不等式知识点不等式基础知识

不等式的知识要点

1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a（2）a（3）a（4）a（5）a?b?b?a（对称性）

?b,b?c?a?c（传递性）

?b?a?c?b?c（加法单调性）

?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） ?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减）

（6）a.?（7）a（8）ab,c?0?ac?bc

?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）

?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

ab（异向不等式相除） ?cd(9)a?b?0,0?c?d?(10)a?b,ab?0?（11）a11（倒数关系） ?ab?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则）

?0(n?N*)（开方法则）

（12）2na3.几个重要不等式

（1）非负式：若a?R,则|a|?0,a2?0；若a?0,则a?0. （2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）二元均值不等式：如果a,b都是正数，那么

ab?a?b（当仅当a=b时取等号）

.2常用为：a?b?2，ab?(a?b)2（当仅当a=b时取等号） ab（当仅当a=b时取等号）

2? 极值定理：若x,y?R,x?y?S,xy?P,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式链：如果a,b都是正数，那么

211?ab?ab?a?ba2?b2（当仅当a=b时取等号）

?.22(4)三元均值不等式：若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号）

ab

4.几个著名不等式

（1）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;则

222222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?(a1?a2?a3???an)(b1?b2?b3??bn)aaaa当且仅当1?2?3???n时取等号b1b2b3bn（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)

)?.22则称f(x)为凸（或凹）函数. （3）绝对值三角不等式：

若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

5.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

2

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1

?f(x)?0?

???定义域f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?g(x)??f(x)?03?f(x)?0 ○f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2

?f(x)?0 ?f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)

af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)?

（6）含一个绝对值不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?1应用零点分段讨论法，分类讨论思想去绝对值； ○2应用分段函数，数形思想； ○

3应用几何意义，化归思想等价转化 ④公式法 ○

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x) ?g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?（7）含两个或者两个以上绝对值的不等式

1应用零点分段讨论法，分类讨论思想去绝对值； ○2应用分段函数，数形思想； ○

3应用几何意义，化归思想等价转化 ○

6.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 7.不等式与线性规划

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