2010年高三数学试题精编 4.3三角函数的图像和性质

第四章 三角函数 三 三角函数的图像和性质

【考点阐述】

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 【考试要求】

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示． 【考题分类】

(一)选择题（共15题） 1.（安徽卷理9）动点

A?x,y?22x?y?1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒在圆

13(,)旋转一周。已知时间t?0时，点A的坐标是22，则当0?t?12时，动点A的纵坐

标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A、

?0,1? ?1,7? ?7,12?

B、C、

D、

?0,1?和?7,12?

????3，每秒钟旋转6，

【答案】D

【解析】画出图形，设动点A与x轴正方向夹角为?，则t?0时

在

t??0,1?????[,]上

32，在?7,12?上

??[3?7?,]23，动点A的纵坐标y关于t都是单调

递增的。

【方法技巧】由动点

A?x,y?22x?y?1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与在圆

三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0,12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.

?2.（福建卷文10）将函数f(x)?sin(?x??)的图像向左平移2个单位。若所得图象与原

图象重合，则?的值不可能等于

A.4 B.6 C.8 D.12 【答案】B

?【解析】因为将函数f(x)?sin(?x??)的图像向左平移2个单位。若所得图象与原图象

用心 爱心 专心

1

?2??k??(k?Z)?22重合，所以是已知函数周期的整数倍，即，解得??4k(k?Z)，故

选B。

【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。

x?3sin(?),x?R243.（湖北卷文2）函数f(x)= 的最小正周期为

?A. 2

【答案】D

B.?

C.2?

D.4?

2?1【解析】由T=|2|=4π，故D正确.

2y?sinx?sinx?1的值域为 4.（江西卷文6）函数

A．[?1,1] 【答案】C

5[?,?1]B．4

5[?,1]C．4

5[?1,]4 D．

【解析】考查二次函数型值域问题。通过函数形状发现此函数很像二次函数，故令 sinX?t2y?t?t?1从而求解出二次函数值域 可得

5.（江西卷文12）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y?sin2x，

y?sin(x??6，

)y?sin(x??)3的图像如下。结果发现其中有一

位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是

【答案】C

【解析】考查三角函数图像，通过三个图像比较不难得出答案C

?4?6.（辽宁卷理5文6）设?>0,函数y=sin(?x+3)+2的图像向右平移3个单位后与原图

像重合，则?的最小值是

用心 爱心 专心

2

243（A）3 (B)3 (C)2 (D)3

7.（全国Ⅰ新卷理4文6）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（2，-2），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为

【答案】C

解析：显然，当t?0时，由已知得d?2，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间t的变化质点P到x轴的距离d先减小，再排除B，即得C．

A?2,??1,???另解：根据已知条件得

?4，再结合已知得质点P到x轴的距离d关于时

d?2sin(t?)4，画图得C． 间t的函数为

y?sin(2x?)y?sin(2x?)36的8.（全国Ⅱ卷理7）为了得到函数的图像，只需把函数

图像

?????（A）向左平移4个长度单位 （B）向右平移4个长度单位 ??（C）向左平移2个长度单位 （D）向右平移2个长度单位

用心 爱心 专心 3

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.

y?sin(2x?【解析】

?6=

)sin2(x?y?sin(2x?)?sin2(x?)12，3=6，所以将

?)??y?sin(2x????y?sin(2x?)6的图像向右平移4个长度单位得到3的图像，故选B.

)9.（陕西卷理3）对于函数f(x)?2sinxcosx，下列选项中正确的是 （ ）

?? （A）f(x)f（x）在（4，2）上是递增的 （B）f(x)的图像关于原点对称

（C）f(x)的最小正周期为2? （D）f(x)的最大值为2 【答案】B

?????,?【解析】∵f?x??sin2x，∴易知f?x?在?42?上是递减的，∴选项A错误.

∵f?x??sin2x，∴易知f?x?为奇函数，∴f?x?的图象关于原点对称，∴选项B正确. ∵f?x??sin2x，∴

T?2???2，∴选项C错误.

∵f?x??sin2x，∴f?x?的最大值为1，∴选项D错误. 故综上知，本题应选B.

10. （陕西卷文3）函数f (x)=2sinxcosx是

[ ]

(A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数 【答案】C

【解析】因为f (x)=2sinxcosx=sin2x，所以它的最小正周期为π，且为奇函数，选C。

?11.（四川卷理6文7）将函数y?sinx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再

把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

y?sin(2x?（A）y?sin(2x?)10 （B）5

?)?1?1?y?sin(x?)y?sin(x?)210 （D）220 （C）

用心 爱心 专心 4

?解析：将函数y?sinx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，所得函数图象的解?析式为y＝sin(x－10)

再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

1?y?sin(x?)210.

答案：C

12.

（

天

津

卷

文

8

）

??5??右图是函数y?Asin（?x+?）（x?R）在区间?-，?上的图象，?66?为了得到这个

函数的图象，只要将y?sinx（x?R）的图象上所有的点

?(A)向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原

1来的2倍，纵坐标不变

?(B) 向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ?1(C) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变 ?(D) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】A

2?【解析】由给出的三角函数图象知，A=1，???，解得??2，又

2?(??6)+??0，

??所以

?y?sin(2x+)3，即原函数解析式为3，所以只要将y?sinx（x?R）的图象上

??1所有的点先向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不

y?sin(2x+)3的图象，选A。 变即可得到函数

用心 爱心 专心

5

?

【命题意图】本题考查正弦型三角函数的图象变换、考查正弦型三角函数解析式的求法，考查识图能力。

13.（浙江卷理9）设函数f(x)?4sin(2x?1)?x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是 （A）

??4,?2? （B）??2,0? （C）?0,2? （D）?2,4?

解析：将f?x?的零点转化为函数g?x??4sin?2x?1?与h?x??x的交点，数形结合可知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题

14．（重庆卷理6）已知函数

y?sin??x???(??0,???2

)的部分图象如题（6）图所示，则

????A. ?=1 = 6 B. ?=1 =- 6 ????C. ?=2 = 6 D. ?=2 = -6

【答案】D

解析：?T?????2

2? 由五点作图法知

?3?????2，?= -6.

????，??42?上为减函数的是 15．（重庆卷文6）下列函数中，周期为?，且在?y?sin(2x? （A）

?2 （B）))y?cos(2x??2

)y?sin(x? （C）【答案】A

?y?cos(x?)2 （D）2

?【解析】C、D中函数周期为2?，所以错误

x?[,]42时， 当

y?cos(2x?而函数

??2x???3??????,?y?sin(2x?)2?2?，函数2为减函数

?)2为增函数，所以选A

用心 爱心 专心 6

（二）填空题（共5题）

f(x)=3sin(?x-1.（福建卷理14）已知函数

?6)(?>0)和g(x)=2cos(2x+?)+1的图象的对

x?[0,称轴完全相同。若

?2，则f(x)的取值范围是 。

]3[-,3]【答案】2

x?[0,?【解析】由题意知，??2，因为

2，所以

]2x-?6?[-?5?6,6，由三角函数图象知：

]f(x)的最小值为

3sin(-?6)=-3?33sin=3[-,3]2，最大值为2，所以f(x)的取值范围是2。

【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。

????0,?2.（江苏卷10）定义在区间?2?上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，

过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为__▲___。

2【答案】3

[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，

22且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=3。线段P1P2的长为3

f(x)?sin(2x?)?22sin2x43.（浙江卷理11）函数的最小正周期是_________ .

?f?x??解析：

2???sin?2x???224??故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及

相关公式，属中档题

f(x)?sin2(2x?)4的最小正周期是 。 4.（浙江卷文12）函数

?1??1?f?x???cos?4x???22?2，可知其最小正周期为?解析：对解析式进行降幂扩角，转化为

?2，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。

用心 爱心 专心

7

y?5.（上海春卷1）函数答案：?

1sin2x2的最小正周期T=_______________。

T?解析：由周期公式得

2???2???2。

（三）解答题（共13题）

2f(x)?2cos2x?sinx?4cosx。 1.（北京卷理15）已知函数

f()3的值； （Ⅰ）求

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值。

?解析：（I）（2）

?2???39f()?2cos?sin2?4cos??1??2??.333344

f(x)?2(2cos2x?1)?(1?cos2x)?4cosx?3cos2x?4cosx?127?3(cosx?)2?,x?R33

因为

cosx???1,1?,所以当cosx??1时，f(x)取最大值6；当

cosx?23时，取

7最小值3。

?2f(x)?2cos2x?sinx 2.（北京卷文15）已知函数

f()3的值； （Ⅰ）求

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值

?用心 爱心 专心 8

3.（广东卷理16）已知函数f(x)?Asin(3x??)(A?0,x?(??,??),0????在时取得最大值4． (1) 求f(x)的最小正周期； (2) 求f(x)的解析式；

x??122?12(3) 若f(3α +12)=5,求sinα．

用心 爱心 专心 9

sin(2???2)?33315cos2??1?2sin2??sin2??sin???5，5，5，5，5．

????f?x??3sin??x??6?，?＞0，x????,???，且以2为最小?4.（广东卷文16）设函数

正周期． （1）求（2）求

f?0?f?x?；】 的解析式；

????9f????（3）已知?412?5，求sin?的值．w_w

??????f?x??cos??x?cos??x?g?x??1sin2x?1?3??3?，24． 5.（湖北卷理16）已知函数

（Ⅰ）求函数（Ⅱ）求函数

f?x?的最小正周期；

的最大值，并求使

h?x??f?x??g?x?h?x?取得最大值的x的集合．

用心 爱心 专心 10

cos2x?sin2x11f(x)?,g(x)?sin2x?.224 6.（湖北卷文16）已经函数

(Ⅰ)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样变化得出？

（Ⅱ）求函数h(x)?f(x)?g(x)的最小值，并求使用h(x)取得最小值的x的集合。

7.（湖南卷理16）已知函数f(x)?3sin2x?2sinx． （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （II）求函数f(x)的零点的集合。

2用心 爱心 专心 11

2f(x)?sin2x?2sinx 8.（湖南卷文16）已知函数

（I）求函数f(x)的最小正周期。

(II) 求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合。

f(x)?(1?cotx)sin2x?msin(x?9.（江西卷理17）已知函数

?)sin(x?)44．

??3?[,]（1）当m?0时，求f(x)在区间84上的取值范围；

f(?)?35，求m的值．

（2）当tan??2时，

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.

f(x)?(1?解：（1）当m=0时，

cosx1?cos2x?sin2x)sin2x?sin2x?sinxcosx?sinx2

1??3??2?[2sin(2x?)?1]x?[,]2x??[?,1]248442，由已知，得

从而得：f(x)的值域为

[0,1?2]2

用心 爱心 专心 12

f(x)?(1?（2）

cosx??)sin2x?msin(x?)sin(x?)sinx44

11f(x)?[sin2x?(1?m)cos2x]?22 化简得：

sin2a?2sinacosa2tana43??cos2a?sin2a?cos2a1?tan2a5，5，

当tan??2，得：代入上式，m=-2.

f(x)?(1?cotx)sin2x?2sin(x?)sin(x?)44. 10.（江西卷文19）已知函数

（1）若tan??2，求f(?)；

??x?[,]122，求f(x)的取值范围. （2）若

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数

化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题. 解：（1）f(x)?sinx?sinxcosx?cos2x2???1?cos2x1?sin2x?cos2x22

?11(sin2x?cos2x)?22

sin2??2sin?cos?2tan?4??sin2??cos2?1?tan2?5，

由tan??2得

cos2??sin2?1?tan2?3cos2?????sin2??cos2?1?tan2?5，

f(?)?所以

35.

112?1f(x)?(sin2x?cos2x)??sin(2x?)?22242 （2）由（1）得

???5?5??2x?[,]2x??[,]sin(2x?)?[?,1]122412442由得，所以

f(x)?从而

2?11?2sin(2x?)??[0,]2422.

用心 爱心 专心 13

11?f(x)?sin2xsin??cos2xcos??sin(??)(0????)22211.（山东卷理17）已知函数，

?1(,)其图像过点62。

（Ⅰ） 求?的值；

1(Ⅱ) 将函数y?f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得到函数[0,]y?g(x)的图像，求函数g(x)在4上的最大值和最小值。 π1【解析】（Ⅰ）因为已知函数图象过点（6,2），所以有

11sin2??sin??cos2?cos??1sin?????0＜?＜??????662?2?22，即有

?1?????33?+???sin??cos??cos??0＜?＜??sin(?+)6，所以62，解得3。 22=

???3，

所

以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1??1????f?x??sin2xsin?cos2xcos?sin????0＜?＜??2332?23?

?311+cos2x11311sin2x+?-=sin(2x+)sin2x+cos2x-6， 224224=4=41?π??7?sin(4x+)4x+?[,]g?x?26，因为x?[0, 4]，所以666， 所以=

4x+所以当

?6??1?7?14x+??2时，g?x?取最大值2；当66时，g?x?取最小值4。

【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及

三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力。

2f(x)?sin(???x)cos?x?cos?x（??0）12.（山东卷文17）已知函数的最小正周期为?，

（Ⅰ）求?的值；

用心 爱心 专心 14

1 （Ⅱ）将函数y?f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得到函数???0,?y?g(x)的图像，求函数y?g(x)在区间??16?上的最小值.

【命题意图】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力。 【解析】

1?22，故 g（x）在此区间内的最小值为1 因此 1?g（x）?2f(x)?23sinxcosx?2cosx?1(x?R) 13.（天津卷理17）已知函数

???0,??f(x)（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间?2?上的最大值和最小值； 6????f(x0)?,x0??,?5?42?，求cos2x0的值。 （Ⅱ）若

【命题意图】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y?Asin(?x??)的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。

2f(x)?23sinxcosx?2cosx?1，得 【解析】（1）由

用心 爱心 专心 15

f(x)?3(2sinxcosx)?(2cos2x?1)?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)6

所以函数f(x)的最小正周期为?

???????????f(x)?2sin?2x??0,,????6?在区间?6?上为增函数，在区间?62?上为减函数，又 ?因为

???f(0)?1,f???2,?6?为-1

??????f????10,??f(x)2??，所以函数在区间?2?上的最大值为2，最小值

???f(x0)?2sin?2x0??6? ?（2）解：由（1）可知

f(x0)?又因为

??3?6sin?2x0???6?5 5，所以???2?7??????x0??,?2x0???,?6?36? ?42?，得由

????4??cos?2x0????1?sin2?2x0????6?6?5 ??从而

????????????3?43??cos2x0?cos??2x0?????cos?2x0??cos?sin?2x0??sin?6?6?6?66?610。 ????所以

用心 爱心 专心 16

f(x)?3(2sinxcosx)?(2cos2x?1)?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)6

所以函数f(x)的最小正周期为?

???????????f(x)?2sin?2x??0,,????6?在区间?6?上为增函数，在区间?62?上为减函数，又 ?因为

???f(0)?1,f???2,?6?为-1

??????f????10,??f(x)2??，所以函数在区间?2?上的最大值为2，最小值

???f(x0)?2sin?2x0??6? ?（2）解：由（1）可知

f(x0)?又因为

??3?6sin?2x0???6?5 5，所以???2?7??????x0??,?2x0???,?6?36? ?42?，得由

????4??cos?2x0????1?sin2?2x0????6?6?5 ??从而

????????????3?43??cos2x0?cos??2x0?????cos?2x0??cos?sin?2x0??sin?6?6?6?66?610。 ????所以

用心 爱心 专心 16

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