（C） x 之间的面积。

2．举例说明巴罗已经认识到微分与积分的互逆关系。（B） 第38课时

1、比较牛顿与莱布尼茨创立微积分的工作要点．（C）

第39课时

1．有哪几位数学家在分析基础严密化方面作出了贡献，论述他们的工作在数学史上的意义。（B）

第40课时

1．分析学的进一步发展主要有哪些方面？（C）

2．用取标准部分的方法求

d（C） x。

dx3．用取标准部分的方法推导积的微分法则。（B）

第7章 概率与统计：偶然——必然 第41课时

1．概率论的产生和发展，大致经历了哪几个阶段？（C）

2．请读者亲自作几次布丰投针试验，并验证布丰的结论：2l / a?。（B）

第42课时

1、现有5个外形相同的小球，每个球上分别标有一个数：12、14、16、18、20。每次随机抽取1个球，再把它放回去，记下球上的数。抽取2个球后，计算其平均数，这称为一次试验。这样的试验做足够多的次数，你能发现什么规律？并回答以下问题： 1）这样计算的平均数有几种？

2）每种平均数出现的概率分别是多少？ 3）把这种概率分布表示出来。（C）

2、怎样从统计学发展史中，认识统计学从实质性科学转变为方法论科学，从描述性科学发展到推断性科学的变化？（B）

3、我们生活中的统计问题案例剖析。（B）

4、中学数学教材中的概率论与统计学内容研究。（A）

第8章 中国传统数学：筹算——数学模型 第43课时

1．用[加一位]“言十当身布起，言如次身求之。”方法计算8514 ?12 = 102168（C） 2．用 [减一位] “言十当身减，言如次身减之。”方法计算5889 ? 13 = 453（B） 3．用[九归]方法计算3888 ? 9 = 432（B）

第44课时

1．试比较在中国传统数学中的“更相减损术”与在古希腊数学中的“欧几里得算法”。 （B）

2．查资料比较中国传统数学中的“今有术”与在古印度数学中的“三率术”。（A）

第45课时

1．用“盈不足术”原理，求方程 2x 3 – 1 = 0在[0，1]上的近似解，且误差不超过0.001。（B）

第46课时

1．注释方程术的刘徽注： 程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。行之左右无所同存，且为有所据而言耳。（B）

第47课时

1．举例说明中国传统数学中的“开方术”与高次方程数值解相关。（A）

第48课时

1．比研究百鸡术和大衍求一术。（B） 2．比较研究百鸡术和方程术。（B）

第49课时

1．试以阳马术注为例，注释古算算法，分析其造术原理及其现代算法意义。（C） 2．对于同一个长方体分割出来的，同体积而不同外形的堑堵、阳马和鳖臑分别有几种？（B）

第50课时

1．中国传统数学中对球体积计算公式的探求经历了哪几个阶段？（C） 2．中、外古代数学中球体积计算公式推导的比较研究。（B）

第51课时

1．总结、分析中国传统数学特点的现代意义。（A）

2．试以重差术等为例，注释古算算法，分析其造术原理及其现代算法意义。（B）

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第1章 引论 第1课时

1． 怎样理解数学史的研究对象？

数学史的研究对象是：数学这门学科产生、发展的历史。

我们研究数学史，不仅要研究数学这门学科产生、发展的历史进程，而且更要研究数学这门学科产生、发展的一般规律。

所谓“历史进程”，是指数学学科自身的研究对象、内容结构、知识领域的发展过程；所谓“一般规律”，是指存在于纷繁、复杂、偶然的历史现象中的内在联系和普遍规律。 2．数学史的研究内容主要有哪些？试举几例加以说明。

数学史的研究内容可以分为许多课题，归纳起来大致有如下十大类： （1）数学史研究方法论 探讨数学史的研究方法，以及研究数学史应该遵循的原则等； （2）数学学科通史研究 也就是数学学科总的发展史的研究，通常是以历史编年为主线，再给出某种分期；

（3）数学学科各分支的分科史研究 研究某分支学科是如何形成的，以及在数学史上所产生的影响如何等；

（4）数学学科在不同历史时期的断代史研究 研究数学史在不同历史时期发展的特征，着重研究不同的历史时期对数学学科发展的影响程度和规律；

（5）比较数学史研究 对世界范围内的不同国家、地区、民族的数学史进行专门的研究，着重进行比较研究；

（6）数学文化史研究 把数学学科放在人类文化的视角下，研究数学的文化现象，也就是，研究社会文化对数学学科发展的制约以及数学学科对社会文化所产生的影响，包括数学学科与其他科学的相互关系；

（7）数学思想、数学概念、数学方法的发展史研究 对典型的、代表数学学科发展主流的某种数学思想、数学概念和数学方法的产生、发展进行专门的研究；

（8）数学教育、数学传播、数学应用的发展史研究 这个课题可以说是数学文化史研究的的延伸，着重研究数学学科对社会进步所产生的影响；

（9）数学家传记 著名数学家的传记就是一部内容丰富的数学断代史； （10）数学史文献学研究 对散见于各种各样历史文物、历史文献中的有关数学史的资料，进行收集、整理、分析、研究，使它们成为系统的、反映数学学科发展主流的文献，供学者们研究。

第2课时

1．如何认识数学史分期的意义？

数学史的分期既是势在必行的实践问题，又是重要的理论问题。之所以说数学史的分期是势在必行的实践问题，那是因为数学学科产生、发展的历史进程，不可能一口气讲述完毕，必须分成若干阶段，循序渐进地讲述，这才符合历史事实。之所以说数学史的分期是重要的理论问题，那是因为数学史的分期一定要体现数学产生、发展的一般规律，而这一般规律无疑是从纷繁、复杂、偶然的历史现象中分析研究、归纳抽象出来的理论。

到目前为止，还没有一个统一的分期能够使所有的人完全接受，对于数学史的分期，现在有各种各样的方案，也产生了各种各样的理论，真可谓仁者见仁，智者见智。 2．数学史分期的依据主要有哪两类？

目前，数学史分期的依据大致可分为两类：其一，根据数学学科自身的研究对象、内容

结构、知识领域的发展、演进来分期；其二，根据数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁来分期。

第3课时

1、著名的古埃及纸草书有几份？它的内容有何特征？

著名的古埃及纸草书有两份，这两份纸草书都直接书写着数学内容，一份叫“莫斯科纸草书”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草书”，现藏于莫斯科美术博物馆。另一份叫“莱因特纸草书”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被苏格兰人莱因特购得，后为英国博物馆收藏。这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。

第4课时

1、巴比伦泥板是什么？它在数学史上的地位如何？

巴比伦泥板书，是用截面呈三角形的利器作笔，在将干而未干的胶泥板上刻写而成的，由于字体为楔形笔画，故称之为楔形文字泥板书。从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。它们分别属公元前2100年代苏美尔文化末期，公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西得时代。其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据推测这些数表是用来运算和解题的。这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆内，并且被一一编号，巴比伦楔形文字泥板书，较为集中地反映了巴比伦数学的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表，成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。

第5课时

1、古希腊数学学派简介。 公元前600年—公元前330年，在古希腊的古典时期各城邦有一种商业活动场所，称之为市场。当时人们的文化生活也都集中在市场周围，农民、商人、水手和工匠聚集在这里交往和娱乐，哲学家和科学家们也来到市场边上的阴凉处，在学生、拥护者和有兴趣的公众的簇拥下演讲，交流各种新的思想，发表不同的学术观点，从而历史地形成了著名的七大学派。他们是先后在爱奥尼亚地区的泰勒斯学派、毕达哥拉斯学派、厄里亚学派、巧辩学派和在雅典地区的柏拉图学派、欧多克索学派、亚里士多德学派。这些哲学家和科学家们思想深邃，以探索自然奥秘为目的进行数学研究或者指导数学研究。把数学从以往的经验形态上升为理论形态，为后来的数学发展奠定了基础。，

2、古希腊三圣贤：欧几里得、阿波罗尼、 阿基米德。 欧几里得、阿波罗尼等著名数学家曾在亚历山大里亚从事学术研究和教育活动，他们整理、发扬古典时期古希腊数学的精华，分别著有传世之作《几何原本》和《圆锥曲线》。

阿基米德年轻时曾去亚历山大里亚求学，后虽回家乡叙拉古，但他与亚历山大里亚的学者联系密切。他才智超群，兴趣广泛，不仅在理论的、抽象的数学上露出才华，而且他还能将数学知识巧妙地应用于其它科学和工程技术领域。

3、神秘的丢番图。

丢番图作为古希腊亚历山大里亚时期代数学的代表人物而闻名于世。他大约生活在246

—330年间，关于他的生平与其他古希腊数学家一样，我们现在知道的非常少。我们知道他曾经有一部了不起的著作《算术》，共有13卷，其中都是关于数的一些问题，可惜由于失传，现在流传的只有希腊文本6卷189题和阿拉伯文本4卷101题。《算术》在历史上的影响可以与欧几里得的《几何原本》相媲美，其主要成就有两个方面。一是丢番图采用了缩写的方式表示数学的运算，也就是所谓的缩写代数，一是丢番图讨论了一次、二次以及个别的三次方程的求解，而且大多是不定方程，也就是后来形成的所谓的丢番图分析或不定分析。由于古希腊数学中几何学占有绝对的优势，而代数学没有被人们广泛认同，加上《算术》中的问题很难读懂，所以这部著作很快就被遗忘，随即失传，于是人们常称神秘的丢番图。

第6课时

1．什麽是印度数学？它在数学史上地位如何？

印度数学，与其他古老民族的数学一样，也是在农业生产需要的基础上产生的。但是，有特殊的因素促使它的发展。印度盛行婆罗门祭礼，加之佛教的四处传播，贸易的频繁交往，使印度数学与近东、中国的数学相互融合，相互促进。印度数学以算术-代数为轴心，几何则偏重计算，没有演绎证明，这与古希腊数学以算术-几何为轴心大不相同。

正因为如此，约从5世纪到12世纪，印度数学对算术、代数作的贡献十分重大，直接影响了后来世界数学的发展。

2．什麽是阿拉伯数学？它在数学史上地位如何？

阿拉伯数学，专指从8世纪至15世纪，在中东、北非以及西班牙等地的伊斯兰国家里，主要以阿拉伯文字书写的数学著作所代表的数学。其实，为阿拉伯数学作出贡献的学者不限于阿拉伯人，还有希腊人、波斯人、犹太人，甚至还有基督徒。

阿拉伯数学在世界数学史上占有特殊的地位，它是古希腊数学和印度数学的继承者。评价阿拉伯数学在数学发展中的贡献，现在却不太一致。有人认为阿拉伯数学富有创造性，尤其在代数学和三角学方面；也有人认为阿拉伯数学缺乏创造性，并且他们的工作无论在数量或质量上，都比不上古希腊或现代学者。但是，阿拉伯数学将前人的文化遗产继承下来，并传给后代欧洲人，在数学史上承前启后的工作是被一致公认的。

3．简述文艺复兴时期的欧洲数学发展的主要特征。

文艺复兴时期的欧洲数学是初等数学向近代数学跃进的一个转折点。 首先，人们在思想观念上冲破了宗教思想的束缚，恢复了古希腊哲学关心自然界的传统，倡导了科学实验的方法。许多学者提出把数学演绎和科学实验结合起来的方法，认为数学是揭开自然奥秘的强有力的工具，这无疑推动了数学的发展。

其次，当时初等数学的各个领域都有了不起的进展。 在算术方面，不仅总结了印度数学和阿拉伯数学的计算技巧，而且苏格兰数学怪杰纳皮尔破天荒地发明了对数，取得了计算技术的突破。

在代数学方面，继承了阿拉伯数学的精华，又发掘了古希腊丢番图代数的遗产，取得两项创新的成就。其一是在一次、二次代数方程的基础上，对三次方程，四次方程的求解都进行了系统、深入的研究，并得到三次、四次方程的求根公式。另一个是将初等代数推向成熟的发展阶段，并酝酿着更新的突破。

在三角学方面，继阿拉伯数学之后，完成了包括平面三角、球面三角的《三角全书》，使三角学彻底独立于天文学。

在几何学方面，恢复了与实践的联系，并从建筑和绘画的需要出发，开创了一个崭新的透视几何学，为以后的射影几何学开辟了道路。

总的来说，到16世纪末，由于上千年来世界各民族人民的共同努力，初等数学得到全面发展，日趋成熟，并且为近代数学的产生和发展创造了条件。

4．文艺复兴时期的欧洲数学家选介。

通过查阅资料选择介绍以下数学家的主要功绩：斐波纳契、帕西奥里、泰塔格利亚、卡丹、费拉里、蓬贝利、韦达等。

第7课时

1．简述十七世纪数学发展的主要特征。

就数学发展的成就而言，17世纪被称为“英雄的世纪”，主要特征有：

第一，创立了影响深远的学科解析几何、微积分、射影几何、概率论和数论；

第二，创造了大量新的、抽象的概念，譬如，无理数、虚数、导数、积分、投射、截影、概率、期望、方差等；

第三，数学发展出现了代数化趋势，并且，数学与其他科学，数学与实际问题的联系比以往更加紧密；

第四，数学教育、数学研究转向社会化，各种学术机构、学会相继成立。 2．简述十八世纪数学发展的主要特征。

18世纪，在数学史上被称为创造的世纪，而18世纪几乎所有的数学创造都体现为以微积分深入发展为主线。

首先是微积分自身的发展。

第二，微积分新的分支学科产生，形成了“分析学”领域，与“几何学”领域、“代数学”领域构成三足鼎立的态势。

第三，18世纪几何学领域，也引进分析方法；代数学领域也呈现出服从分析学需要的势头；另外，概率论也找到了分析学的基础。

第四，纯粹数学与应用数学明确划分开来，也体现了微积分的深入发展。

第8课时

1、简述十九世纪数学发展的主要特征。

19世纪，在数学史上被称为近代数学的成熟时期，在这个时期，人类的数学思想确实成熟了，它表现为创造精神和严格精神都高度发扬，以下三个方面的典型成就充分地证实了这一点。

首先，在分析学领域微积分理论基础严密化和复变函数论的创立。 第二，在几何学领域非欧几里得几何学问世和射影几何学的完善。 第三，在代数学领域群论与非交换代数的诞生。 2、二十世纪数学发展有哪些主要的发展趋势？

20世纪的数学以史无前例的速度发展起来，现代数学无论在深度还是广度上发展都超过了以往的岁月，主要的发展趋势有以下几方面：

第一，从数学整体发展的公理化，形成了“数学基础”这门学科，成为现代数学的基石。 第二，数学进一步抽象化，新学科层出不穷。 第三，数学的应用日益广泛。

第四，电子计算机的产生及迅猛发展，把人类带入了信息时代。

第五，数学研究的社会化进程和数学成果的普及随着信息时代的到来而大大加快。

第9课时

1、中国传统数学的特征是什麽？ 从远古到明代，在中国独立产生、发展起来的数学知识体系，我们称之为中国传统数学。中国传统数学以筹算为基础，以算为主，寓理于算，广泛应用。中国传统数学具有明显的算

法化、模型化、程序化、机械化的特征。

2、名词解释： 筹算：在我国古代，以算筹为算具，按十进位值制表示数，根据一定的术进行各种运算，用以解决各种各样的实际问题。

《九章算术》：《九章算术》是迄今所发现的我国最古老的数学著作，作者和成书年代无从详考，这是以中国古代长期积累起来的数学知识为基础，经许多人修改、补充才得以完成，大约到公元1 世纪时，《九章算术》的内容就和我们现在所见传本基本一致了。《九章算术》的数学成就是多方面的，尤为重要的是，它不仅体例规范，而且集中地体现了中国传统数学体系的特征：以筹算为基础，以算法为主，寓理于算，广泛应用。如同欧几里得的《几何原本》对西方数学的影响，在一千多年间，《九章算术》一直被作为标准教科书，对东方的中国、朝鲜、日本等国产生了深远的影响。

《算经十书》：唐代太史令李淳风奉皇命注释了十部算经，即《周髀算经》、《九章算经》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《辑古算经》、《夏侯阳算经》和《缀术》，后来《夏侯阳算经》和《缀术》失传了。清中叶，乾嘉学派兴起，一部分学者转向中国古代数学的整理和发掘，这时重新出版的《算经十书》包括《周髀算经》、《九章算经》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《辑古算经》、《夏侯阳算经》和《数术记遗》。

3、中国传统数学的产生发展经历了哪几个阶段？ 中国传统数学的产生发展经历了以下5个阶段： 启蒙：远古至东周（前5000~前221） 形成独特体系：秦至东汉（前221~220） 发展：魏、晋、南北朝至隋、唐（221~960） 鼎盛：宋、元至明中叶（960~1592）

中、西数学合流；明末清初至明国初（1592~1919） 4、中国传统数学的典型成就选介。 查阅资料介绍“盈不足术”、“方程术”和“大衍求一术”。

第10课时

1．中学数学课堂上的数学史实例。 略

2．论述数学史的教育功能。 略

第2章 数与数的科学：数与量——对应与相等 第11课时

1、试论数（shǔ）与量（liáng）在数概念形成过程中的作用。 人对数的意识，首先来自观察和体验。人对数的意识，更来自不断的数（shǔ）与量(liáng )。我们可以说，“一一对应” 地数（shǔ）和“两两相等”地量(liáng )，实现了数的数（shù）和量（liàng）的两个功能，也就形成了数的意识。

基于对数的本质的认识和上述人对数的意识的形成，数的概念的形成就显得顺理成章了：当两个集合的元素之间呈一一对应时，只须将其中的一个集合采用抽象的符号系统即可。剩下的就是如何记数的问题。

2、古埃及、巴比伦、玛雅、中国古代如何表示整数458？

458 ，用古埃及的记数法表示为：，用巴比伦的记数法表示为：

，用玛雅的记数法表示为

用印度古代的记数法表示为：

。

，用中国传统数学的记数法表示为：，

3、解释名词：

进位制：在记数时采用分组的方法，选择一个基数，比如p-进制，将对象分组，每组对象个数相等，皆为p，然后，组又成为对象，再数（shǔ）组数，数（shǔ）至无穷无尽，这样可以使符号系统简化。

位值制：在记数时考虑符号的布置，相同的符号布置在不同的位置上，表示不同的数值，这样可以使数的运算更便捷。

4、在十进位值制中，2、4、5、6、8的任意倍数的个位数与1、3、7、9的任意倍数的个位数有何不同的规律？在七进位值制、十二进位值制中研究类似的问题。

2、4、6、8的任意倍数的个位数为2，4，6，8，0；5的任意倍数的个位数为5，0。而1、3、7、9的任意倍数的个位数为1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，用遍了所有十进制记数符号，因为1、3、7、9与十进制的基数10互素。

在七进位值制中，每一个数的任意倍数的个位数，都用遍了所有七进制记数符号，因为1、2、3、4、5、6与七进制的基数7互素。

在十二进位值制中，除了5，7，11的任意倍数的个位数都用遍了所有十二进制记数符号，因为它们与十二进制的基数12互素。1，2，3，4，6，8，9，10的任意倍数的个位数则不然。

第12课时

1．希尔伯特旅店有无穷张床位，已客满，现又来了可数无穷位客人，请你安排他们全部都住进这个旅店。

按下图的方案可以安排：

2．把 [0，1]×[0，1] 正方形与 [0，1] 线段上的点建立一一对应，验证连续统的势不再增大。

如下图将[0，1]×[0，1] 正方形，分成三个点集，分别做一一对应，然后合起来成[-1，1]，再做一一对应，得[0，1]，从而把 [0，1]×[0，1] 正方形与 [0，1] 线段上的点建立起一一对应，验证了连续统的势不再增大

B??(x,y)|0?y?1??[?1,0]y?t?1

A??(x,y)|0?x?1,0?y?1??(0,1]C??(x,y)|0?x?1??(1,2]x?t?1?x??1?2?3??t??1?1?2?2?3?3??y?????123??i?i为非零数字或左边含零起至第一个非零数字止的数字组T??t|?1?t?1??X??x|0?x?1?x?t?13

注意：

0.35303030303030???0.3333333333333?? ?0.4999999999999??0.34393939393939?

第13课时

1、数论发展简史给我们的启示。

数论发展简史给我们的启示很多，至少可以包括三方面，一是数为人类智慧所创造，而决不是客观存在的；二是数域是不断地被人们扩充的；三是数具有的许多性质还需要我们去研究。

2、著名的数论问题评介。 略

3、求 b 为偶数，而且 c? 100 的素毕氏三数组 (a,b,c)；c? 100 的毕氏三数组有多少组？为什么？

满足条件的素毕氏三数组有16组，毕氏三数组共有100组。 不妨设

a?m2?n2,m?n?100,22b?2mn,c?m2?n2,(m?n)0?n?m?10

n 1 2 3 4 5 6 m 2?m?9 3?m?9 4?m?9 5?m?9 5?m?8 6?m?8 (a,b,c) （3，4，5）（15，8，17）（35，12，37）（63，16，65） （5，12，13）（21，20，29）（45，28，53）（77，36，85） （7，24，25）（55，48，73） （9，40，41）（33，56，65）（65，72，97） （11，60，61）（19，80，89） （13，84，85）

而非素毕氏三数组可以按如下方式构成：

先由（3，4，5）?19； （15，8，17）?5； （35，12，37）?2； （63，16，65）?1； （5，12，13）?7； （21，20，29）?3； （45，28，53）?1； （77，36，85）?1； （7，24，25）?3； （55，48，73）?1； （9，40，41）?2； （33，56，65）?1； （65，72，97）?1； （11，60，61）?1； （19，80，89）?1； （13，84，85）?1 构成，共50组。

由于a,c可以交换位置，所以50?2共100组。

第14课时

1．针对“已知一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。”丢番图的解法，研究丢番图不定方程解法的合理性。

用现代数学符号可以表示为：x?y?m?n 丢番图的解法：取 13?2?3，令x?(??2),2222222222y2?(2??3)2，

1。 ?1?y????25?5?222818??2由 (??2)?(2??3)?13，解得 ???。故x????324,525?5?如果令 x??,22y2?(2??7)2，那么有

5?2?28??36?0,(5??18)(??2)?0，

?2?(2??7)2?13,解得??18或??2，但 ? = 2 应舍弃。由此可见，丢番图解法的合理性。 52．针对“求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍然是一个平方数。”丢番图的解法，研究丢番图不定方程解法的合理性。

?4?2用现代数学符号可以表示为：??xi??xj?aj ， ( j= 1 、2 、3 、4)

?i?1?丢番图的解法：取四组数（65，52，39）、（65，56，33）、（65，60，25）、（65，63，16），令

2?4??xi?65??i?12?x1?2?52??39??4056? ?x?2?56??33??3696?2?2?x1?2?60??25??3000?2?2?x1?2?63??16??2016?将 x1?4056?,2x2?3696?2,x3?3000?2,x4?2016?2x1 = 4056 ? 2 代入

?xi?14i?65?，解得??65，故 xj ( j = 1 、2 、3 、4 ) 可求得。

4056?3696?3000?2016丢番图解法的合理性，关键在于巧妙地取了四组勾股数。在直角三角形中，斜边c与两直角边a,b有c?a?b,所以c?2ab?a?b?2ab?(a?b)，故能满足 ?4?。 ??xi??xj?a2j?i?1?22222222

第15课时

1、用“大衍求一术”求解：

N ? 1 (mod7) ? 2 (mod8) ? 3 (mod9) 求“定数”： a1=7 a2=8 a3=9 求“衍母”： M = 7×8×9 = 504 求“衍数”： m1=72 m2=63 m3=56 求“奇数”： g1=2 g2=7 g3=2 求“乘率”：k1 ×2 ? 1(mod7) k2 ×7 ? 1(mod8) k3 ×2 ? 1(mod9)

k1 = 4 k2 = 7 k3 = 5

求“泛用”： k1m1=288 k2m2=441 k3m3=280 故得 N ? 1×288 + 2×441 + 3×280 (mod7×8×9) N = 2010 - 3×504 = 498 ． 求“乘率”运算步骤

第3章 几何学：第5公设——公理化方法 第16课时

1．欧几里得的生平、著作和影响。

欧几里得（Euclid 约公元前330 ~ 公元前275 ?????????）是古希腊著名的数学家，以其所著《几何原本》闻名于世。但是，对于他的生平，现在我们知道的很少。根据非常有限的史料，我们只能推测他生活在公元前3世纪的亚历山大里亚时代，早年在雅典求学，曾是柏拉图的门徒，后来成为亚历山大里亚的学者，并在那里讲授数学。欧几里得专注学问而不恃权贵，他崇尚理论修炼，反对急功近利。

椐史料记载，欧几里得有十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》，《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》，《光学》，《镜面反射》，《现象》等。不过，除了《原本》这部著作流传至今，其它的著作都没有流传下来。欧几里得的《几何原本》是一部世界数学名著，先后被翻译成许多种文字在世界各地出版。有人说《几何原本》在西方各国流传之广、影响之深仅次于基督教的《圣经》。我们说《几何原本》是数学史上的一部划时代的著作，因为它是最早用公理化方法建立起数学知识的逻辑演绎体系。

2．《几何原本》中公理，公设有哪些内容？如何评价它们。

欧几里得将前人零碎的、片段的、具体的数学成果，进行比较、分析，根据它们的内在联系，分门别类，整理成为一个严密的逻辑体系。他在第一卷中先给出23个最基本的数学概念的定义，5条公理，5条公设，在其它各卷再根据需要也给出相关的定义，再由简到繁、由易到难地证明出一系列的命题。

公理：

1）等于同量（thing）的量彼此相等。 2）等量加等量，其和相等。 3）等量减等量，其差相等。

4）彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5）整体大于部分。

公设：

1）由任意一点到任意一点可作直线。 2）一条有限直线可以继续延长。 3）以任意点为心任意距离可以画圆。 4）凡直角都相等。

5）平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。

所以我们说，是欧几里得首次用公理化方法建立数学知识逻辑演绎体系，这成为后世西方数学的典范。

第17课时

1．试证：第5公设 ? Playfair公理 。 第5公设 ? Playfair公理

如图，直线 a 外有一点A，先过A作a的垂线，垂足为P，再过A作直线b垂直于AP，显然，b平行于a，证明b的惟一性即可。因为凡是过A而不同与b的直线（如图中的直线c），都会形成AP的同旁内角和小于两个直角，根据第5公设，这些直线都是与a相交的，所以过A只能引一条直线b与a平行。

2．萨凯利四角形、兰伯特四角形有哪些结论？它们对非欧几里得几何的创立产生有何影响？

萨凯利四角形、兰伯特四角形有如下结论：

1）Sa? ? ?/2 La ? ? ? /2

2）Sa ? = ? /2 ? 第5公设 La ? = ? /2 ?第5公设 3）Sa ??? /2 ??(?)?? La ? ? ? /2 ??(?)? ? 4）若 ? Sa□? 使Sa ? ? ? /2 若 ? La□? 使 La ? ? ? /2

则 ? Sa□? 有Sa ? ? ? /2。 则 ? Sa□? 有 La ? ? ? /2 。

萨凯利和兰伯特原本是想用反证法证明第5公设，结果得到以上有趣的结论，其中，萨凯利把直观的合理性与逻辑的必然性同时来考虑，加之他又始终相信第5公设是可以被证明的，其结果陷于矛盾。但是萨凯利开创了富有启发性的新方法，开辟了一条直接通向非欧几里得几何学的途径。而兰伯特大胆地对第5公设的可证明性提出怀疑，这是观念上的一个重要突破。兰伯特认识到，任何一组假设如果不导致矛盾，那么一定能提供一种可能的几何学。这种几何学是一种真实的逻辑结构，它或许对现实的图形没有意义，甚至发生冲突，但绝对不能限制逻辑上可能发展的千差万别的几何学。这些都对非欧几里得几何的创立产生影响。 第18课时

1．非欧几里得几何学的创立在数学史上有何意义？

非欧几里得几何学的创立，不仅打破了公理的自明性和直观可接受性的观念，而且揭示了在整个数学中一直被视为最可靠的证明的不充分性，因为数学家们通过非欧几里得几何学的创立，意识到我们原来在接受欧几里得几何学的证明时，曾经不知不觉地依赖过直观。于是，人们惟恐在数学的其他领域也存在因直观可接受而以为自明的问题。为了彻底澄清这个问题，许多数学家开始认真地研究几何学基础，以及数概念的基础、分析学的基础、代数学的基础、数理逻辑的基础，乃至整个数学基础等问题，公理化方法在这些研究中获得进一步的完善。

第19课时

1．希尔伯特在《几何基础》中给出欧几里得几何学怎样的公理体系？ 希尔伯特给出的欧几里得几何学的公理体系框架结构如下： ? 基本元素（点，直线，平面） ? 基本概念 ?

? ? 基本关系（结合，顺序，合同） ? ? 结合公理（1 ~ 8） ? ? 顺序公理（1 ~ 4） ? 公 理 ? 合同公理（1 ~ 5） ? 平行公理（1） ? 连续公理（1 ~ 2） 2．考虑以下公设集，其中蜜蜂，蜂群为原始术语： P1：每一个蜂群是一群蜜蜂；

P2：任何两个不同的蜂群有且仅有一个蜜蜂共有； P3：每一个蜜蜂属于且仅属于两个蜂群；

P4：正好存在四个蜂群。

1）证明这组公设是绝对相容的； 2）证明 P2，P3，P4 独立；

3）从给定的公设集推出以下定理：

T1：正好存在 6 个蜜蜂； T2：每一个蜂群正好有三个蜜蜂； T3：对于每一个蜜蜂正好存在 1 个别的蜜蜂与它不在同样的蜂群中。

利用如图的模型可以帮助我们证明以上定理。 蜜蜂 蜂群 完全四边形 四面体 圆盘组合 点 A 、B、C、棱AB、AC、AD、圆盘A、B、C、 D、E、F BC、BD、CD D、E、F 边 AB、AC、BD、CE 面ABC、ABD、ACD、BCD 组合ABC、CDE、EFA、BDF 详细证明由读者自行完成。

第4章 代数学：具体——抽象 第20课时

1．如何理解巴比伦与古埃及数学中的代数学思想方法？

早在巴比伦的汉穆拉比时代的泥板中，就有相当于求解一次、二次代数方程方法的记载，巴比伦人很看重两个相当于求解二次代数方程的基本问题，他们往往把其它的问题转化为这两个问题来求解。但是对这两个问题的求解方法，并没有任何的论证。虽然，有人认为巴比伦人已经掌握了一元二次方程的求根公式，有一定的道理，但是，我们怎么也找不到这个公式的推导。

古埃及人常常把未知数说成“堆”，因此莱因特纸草书中有一个关于“堆算”的特殊的篇章，涉及到类似用一元一次方程来解的问题，但是，他们采用的都是算术的方法。

因此，我们把巴比伦人和古埃及人的成果作为代数学知识的积累更为合适。 2．什么是古希腊的“几何代数法”？ 由于古希腊数学是以几何学为主导，所以代数问题也用几何学的方法来解决。在欧几里得的《几何原本》第 2 卷中，专门给出所谓“几何代数法”，得到一系列相当于解方程的命题。在“几何代数法”中，用“线段长”表示数，“面积大小”表示数积，“体积大小”表示立方积；再定义：加、减、乘、除、开方等运算。《几何原本》第 2 卷命题 1 ~ 10 ，都是用几何方法证明的，证明的过程中就显示出解方程的思想和方法。

3．用古希腊的“几何代数法”求解：“把已知线段分成两段，使得以它们为边的矩形面积等于给定的正方形的面积。”

如图，设 AB?a,方程 x?ax?b?0。

22AH?x,HB?(a?x),应有x（a?x）?b2，即解

AM?MB,PM?b,aPH?,2a22?a?x?????b2，满足x?ax?b?0。

2?2?24．丢番图的代数成就研究。

读者自行研究。

第21课时

1．分别以 x?6x?55,的方法及其几何证明的大意。

2x2?21?10x 为例说明阿尔-花拉子模求解一元二次方程

x2?6x?55

[解法步骤]

266?6?? ?6??6??6??6??6???????????55????55????55????????55????22?2??2??2??2??2???2??????22222[几何示意]

x2?21?10x

[解法步骤]

2??10??1010??10??10??10??10??10??????????21????21???????21???????21?22?2??2??2??2??2??2???????22222

[几何示意]

第22课时 1．以 x 3 + 9 x = 20 为例说明泰塔格利亚、卡丹求解一元三次方程的方法的大意 。

333设x?m?n,考虑到（m?n）?3mn(m?n)?m?n，则有

33??m?(?n)??3?3mn?9?m?(?n)??27 ? ?3 ? ?3 ?3333m?n?20m?(?n)?20????m?(?n)?20对于这个方程组用巴比伦人的方法可以求解：

b???b?????b???a?2?2??2?即

22??b2?a?b?22??b2?a

220???20?????20???(?27)?2?2??2?22??202?(?27)?20?22??202?(?27)

22?32020m???(?27)??22可求出 ? ，开立方后，x?m?n 即得。 2?(?n)3?20?20?(?27)?22?????卡丹的工作：用y?x?r 变换，化x3?ax2?bx?c 为x3?px?q型三次方程，

3再用泰塔格利亚的方法求解，此后他还对这种方法给出了几何证明。

第23课时

1．费拉里解四次方程的思路如何？

费拉里解四次方程的思路：将方程 作如下变换

x4?bx3?cx2?dx?e?0 （1）

x4?bx3??cx2?dx?e

?x?22?b222bxbx????2???x???c???????x?dx?e

?2??2??4??b2?22bx? ??x?????c?x?dx?e

2??4??222y?y??b2?y?222bxbxbx???????c?x?dx?e?x?y??x???2?x??????????? ?2?2?2?2??42??????2?222y2?2bxy???b2?2?by?????c?y?x???d?x??e (2) ?x?22424??????2

令

?by??b2?d?4?c????24???即

2?y2????0 y???e??4???y3?cy2??bd?4e?y?b2e?4ce?d2?0 (3)

对于方程(3)的一个根y0方程(2)可写成：

2?2bxy0??b????x?c?y0??x??224???2?y0?e? (4)

?4?22由方程 (4) 可分解为两个方程：

?y02?b?b??x????c?y0?x??2??24???2?y02?e??0，

?4?解之得方程 (1) 的四个根。

2．韦达的“类的筹算术” 与“数的筹算术” 有何本质区别？试举例说明。

1591年韦达在其名著《分析术引论》中，提出了建立“类的筹算术”的主张。他认为由阿拉伯方式承袭下来的代数术只是“数的筹算术”，在“数的筹算术”中，特殊的诀窍多于一般的方法，即使几何地论证了其中某些方法的正确性，仍然不足以揭示出他称之为“无与伦比的金子般的世俗人不可理解的秘密。”

韦达从丢番图的“缩写代数”获得启示，有意识地建立“类”的概念。韦达认为，古希腊的分析法冗长乏味，是因为这种分析法没有固定的能施行逻辑推理和代数运算的对象，只有变换不定的、特殊的一些数字，所以只能称之为“数的筹算术”。而韦达系统地使用字母，不仅用以代替未知量及其乘幂，而且用以代替一般的系数，并称这种“符号代数”为“类的筹算术”。对所谓的“类”施行逻辑推理和代数运算，比与数打交道更成功、更有说服力。

在韦达的“类的筹算术”中，类是未知量或已知量的一个位置占据体，进而，又将维数的概念附加到类的概念上，即建立一套用于求解方程式或比例式的、切实可行又叙述清楚的法则。韦达指出，方程式或比例式最高的永久的法则，就是同类性法则，

举例略。

3．关于“类”的进一步研究。 请读者自行选题研究。

第24课时

1．论述伽罗瓦研究方程有无根式解问题的主要思路。 伽罗瓦工作的要点：

首先，定义方程根的置换，定义置换的乘法，这个乘法是“封闭”的；方程系数的有理表达式构成一个域，方程根的所有置换，构成一个“群”。

其次，根据以下原理：

（1）方程对于它所属域的群，是其根的置换群或其子群； （2）方程的群要使方程根的关系在所属域上保持不变；

（3）方程的群的元素多少是对根能否区分的一个尺度。

通过添加方程的预解式的方法，扩域缩群，并得到一个合成序列。

最后，给出判断方程有无根式解的充分必要条件：

“若方程的合成序列中，每一项都是前一项的极大正规子群，而且其合成序列的指数都为素数，则此方程可根式解，否则不可根式解。”

第25课时

1．诺特从事抽象代数研究工作经历了哪三个阶段。 诺特从事抽象代数研究工作经历了以下三个阶段：

1920 ~ 1926年间，一般理想论 —— 标志抽象代数创立； 1927 ~ 1929年间，超复数系研究，线性结合代数研究； 1932 ~ 1935年间，应用到数论的各种具体问题之中。

第5章 几何学的两个发展方向：分离——统一 第26课时

1、笛卡儿、费马创立解析几何的目的、方法有何不同？ 费马通过坐标法把几何曲线与代数方程联系起来，从而把几何学与代数学联系起来，并且还提出了作为研究轨迹的普遍适用的一般方法。特别是强调轨迹用方程表示，利用韦达的字母代数的思想方法，获得重要的技术性成就，这已经非常接近现代解析几何的核心思想。但是，费马的思想方法不够成熟之处，也是显而易见的。这主要因为，他把自己的工作仅仅局限在继承古希腊的思想观念上，只不过是重新表述阿波罗尼的工作，在技术性上有所突破而已，所以人们把费马的工作称为“坐标几何”。

笛卡儿创立解析几何的思想基础有三个方面，即：哲学研究、自然科学研究、科学知识应用研究。他决心摒弃中世纪的经院哲学，创立为实践服务的哲学，在自然科学的研究中，探求科学的方法论，使人能够科学地解释自然现象，并成为大自然的主宰者。为此，他以数学为基础，用以演绎为核心的方法论，建立哲学和其它自然科学。

笛卡儿主张将几何、代数和逻辑三者的优点结合起来，而克服各自的不足，从而建立一种“真正的数学”、一种“普遍的数学”，用于研究“一切事物的次序和度量的性质”，不管它们是“来自数、图形、星辰、声音或者其它任何涉及度量的事物”。《几何学》则是笛卡儿从事具体数学研究的成果，其中最重要的贡献就是，提出了解析几何的基本思想和方法，这直接影响到微积分的产生和近代科学的发展。

笛卡儿的解析几何的基本思想，主要体现在用代数解决几何作图问题，逐渐形成用方程表示曲线的思想。笛卡儿的解析几何的方法，关键是解除了韦达的代数方程要求齐次的限制，通过引入坐标和变量，把几何的点和代数的数联系起来，并且把相互关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。

2、查阅资料，写一篇介绍―业余数学家之王‖的短文。 略。

第27课时

1、解析几何的创立在数学史上有何意义？ 解析几何的创立在数学史上的意义，从表面上看似乎只是在几何学中引进了代数学的方法，突破了古希腊以来完全依赖于尺规作图的曲线概念的限制，代之以更一般、更抽象的方程概念。实质上，解析几何的创立对整个数学的发展，乃至其它科学的发展都产生了深远的影响，特别体现在以下三个方面。

首先，解析几何的创立使数、形统一起来，引入变量，加速微积分的发展。

第二，解析几何的创立在数学中，形成了一套双面的工具，几何概念用代数表示，代数表达式用几何解释。

第三，解析几何的创立为科学的数学化提供了用力的工具。解析几何创立之后，许多学科都出现数学化的要求，甚至有人强调，任何一门学科如果没有数学的表述，那么它将不能成为一门科学。

19世纪以后，经典的解析几何已经发展得相当完备了。但是，这并不意味着解析几何的活力已经结束。事实上，现代数学中有两个极具发展活力的学科——泛函分析和代数几何，从某种意义讲，就是解析几何的直接延续。至于，作为一种有效的数学工具，解析几何广泛地被应用于数学的其它分支学科，应用于其它科学与技术领域，是绝对不能低估的。

第28课时

1、对于射影几何中的投射、截影方法的创立，有哪些数学家作出了贡献？ 1435年，阿尔贝蒂在《论绘画》中，给出“透视法”原理，提出“投射”、“截影”，而且还提出了一个很重要的问题：对于同一景物的同一个投射锥可以有多种截影，对于同一景物又可以有不同投射锥的各种截影，那么任意两个不同的截影之间有什么数学关系呢？它们之间有没有共同的数学性质呢？

17世纪，有许多数学家着手寻求这些问题的答案。起初，他们把所获得的成果视为欧几里得几何学的一部分，事实上，这些成果却是一种新的几何学分支的开端，也就是到19世纪被称为射影几何的创始。

对射影几何的创始作出贡献的数学家，首推法国的数学家笛沙格，1639年，他的重要著作《论锥面截一平面所得结果的初稿》在巴黎正式出版，其中论述了射影法。 对射影几何的创始作出贡献的第二号人物帕斯卡在笛沙格的建议下，钻研投射和截影法，并把简化圆锥曲线的性质证明为主要目标。1639年他用投射和截影法研究了圆锥曲线的性质，并写了一本小册子。

第29课时

1、开普勒与帕斯卡关于几何图形之间的连续变换的思想浅析。 开普勒用圆锥曲线之间的连续变换，来说明几何图形之间可以连续地从一个变换为另一个。如图，

设椭圆的一个焦点F1 固定不动，另一个焦点F2 在两个焦点的连线上向左连续移动。这样，椭圆可以连续地变成圆，圆的半径逐渐增大至无穷大，圆可以连续地变成直线。如果焦点F2 在两个焦点的连线上向右连续移动至无穷远，这样，椭圆可以连续地变成抛物线，当F2 自无穷远从左边回到两个焦点的连线上时，抛物线可以连续地变成双曲线，当F2 继续移动至与F1 重合时，双曲线可以连续地变成退化的两条相交直线。

开普勒还指出，如果截圆锥的平面的倾角连续地变化，也可以连续地得到各种不同的圆锥曲线。这种观念也为圆锥曲线的统一表达式的产生奠定了理论基础。

帕斯卡也持有几何图形连续变化的观点，他曾让六边形的两个相邻顶点，彼此连续地移动靠拢合而为一，成为五边形，并从六边形的性质着眼，考察它们理连续变化时出现了什么值得关注的情况，以此推断五边形的性质。

2、彭色列创立射影几何的基本思想是什么？

彭色列认为，分析方法的威力不在于运用了代数，而在于它的普遍性。由典型问题发现的普遍性，在综合的几何学中能由“连续性原则”来实现。因而，17世纪的射影几何学所讨论的那些特殊问题，在彭色列的工作中，都变成了考虑一般问题，即投射、截影下不变性质的研究。他的工作有三个核心的观念。

第一，透射图形。彭色列采用投射、截影定义了几何图形的透视对应和射影对应，使得比较复杂的几何图形的性质，能够通过它的一个比较简单的透射图形在投射、截影下不变的性质而得到。

第二，连续性原理。彭色列指出：“如果一个几何图形由另一个几何图形经过连续的变化而得到，并且二者都具有一般性，那么前一个几何图形的任何性质后一个几何图形都具备。”前一个几何图形的任何性质，都会转化为一个适当措辞的后一个几何图形的性质。

第三，配极理论。彭色列给出了极点、极线相互变换的一般表述，并称为“配极的一般理论”，他的目的是要建立对偶命题成立的逻辑基础。

3、施陶特如何用“投代数”建立没有度量意义的坐标轴？ 施陶特为了使射影几何学摆脱对度量概念的依赖，他于1847年出版了他的名著《位置的几何学》，其中，提出了具体方案，称之为“投的代数”，如图，

利用射影来建立一个不依赖单位长度和迭合这种度量概念的数轴。有了这样的数轴，给点标上坐标后，施陶特就可以定义四个点的交比，利用交比可以定义四点的调和点组，利用调和点组对应于调和点组的一一对应，可以定义射影相关，进一步，射影对应及其他各种变换都能得到。

第30课时

1．代数的几何学家用代数方法也在研究射影几何有哪些较为突出的工作？ 德国的两位数学家麦比乌斯、普吕克有较为突出的工作。 麦比乌斯首先创立了现在所称的“齐次坐标”。其次，麦比乌斯把从平面到平面、空间到空间的各种变换，进行分类。譬如，迭合变换、相似变换、仿射变换、直射变换、射影变换等，并且给出连续的、一一对应变换的解析表达式。然后研究在各种变换下的不变性质。 普吕克在自己的著作《解析几何的发展》（1828、1831）第二卷中，提出了一个齐次坐标叫“三线坐标”，利用这种齐次坐标，普吕克可以给出无穷远线、无穷远圆上的无穷远点及

其概念的代数表述，射影几何学中的无穷远元素就有确切的表示了。普吕克从代数上处理射影几何学的对偶问题时，得到所谓“线坐标”这个精彩的概念。另外，普吕克对高次平面曲线和高次曲面也作了一系列卓有成效的研究。

第31课时

1．射影几何公理化的进程如何？

由综合的几何学家和代数的几何学家共同把射影几何学推上了公理化的道路。在人们认识到“关于两相交直线夹角的度量”和 “用绝对形定义距离与角的度量”的基础上，克莱因发现，射影几何学不仅在逻辑上是独立于欧几里得几何学，而且欧几里得几何学与非欧几里得几何学都可以作为射影几何学的特例。明确了这个观点之后，克莱因实际上铺平了射影几何学公理化发展的道路。

克莱因后来又考虑了比射影几何学更一般的几何学，他认为各种几何学不仅区别于度量，而且由变换群来刻划，但是都是研究这种变换群下的不变量。后来，他还能用变换群及其子群给出几何学的分类方案，人们称之为《厄尔朗根纲领》。经克莱因及其后继者的努力，把各种几何结构的要点用变换群的观点揭示清楚之后，人们感到射影几何学基础的严密化尚有待完成。

德国数学家帕斯（Pasch，Moritz 1843 ~ 1930）在自己的著作《新几何学讲义》（1882年第1版，1926年修订版）中，给出了“第一个严格的射影几何逻辑演绎体系”。其中，有三组公理，三组包括无穷远点、线、面的基本概念，然后用投射引进坐标系，最后是引进射影变换的代数表示。

现在人们认为美国数学家维布伦和杨合著的《射影几何》2卷（1910、1918），是最受称赞的教科书。其中，他们给出了一个完全独立的公理集，通过挑选不同的绝对二次曲面来建立各种特殊的几何学，实现了克莱因的方案。

射影几何公理化体系的结构为：

关联 点 射影变换 顺序公理 —— 无穷远线 —— 投代数坐标 ——

连续 面 代数表示

2、射影几何的发展有什么规律可循？ 请读者自行研究。

第32课时

1．关于圆锥曲线的最初发现有哪几种观点？ 关于圆锥曲线的最初发现目前有以下三种观点： 其一，古希腊的数学家在努力想解决“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角”等 三大不可能问题时，虽然他们没有能解决这些问题，但是却意外地发现了圆锥曲线。

其二，另外一位古希腊数学家用平面截不同的圆锥，发现圆锥曲线。

其三，根据数学史家诺伊格鲍尔的意见，圆锥曲线可能是在制作日晷时被发现的。 2．研究阿波罗尼的亏曲线、超曲线和齐曲线的统一表达形式。 如图，

由于亏曲线、超曲线可以表示为：

QV2?PV?VR?PV(PL?LS)，取

PLBF?FC，有?2PP?AFLSSRPL?SR； ?,LS?PLPP?PP?而齐曲线可以表示为：

PLBC2LSSRPL?SRQV?PV?PL，取 ，有。 ?,LS??PLPP?PP?PABA?AC2设 PL?2p,PP??d,PV?x,QV?y，则

2px2QV?PV(PL?LS)?y?2px?,d2QV2?PV?PL?y2?2px，

PL?SR2px2??0，则以上两式统一。 当 d?? 时，LS?PP?d

第6章 微积分：无穷小——分析学 第33课时

1．试用几何直观的方法证明正方形的对角线与其边长不可公度。 我们提供一个思路，详细的论证过程，请读者自己完成。

如上图，正方形ABCD的边AB?a，对角线AC?b，由A作∠BAC的平分线交BC于E，过E作EB′⊥AC， 交AC于B′，过E作∠B′EC的平分线交B′C于E′，过E′作E′B\⊥BC， 交BC于B\，过E′作∠B\′C的平分线交B\于E\，BE=r1 ，B′E′= r2 。通过简单的几何证明，就可以得到如下的关系式：

b?a?r1,a?2r1?r2,r1?2r2?r3??rn?2rn?1?rn?2??，

其中的 rn 可以无穷无尽地写下去，所以正方形的边a与对角线b之比成为不可公度比，即无法找到一个单位能够分别把a和b量尽。

第34课时

1．根据阿基米德公理：如果我们有两个同类量，那么总能找到较小者的若干倍，使之大于较大者。

试证明：如果从任何量中减去不小于其一半的量，从余下的量中再减去不小于其一半的量，如此类推，那么最后余下的量将小于任何事先给定的同类量。

对于给定同类量 M?m，

根据阿基米德公理，存在一个整数n?2，使得n?m?M。由于

2?n?n?2?2n?n?2n?2?n?n?1。 2Mn?m??(n?1)m，则有 22MMMn?mn?1Mn?mn?1M2?1?2?2?m,M3?2?3?3?2m,??，

22222222MMn?mn?1由此推得 Mn?n?1?n?n?n?1m?m。

2222令M1?

第35课时

1．举例说明古代东、西方数学中对极限概念的不同认识。

古希腊的阿基米德和中国古代的刘徽，都研究过圆面积计算与圆周率问题，他们所用的方法，被后人称之为“割圆术”。分析、比较他们的割圆术，可以从中窥见古代东、西方数学中对极限概念的不同认识。

阿基米德避开极限思想，而唯一的出路就是凭着非凡的智慧来设计这种冗长的间接的归谬法。他与其他古希腊数学家一样，把“无限”排斥在他们的推理之外，其结果是对“无穷小”的存在始终耿耿于怀，不愿它为零，于是与极限失之交臂，而完全依赖于穷竭法原理。刘徽则不同，大胆引进“无限”，创造性地运用极限思想于他的推导之中。

阿基米德与刘徽的不同认识代表了古代东、西方数学中对极限概念的不同认识。 2．分析、研究穷竭法原理与极限思想在微积分发展过程中的作用。 请读者自行选题研究。

第36课时

1、试设计一个多面体，使它能作为比照对象，根据不可分量原理，用以求半径为 R 的球的体积。

如图，设计一个立方体和一个半球，立方体内去掉一个底面朝上的四棱锥，立方体的底面是边长为R?的正方形，高为R；半球的半径为R。在立方体高为h处的截面是一个方环，半球高为h的截面是一个圆，它们一一对应，并且不难算出，它们的面积相等均为

(R2?h2)?。由此，可以通过计算立方体与其内的四棱锥体积之差，得到半球的体积，自

然也计算出半径为 R 的球的体积。

2、举例说明不可分量原理成功与失败的原因。 如图，

对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形，其中，两个三角形内的平行线段，一一对应，两两相等。这是不可分量原理成功的例子，这里的无穷小是等价；而如图，

根据不可分量原理，△ABD与△ADC的面积相等，而事实上，它们的面积之比为1：3，这是不可分量原理失败的例子，这里的无穷小虽然是同阶的但是不是等价的。不可分量原理成功与失败的原因在于无穷小是否等价。

第37课时

1．试用费马的方法求 y?x之下，从 0 到 如图，

pqx 之间的面积。

求 y?x之下，从 0 到 利用等比级数求和得

pqx 之间的面积。

p?qq?1?e?q，作变换 e?E，于是 ??S?xp?q???1?eq?p?qqS?xp?qqq?1?E????xp?q?1?E?(1?E)(1?E?E2???Eq?1)， (1?E)(1?E?E2???Ep?q?1)令 e?1 时，E?1，则所求面积为：

S?xp?qqqq?1?E??x??p?q?1?E?p?qp?qq??xdx

0xpq2．举例说明巴罗已经认识到微分与积分的互逆关系。 如图，

取KL上任一点Z，使 FZ?FM，由于NO非常小，设MO?FM， 则有

NOFTDHFTMOFZ (1)

?NODH有 NO?FZ?MO?DH， 即 GF?FZ?CE?EX

类似地，可以得到曲边四边形AFZK面积

SAFZK?DE?DH (2)

设 AF?x,FM?y,NO?dx,MO?dy,FZ?z,DH?1,则上述 (1)

式相当于

xxdyz，而 (2) 式相当于 ?,dy?zdxzdx?dy?y??00dx1巴罗把“求切线”与“求面积”的问题集中在一起来考虑，从上述（1）式到（2）式的

推导，可见巴罗已经认识到微分与积分的互逆关系。

第38课时

1、比较牛顿与莱布尼茨创立微积分的工作要点．

总体上讲，牛顿和莱布尼茨分别、独立地完成了创立微积分，他们俩被誉为微积分学的发明人。但是他们的工作并不完全相同，牛顿工作在先，而莱布尼茨发表在先；牛顿的工作严谨、具体、条理，莱布尼茨的工作大胆、抽象、零碎；牛顿的工作流传下来的不多，而莱布尼茨的工作流传至今的比较多；牛顿与莱布尼茨在无穷小、基本概念和理论基础多方面都存在不同。

第39课时

1．有哪几位数学家在分析基础严密化方面作出了贡献，论述他们的工作在数学史上的意义。

波尔查诺首次举出处处连续而处处不可微函数的例子，用以警示运动、直观会失效，并且给数学中的严密化开创了一个应该遵循的方向。

柯西于1821年发表《代数分析教程》，1823年发表《无穷小计算概要》，1829年发表《微分学讲义》，在这些著作中，柯西以极限作为微积分的理论基础。

魏尔斯特拉斯建立了一个完全脱离几何直观、也不依赖极限的无理数定义。他引入一个新的概念“复合数”：??、?、?、?、······ ?。针对柯西关于极限的定义叙述粗糙的缺陷，魏尔斯特拉斯认为，其根源在于借助了连续、运动的直观，才会出现“无限趋近”或“要多么近就多么近”之类的言辞。他认为变量和极限的观念并不是只能动态地描述，而是可以完全静态地刻画。引入了一直运用到今天，大家称之为“? - n ” 、 “? - ? ”的语言，再加上柯西关于导数、积分的定义，就得到一套精确的微积分学的基本概念，也就构成了整个微积分理论的严密的论述，

戴德金并没有先去考虑如何定义无理数才能避免柯西的逻辑循环，而是直接追根索源，探求连续性的本质，提出著名的“戴德金分割”。

康托进一步阐述了“无穷”的特性：“整体与部分相似”，即整体与部分可建立一一对应。有了这样关于无穷的定义，无穷集合成为逻辑上自容的实体而存在是毫无疑义的了。由于无穷性所引起的关于书、极限、连续性的非议，都得到了满意的回答。

意大利数学家皮亚诺于1889年发表著作《算术原理新方法》，其中给出了“自然数公理”： 至此，微积分理论中最基本的概念，即连续变量的极限：导数和积分，其逻辑上的严密性已经无懈可击了。以古希腊毕达哥拉斯学派不可公度比的发现为渊源的微积分学，终于成为了一门成熟的学科。由于变量、函数、导数和积分都是数，而数的本质特征不是大小，而是位置，换言之，数的本质特征不是度量而是序。因而，微积分也不单是一门关于度量的科学，而是一门关于序关系的科学。这样，人们更倾向于称之为：数学分析。今天的数学分析包括：实数论、极限论、微分学、积分学和无穷级数，这是一门在数学史上影响最为深远的学科。

第40课时

1．分析学的进一步发展主要有哪些方面？ 分析学进一步发展主要有两个方面，一是分析学在原有的基础之上，发展起来的众多分支学科，包括发散无穷级数，微分方程，变分法，积分方程，函数论，泛函分析等；另一方面是将无穷小重新作为真正的数学对象，在逻辑上予以确定，并且沿另一途径严格地建立微积分的基础，形成了非标准分析。

2．用取标准部分的方法求

dx。 dxf(a??x)?f(a)是有限的，并且对于每

?x根据函数 f 在 a?R 处可微的定义，如果商

一个非零的无穷小Δx≈0，都具有相同的标准部分，那么，f*(x)在 a 处的导数是

?f(a??a)?f*?(x)?St??。所以，

?x???x??x?x???dx??x?x111。?? ??St???St?x?St????????dx?x?x??x?x?St(x??x?x)2x??x(x??x?x)???3．用取标准部分的方法推导积的微分法则。

设 y=uv，则

?y(u??u)(v??v)?uvuv?u?v?v?u??u?v?uv?v?u?v ???u?v??u?x?x?x?x?x?x

dy?u?v?dvdu??y???v??v???u???v??St???St?u?v??u??uSt???vSt???0St???u?v dx?x?x?dxdx??x???x??x???x???x?

第7章 概率与统计：偶然——必然 第41课时

1．概率论的产生和发展，大致经历了哪几个阶段？

概率论的产生、发展，大致可以分为四个阶段：方法积累阶段、理论概括阶段、形成系统理论阶段、建立公理体系阶段。

2．请读者亲自作几次布丰投针试验，并验证布丰的结论：2l / a?。

布丰投针试验推算出圆周率的近似值，对其原理可以给出一个简单而巧妙的证明： 用一根金属丝，弯成一个圆，使其直径等于平行线间的距离d 。

对于这个圆来说，不管怎么投下去，都将与平行线有两个交点；如果投 n 次，那么交点数必为 2n 。

设想把圆拉直，成为一条长为 ?d 的直线段。

对于长为 ?d 的直线段，投下去以后，与平行线的交点可能有 4 个、3个、2个、1个、0个。

由于圆和直线段的长度相等，可以认为，当投的次数较多且相同时，两者与平行线的焦点总数也相等。也就是说，这个直线段投下n 次，与平行线的交点总数也大致等于 2n 。 对于长为 L 的直线段，投下去，与平行线的交点总数 m ，应当与 L 成正比例，即： m ? kL，其中，k 为比例系数。

我们知道，当 L = ?d 时，m = 2 n，那么，k?就是??2n2nL，从而，可以得到 m?，也?d?d2nLdn 。如果，取 L?，那么，??。这就是布丰推算 ? 的奥秘之所在。 md2m

第42课时

1、现有5个外形相同的小球，每个球上分别标有一个数：12、14、16、18、20。每次随机抽取1个球，再把它放回去，记下球上的数。抽取2个球后，计算其平均数，这称为一次试验。这样的试验做足够多的次数，你能发现什么规律？并回答以下问题：

1）这样计算的平均数有几种？

2）每种平均数出现的概率分别是多少？ 3）把这种概率分布表示出来。

12，12 12，14 12，16 12，18 12，20

14，12 14，14 14，16 14，18 14，20 16，12 16，14 16，16 16，18 16，20 18，12 18，14 18，16 18，18 18，20 20，12 20，14 20，16 20，18 20，20

xi 12 1`3 14 15 16 17 18 19 20 fi p(xi)

1 2 3 4 5 4 3 2 1 1 252 253 254 255 254 253 252 251 252、怎样从统计学发展史中，认识统计学从实质性科学转变为方法论科学，从描述性科学发展到推断性科学的变化？

略

3、我们生活中的统计问题案例剖析。 略

4、中学数学教材中的概率论与统计学内容研究。 略

第8章 中国传统数学：筹算——数学模型 第43课时

1．用[加一位]“言十当身布起，言如次身求之。”方法计算 8514 ?12 = 102168

八五一四?八五一48 ?八五一48 ?八五168 ?八五168 ?八6168?八6168 ?102168

2．用 [减一位] “言十当身减，言如次身减之。”方法计算 5889 ? 13 = 453

五八八九?4六八九?4六八九?45三九? 45三九?453

3．用[九归]方法计算 3888 ? 9 = 432

三八八八?3八八八?3（十一）八八? 4二八八? 42十八? 43一八? 431九? 432

（见三下三） （遇九成十） （见二下二） （遇九成十） （见一下一） （遇九成十）

第44课时

1．试比较在中国传统数学中的“更相减损术”与在古希腊数学中的“欧几里得算法”。 譬如：求 1008、1260、882、1134的最大公约数。 欧几里得算法

（1008，1260，882，1134）= 126

更相减损术

1008 1260 882 1134 （ 可半者半之） 504 630 441 567 （以少减多） - 441 - 567 - 6×63 -504 （更相减损） 63 63 63 63 （求其等也） 2×63

（1008，1260，882，1134）= 126

2．查资料比较中国传统数学中的“今有术”与在古印度数学中的“三率术”。 略

第45课时

1．用“盈不足术”原理，求方程 2x 3 – 1 = 0在[0，1]上的近似解，且误差不超过0.001。 解：设f ( x ) = 2x 3 – 1

（1） a1 = 1 a2 = 0 b1 = 1 b2 = -1

x 1 = (a2b1 - a1b2 ) / (b1 - b2) = 0.500000000 (0.500000000-1= -0.500000000)

f（x 1）= - 0.750000000

(2) a1 = 1 a2 = 0.500000000 b1 = 1 b2 = -0.750000000

x 2 = (a2b1 - a1b2 ) / (b1 - b2) = 0.714285714 (0.714285714-1= - 0.285714286)

f（x 2）= - 0.271137027

(3) a1 = 1 a2 = 0.714285714 b1 = 1 b2 = - 0.271137027

x 3 = (a2b1 - a1b2 ) / (b1 - b2) = 0.775229357 (0.775229357-1= - 0.224770643)

f（x 3）= - 0.068204458

(4) a1 = 1 a2 = 0.775229357 b1 = 1 b2 = -0.068204458

x 4 = (a2b1 - a1b2 ) / (b1 - b2) = 0.793935708 (0.793935708-1= 0.206064292)

f（x 4）= 0.000889195

(5) a1 = 0.793935708 a2 = 0.775229357 b1 = 0.000889195 b2 = -0.068204458 x 5 = (a2b1 - a1b2 ) / (b1 - b2) = 0.793694957 (0.793694957- 0.793935708= -0.000240751)

所以 x 5 = - 0.793694957 为求的2x 3 – 1 = 0在[0，1]上的近似解。

“盈不足术”求方程近似解的方法在现代数学中有很多发展，值得我们认真品味！

第46课时

1．注释方程术的刘徽注： 程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。行之左右无所同存，且为有所据而言耳。

前面的文字容易理解，请注意“行之左右无所同存，且为有所据而言耳”的涵义，其大意包括两点：

1）这个“方程”不是我们现在的方程，而是现代数学中线性方程组系数的增广矩阵； 2）这个线性方程组有解的条件是线性方程组中的方程，既不能相关又不能矛盾。 何等精辟的见解，简直与我们现代的线性方程组求解的理论完全一致！

第47课时

1．举例说明中国传统数学中的“开方术”与高次方程数值解相关。 以开平方和开带从平方为例：

《九章算术》少广第 12 问“今有积五万五千二百二十五步。问为方几何。答曰：二百三十五步。开平方术相当于解方程 x 2 = 55225。

杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下第3 问“直田864步，只云阔不及长12步。问阔几步。”开带从平方相当于解方程 x2 + 12 x = 8 6 4；

2

第5 问“直田864步，只云阔少长12步。问长步几何。”益积开方术相当于解方程 x - 12x = 864；

第9 问“直田积864步，只云长阔共60步。欲先求阔步，得几何。”益隅术相当于解方程

-x2 + 60x = 864。

由此可见，中国传统数学中的“方程术”与高次方程数值解相关。

第48课时

1．比较研究百鸡术和大衍求一术。

请特别注意百鸡术和大衍求一术的统一性。

2．比较研究百鸡术和方程术。

请特别注意百鸡术和方程术的差别。

第49课时

1．试以阳马术注为例，注释古算算法，分析其造术原理及其现代算法意义。 本问题的关键是阳马和鳖臑体积之比为2：1，而证明这个结论采用无限分割的方法是刘徽的特色，其中的道理与希尔伯特在1899年第2届国际数学家大会上提出的23问题中第3个问题的道理有等价意义。

2．对于同一个长方体分割出来的，同体积而不同外形的堑堵、阳马和鳖臑分别有几种？ 对于同一个长方体分割出来的，同体积而不同外形的堑堵、阳马和鳖臑，分别有3，6，14种。

第50课时

1．中国传统数学中对球体积计算公式的探求经历了哪几个阶段？ 中国传统数学中对球体积计算公式的探求，大致经历了三个阶段：

第一阶段：实测，大约在公元前1世纪左右，人们用黄金锻成边长为1寸的正方体和直

9d3径为1寸的球。然后，称出它们的重量分别为16两和9两。由此可见，V?的结果是通

16过实测得到的。

第二阶段：改进，大约公元2世纪前后，刘徽在综合分析了前人改进意见的弊端之后，提出了非常重要的改进意见。如图，V — 球，V1 — 球 V 的外切正方体，V2 —球 V 的外切圆柱或 V1 的内切圆柱，V3 — V1 的两个中心轴互相垂直的内切圆柱的相贯体，刘徽称之为“牟合方盖”。

9d3刘徽分析 V?不准的原因是，人们误以为以下计算方法和推理是正确的：

169d3V1 ：V2 = 4 ：? ， V2 ：V = 4 ：? ? V?（其中 ? = 3） ；

16其实，正如刘徽所指出 V2 ：V = 4 ：? 是错误的，因为，球与牟合方盖相切，而且水平方向的任何截面都是一个正方形及其内切圆，所以 V3 ：V = 4 ：? 是正确的。因此，刘徽认为只要求出V3 的体积，球体积就可以得到。但是，刘徽说V3 的体积很难求得，他不会，只好“以俟能言者”。

第三阶段：推导，公元6世纪。祖暅成为刘徽所说的能言者。

如图，祖暅取

V3VV 将它填充为1，再用高为 h 的平面截1 和一个倒置的四棱锥 V*（即

888?d?F1=??– h2 ， F2 +F3+F4 = h2 ， F* = h2 。

?2?2倒置的“阳马”）。得到如下的截面及其相互关系：

进一步，祖暅提出：“缘幂势既同，则积不容异”，这就是著名的“祖暅原理”。由此就得到：

V3V12V11V1= + V*， V* = × ， V = ； 383838再由刘徽的结论 V3 ：V = 4 ：? ，准确无误地推导出球体积计算公式V???d36。

2．中、外古代数学中球体积计算公式推导的比较研究。

可以选择阿基米德、卡瓦列里球体积计算公式与中国传统数学中球体积计算公式进行比较。

第51课时

1．总结、分析中国传统数学特点的现代意义。

中国传统数学以筹算为基础，以算为主，寓理于算，广泛应用。它具有明显的算法化、模型化、程序化、机械化的特征。中国传统数学不仅在历史上曾经辉煌，而且对现代数学也有明显的理论和实践意义。

2．试以重差术等为例，注释古算算法，分析其造术原理及其现代算法意义。 重差术不是用相似理论，而是以面积计算为基础，来研究各种量之间的关系。

进一步，祖暅提出：“缘幂势既同，则积不容异”，这就是著名的“祖暅原理”。由此就得到：

V3V12V11V1= + V*， V* = × ， V = ； 383838再由刘徽的结论 V3 ：V = 4 ：? ，准确无误地推导出球体积计算公式V???d36。

2．中、外古代数学中球体积计算公式推导的比较研究。

可以选择阿基米德、卡瓦列里球体积计算公式与中国传统数学中球体积计算公式进行比较。

第51课时

1．总结、分析中国传统数学特点的现代意义。

中国传统数学以筹算为基础，以算为主，寓理于算，广泛应用。它具有明显的算法化、模型化、程序化、机械化的特征。中国传统数学不仅在历史上曾经辉煌，而且对现代数学也有明显的理论和实践意义。

2．试以重差术等为例，注释古算算法，分析其造术原理及其现代算法意义。 重差术不是用相似理论，而是以面积计算为基础，来研究各种量之间的关系。

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